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% -------- PARAMÈTRES --------
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Asie, juin 2016}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est
%donnée.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une
%trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.}
%
%\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du
%tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.\\
%Toute réponse exacte vaut $1$ point.\\
%Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n'enlève pas de point.}
%
%Indiquez sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, recopier la
%réponse exacte (A ou B ou C).
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&&A &B &C\\ \hline
%\textbf{1.}&Dans une urne, il y a 10 boules rouges et 20 boules noires. La probabilité de tirer une boule rouge est :& $\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{3}$\\ \hline
%\textbf{2.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $(3x+2)^2 = \ldots$& $9x^2 + 4$& $3x^2 + 6x + 4$& $4 + 3x(3x + 4)$\\ \hline
%\textbf{3.}& Une solution de l'équation $x^2 - 2x - 8 = 0$ est :& 0& 3 &4\\ \hline
%\textbf{4.}& Si on double toutes les dimensions d'un aquarium, alors son volume est multiplié par:&2 &6 &8\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item Il y a 10 boules rouges sur un total de $10 + 20 = 30$ boules ; la probabilité de tirer une rouge est donc de $\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$. Réponse B.
\item $(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2^2 + 2 \times 3x\times 2 = 9x^2 + 4 + 12x = 4 + 9x^2 + 12x = 4 + 3x(3x + 4)$. Réponse C.
\item $0$ n'est pas solution ; 3 non plus car $3^2 - 2\times 3 - 8 = 3 - 8 = - 5 \ne 0$ ; reste 4. Or  $4^2 - 2 \times 4 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$ est vraie; Réponse C.
\item Chaque dimension est multipliée par 2, donc le volume est multiplié par $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$. Réponse C. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

%Le viaduc de Millau est un pont franchissant la vallée du Tarn, dans le département
%de l'Aveyron, en France. Il est constitué de $7$ pylônes verticaux équipés chacun de 22
%câbles appelés haubans.
%
%Le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle, représente un pylône et deux de ses
%haubans.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(19,9)
%\psline(0,0.5)(19,0.5)%AD
%\psline(2.3,0.5)(2.3,8.2)%AB
%\psline(13.1,0.5)(2.3,5.4)%FE
%\psline(14.9,0.5)(2.3,6.3)%DC
%\uput[d](2.3,0.5){A} \uput[l](2.3,8.2){B} \uput[l](2.3,6.3){C}
%\uput[d](14.9,0.5){D} \uput[l](2.3,5.4){E} \uput[d](13.1,0.5){F}
%\rput{90}(2,2.5){Pylône}\rput{-26}(7.5,4.4){Haubans}
%\uput[u](16.5,0.5){Chaussée}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On dispose des informations suivantes :
%
%AB = 89 m ; AC = 76 m ; AD = 154 m ; FD = 12 m et EC = 5 m.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur du hauban [CD]. Arrondir au mètre près.
Le pylône est supposé vertical donc perpendiculaire à la chaussée ; le triangle ACD est donc rectangle en A et le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{CD}^2 = \text{CA}^2 + \text{AD}^2 = 76^2 + 154^2 = \np{5776} + \np{23716} = \np{29492}$.

Donc $\text{CD} = \sqrt{\np{29492}} \approx 171,7 \approx 172$~(m) au mètre près.
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CDA}}$ formé par le hauban [CD] et la chaussée.

%Arrondir au degré près.
On a $\tan \widehat{\text{CDA}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AD}} = \dfrac{76}{154} = \dfrac{38}{77} \approx \np{0,493506}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{CDA}} \approx 26,2$ soit 26\,\degres{} au degré près.
\item %Les haubans [CD] et [EF] sont-ils parallèles ?
On a AE = $\text{AC} - \text{EC} = 76 - 5 = 71$~(m).

AF $ = \text{AD} - \text{FD} = 154 - 12 = 142$~(m).

Donc $\dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{71}{76}$ et $\dfrac{\text{AF}}{\text{AD}} = \dfrac{142}{154} = \dfrac{71}{77}$.

Comme $\dfrac{71}{76} \ne \dfrac{71}{77}$, la réciproque de la propriété de Thalès n'est pas vraie donc les droites (ED) et (CD) ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

%Une entreprise de fabrication de bonbons souhaite vérifier la qualité de sa nouvelle
%machine de conditionnement. Cette machine est configurée pour emballer environ $60$
%bonbons par paquet. Pour vérifier sa bonne configuration, on a étudié $500$~paquets à
%la sortie de cette machine.
%
%\medskip
%
%\textbf{Document 1 : Résultats de l'étude}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Nombre de bonbons	&56 &57 &58 &59 &60 	&61 &62 &63 &64\\ \hline
%Effectifs 			&4 	&36 &53 &79 &145 	&82 &56 &38 &7\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\textbf{Document 2 : Critères de qualité}
%
%\medskip
%
%Pour être validée par l'entreprise, la machine doit respecter trois critères de qualité:
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Le nombre moyen de bonbons dans un paquet doit être compris entre 59,9 et
%60,1.
%\item[$\bullet~~$] L'étendue de la série doit être inférieure ou égale à $10$.
%\item[$\bullet~~$] L'écart interquartile (c'est-à-dire la différence entre le troisième quartile et le premier quartile) doit être inférieur ou égal à 3.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
% 
%La nouvelle machine respecte-t-elle les critères de qualité ?
% 
%\emph{Il est rappelé que, pour l'ensemble du sujet, les réponses doivent être justifiées.}
$\bullet~~$Moyenne de bonbons dans les 500 paquets :

$\dfrac{4\times 56 + 36\times57 + 53\times58+79\times59 + 145\times60 + 82 \times61 + 56\times62 + 38\times63 + 7\times64}{500} = 60,054$.

On a bien : $59,9 < 60,054 < 60,1$ : le premier critère est respecté.

$\bullet~~$L'étendue est égale à $64 - 56 = 8 < 10$ : le deuxième critère est respecté.

$\bullet~~$Chaque quartile contient 125 valeurs

Le premier quartile (125\up{e} valeur) est donc 59 et le troisième 61.

L'écart interquartile est donc égal à $61 - 59 = 2 < 3$ : le troisième critère est vérifié.

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

%Adèle et Mathéo souhaitent participer au marathon de Paris. Après s'être entraînés
%pendant des mois, ils souhaitent évaluer leur état de forme avant de s'engager. Pour
%cela, ils ont réalisé un test dit \og de Cooper\fg{} : l'objectif est de courir, sur une piste
%d'athlétisme, la plus grande distance possible en 12 minutes. La distance parcourue
%détermine la forme physique de la personne.
%
%\medskip
%
%\textbf{Document 1 : Indice de forme selon le test de Cooper}
%
%\medskip
%
%L'indice de forme d'un sportif dépend du sexe, de l'âge et de la distance parcourue
%pendant les 12~min.
%
%\begin{center}
%Pour les hommes
%
%\smallskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Indice de Forme &Moins de 30 ans& De 30 à 39 ans& De 40 à 49 ans &Plus de 50 ans\\ \hline
%Très faible& moins de \np{1600} m& moins de \np{1500} m& moins de \np{1350} m &moins de \np{1250} m\\ \hline
%Faible& \np{1601} à \np{2000} m& \np{1501} à \np{1850} m& \np{1351} à \np{1700} m& \np{1251} à \np{1600} m\\ \hline
%Moyen& \np{2001} à \np{2400} m& \np{1851} à \np{2250} m& \np{1701} à \np{2100} m& \np{1601} à \np{2000} m\\ \hline
%Bon& \np{2401} à \np{2800} m& \np{2251} à \np{2650} m &\np{2101} à \np{2500} m &\np{2001} à \np{2400} m\\ \hline
%Très bon& plus de \np{2800} m &plus de \np{2650} m &plus de \np{2500} m &plus de \np{2400} m\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\begin{center}
%Pour les femmes
%
%\smallskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Indice de Forme &Moins de 30 ans &De 30 à 39 ans &De 40 à 49 ans &Plus de 50 ans\\ \hline
%Très faible &moins de \np{1500} m &moins de \np{1350} m &moins de \np{1200} m &moins de \np{1100} m\\ \hline
%Faible &\np{1501} à \np{1850} m &\np{1351} à \np{1700} m &\np{1201} à \np{1500} m &\np{1101} à \np{1350} m\\ \hline
%Moyen &\np{1851} à \np{2150} m &\np{1701} à \np{2000} m &\np{1501} à \np{1850} m &\np{1351} à \np{1700} m\\ \hline
%Bon &\np{2151} à \np{2650} m &\np{2001} à \np{2500} m &\np{1851} à \np{2350} m &\np{1701} à \np{2200} m\\ \hline
%Très bon &plus de \np{2650} m &plus de \np{2500} m &plus de \np{2350} m &plus de \np{2200} m\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7cm}|X|}\hline
%Document 2 : Plan de la piste&Document 3 : Données du test\\
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(8,4)
%\psline(1.5,0.5)(6.5,0.5)
%\psline(1.5,3.5)(6.5,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](1.5,0.5)(1.5,3.5)
%\psarc(6.5,2){1.5}{-90}{90}
%\psarc(1.5,2){1.5}{90}{270}
%\rput{90}(1.7,2){58 m}\uput[d](4,0.5){109 m}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4,0.5)(4,3.5)
%\end{pspicture}
%Cette piste est composée de deux parties rectilignes et
%de deux demi-cercles.&$\bullet~~$Adèle a 31 ans.
%
%$\bullet~~$Mathéo a 27 ans.
%
%$\bullet~~$Adèle a réalisé 6 tours de piste et 150 mètres.
%
%$\bullet~~$Mathéo a réalisé le test avec une vitesse moyenne de
%13,5 km/h.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la longueur de la piste est d'environ $400$ mètres.
La piste se compose de deux lignes droites de 109~(m) et de deux demi-cercles, ou un cercle de diamètre 58~(m).

La longueur de la piste est donc égale à :

$2\times 109 + \pi \times 58 \approx 400,21 \approx 400$~(m) au mètre près.
\item %Adèle et Mathéo ont décidé de participer au marathon uniquement si leurindice de forme est au moins au niveau \og moyen\fg.

%Déterminer si Adèle et Mathéo participeront à la course.
$\bullet~~$Pour Adèle (femme) qui a parcouru $6 \times 400 + 150 = \np{2400} + 150 = \np{2550}$, l'indice de forme est très bon.

$\bullet~~$Pour Matéo (homme) : il a parcouru 13,5 km en 60 minutes ou $\dfrac{13,5}{60}$ km en une minute et donc $\dfrac{13,5}{60}\times 12 = \dfrac{13,5}{5} = 2,7$~km soit \np{2700}~m, son indice de forme est bon.

Ils participeront donc tous les deux au marathon.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 6 points}

\medskip

%On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par:
%
%\[f(x) = 2x + 1\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2 + 4x - 5.\]
%
%Léa souhaite étudier les fonctions $f$ et $g$ à l'aide d'un tableur. Elle a donc rempli les
%formules qu'elle a ensuite étirées pour obtenir le calcul de toutes les valeurs.
%
%Voici une capture d'écran de son travail :
%
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{B3}&\multicolumn{7}{|l|}{=B1*B1+4*B1$-$5}\\ \hline
	&A 		&B 		&C 		&D 		&E 		&F 	&G &H\\ \hline
1 	&$x$ 	&$-3$ 	&$-2$ 	&$-1$ 	&0 		&1 	&2 &3\\ \hline
2 	&$f(x)$ &$-5$ 	&$-3$ 	&$-1$ 	&1 		&3 	&5 &7\\ \hline
3 	&$g(x)$ &$-8$	& 		&$-8$ 	&$-5$	&0 	&7 &16\\ \hline
4	&		&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de 3 par la fonction $f$ ?
$3$ a pour image $f(3) = 2\times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
\item %Calculer le nombre qui doit apparaître dans la cellule C3.
En C3 il doit apparaître $g(- 2) = (- 2)^2  + 4 \times (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = 4 - 13 = - 9$.
\item %Quelle formule Léa a-t-elle saisie dans la cellule B2 ?
En B2 Léa a inscrit =2*B1+1.
\item %À l'aide de la copie d'écran et sans justifier, donner une solution de
%l'inéquation $2x + 1 < x^2 + 4x - 5$.
On voit que pour $x = 2$, $f(2) < g(2)$. Une solution de l'inéquation est donc 2.
\item %Déterminer un antécédent de $1$ par la fonction $f$.
D'après le tableau un antécédent de 1 est 0. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 6 \hfill 3 points}

\medskip

%Dans chaque cas, dire si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier votre réponse.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Affirmation 1 :

%Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
Faux $3$ et $9$ impairs sont divisibles par 3 ; ils ne sont pas premiers entre eux.
\item Affirmation 2 :

%Pour tout nombre entier positif $a$ et $b$, $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$.
Faux $\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$ et $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \ne 3$.
\item Affirmation 3 :

%Si on augmente le prix d'un article de 20\,\% puis de 30\,\% alors, au total, le prix a
augmenté de 56\,\%.
Augmenter de 20\,\% revient à multiplier par 1,20, puis augmenter de 30\,\% revient à multiplier par 1,30 ; donc les deux augmentations successives reviennent à multiplier par $1,20 \times 1,30 = 1,56$. L'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 7 \hfill 6 points}

\medskip

%Romane souhaite préparer un cocktail pour son anniversaire.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Document 1 : Recette du cocktail
%
%Ingrédients pour 6 personnes :&Document 2 : Récipient de Romane\\ 
%
%\begin{pspicture}(5,4)
%\uput[r](0,3.75){$\bullet~~$60 cl de jus de mangue}
%\uput[r](0,3.25){$\bullet~~$30 cl de jus de poire}
%\uput[r](0,2.75){$\bullet~~$12 cl de jus de citron vert}
%\uput[r](0,2.25){$\bullet~~$12 cl de sirop de cassis}
%\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,4)
%\psellipse(2.5,3)(2,0.4)
%\psarc(2.5,3){2cm}{-180}{0}
%\end{pspicture}\\
%Préparation : &\\
%Verser les différents ingrédients dans un récipient et remuer.
%
%Garder au frais pendant au moins 4~h.&On considère qu'il a la forme d'une
%demi-sphère de diamètre 26 cm.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\emph{Rappels :}
%
%$\bullet~~$Volume d'une sphère : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
%
%$\bullet~~$1~L = 1~dm$^3$ = \np{1000}~cm$^3$
%
%\medskip
%
%Le récipient choisi par Romane est-il assez grand pour préparer le cocktail pour 20
%personnes ?
Pour un cocktail le volume des ingrédients est égal à :

$\dfrac{60 + 30 + 12 + 12}{6} = \dfrac{114}{6} = 19$~cl.

Donc pour 20 cocktails le volume est égal à :

$20 \times 19 = \np{380}$~cl soit 3,8~l.

Le volume du récipient de Romane est égal à :

$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\times \pi \times 13^3 \approx \np{4601}~$cm$^3$ soit environ 4,601~dm$^3$ ou 4,6~l : le récipient est assez grand pour préparer tous les cocktails.
\medskip

\textbf{Il est rappelé que, pour l'ensemble du sujet, les réponses doivent être justifiées.\\
Il est rappelé que toute trace de recherche sera prise en compte dans la
correction.}

\end{document}
