\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

% -- pstricks via auto-pst-pdf --
\usepackage[runs=2]{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Asie -- juin 2018}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Asie, juin 2018}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item C'est en septembre où le pourcentage a été le plus important (26\,\%).
\item Le pourcentage a été inférieur ou égal à 18\,\% en mai, juin, juillet et août.
\item L'étendue est [12~;~26].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 17 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Aire de la base de la yourte : $\pi \times 3,5^2 \approx 38,48$~m$^2$ soit plus de 35.
\item Le volume de la yourte est la somme du volume du cylindre et de de celui du cône :

$V_{\text{yourte}} = \pi \times 3,5^2 \times 2,5 + \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3,5^2 \times 2 = \pi \times 3,5^2\left(2,5 + \dfrac{2}{3}\right) \approx 121,868$~m$^3$ soit environ 122~m$^3$ au m$^3$ près.
\item Les dimensions sont divisées par 25 : la hauteur de la maquette sera donc de $\dfrac{4,5}{25} = \dfrac{18}{100} = 0,18$~(m) soit 18~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $5,3 \times 10^5 = \np{530000}$ : \textbf{Réponse A}
\item Les diviseurs de 20 pouvant sortir sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5, d'où une probabilité de $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ : \textbf{Réponse A}
\item On sait que $(x + 5)^2 = x^2 + 5^2 + 2 \times x \times 5 = x^2 + 25 + 10x$.

L'équation $(x + 5)^2 = x^2 + 25$ s'écrit donc $x^2 + 25 + 10x = x^2 + 25$ ou $10x = 0$, soit $x = 0$ : \textbf{Réponse~B}
\item On a $\dfrac{12}{\frac{3}{4}} = 12 \times \dfrac{4}{3} = 4 \times 4 = 16$ : \textbf{Réponse C}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il faut répéter le motif 5 fois.
\item Pour chaque motif on avance de $80 + 80 = 160$, donc le périmètre de la figure est égal à $5 \times 160 = 800$.
\item Pour avoir un périmètre double il suffit de remplacer les deux \og  80 \fg{} par \og  160 \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 12 points}

\medskip

$\bullet~~$ La partie triangulaire est fixe ; son aire est égale à $\dfrac{3 \times 1,6}{2} = 3 \times 0,8 = 2,4$~(m$^2$) ;

$\bullet~~$ La partie rectangulaire est variable  ; son aire est égale à $3 \times x = 3x$~(m$^2$.

Il faut donc que $x$ vérifie :

$2,4 + 3x \leqslant 20$, soit $3x \leqslant 17,6$ ou $x \leqslant \dfrac{17,6}{3}$.

Comme $\dfrac{17,6}{3} \approx 5,866$, la plus grande valeur possible est $x = 5,86$~(m) au centimètre près.

\bigskip

\textbf{Exercice 6 \hfill 13 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme OC = 3OA, le rapport de l'homthétie permettant de passet de la figure A à la figure C est 3.
\item Comme $\dfrac{3}{5} = 3 \times \dfrac{1}{5}$ et que OD = 5OA :

l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{5}$ permet de passer de la figure E à la figure A, puis 
l'homothétie de centre O et de rapport $3$ permet de passer de la figure A à la figure C. On est donc passé de la figure E à la figure C.
\item Si l'aire est quatre fois plus grande, c'est que les longueurs sont deux fois plus grandes : c'est donc la figure B donc l'aire est quatre fois celle de la figure A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 7 \hfill 14 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le terrain a une aire de : $110 \times 30 = \np{3300}$~m$^2$.

Si la partie couverte a une aire de 150~m$^2$, il reste pour  la partie \og plein air \fg{} : $\np{3300} - 150 = \np{3150}$~m$^2$.
\item Il peut mettre au maximum dans la partie couverte : $6 \times 150 = 900$~poules ; il peut donc mettre dans la partie couverte 800~poules.

Ces  800~poules auront besoin dans la journée de $4 \times 800 = \np{3200}$~m$^2$ : or la partie \og plein air \fg{} ne fait que \np{3150}~m$^2$ : la règle 2 n'est pas respectée. Il ne peut pas élever 800~poules.
\item La partie \og plein air a une  d'aire de \np{3150}~m$^2$ et puisqu'il faut 4~m$^2$ minimum par poule, on pourra mettre au maximum $\dfrac{\np{3150}}{4} = 787,5$~poules.

On peut donc mettre au maximum 787~poules. 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 8 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 1,5 L d'eau donne 1,62 L de glace, donc 1 L d'eau donne $\dfrac{1,62}{1,5} = \dfrac{3 \times 0,54}{3 \times 0,5} = \dfrac{2 \times 0,5}{2 \times 0,5} = 1,08$ L de glace.
\item D'après la question précédente, on passe de C1 à C2 en multipliant par 1,08.

La formule est donc =B1 *1,08
\item La fonction permettant de passer du volume d'eau au volume de glace est l'application affine $x \longmapsto 1,08x$. On sait que la représentation de cette fonction est une droite (graphique \no 1 exclu) contenant l'origine (graphique \no 3 exclu).

Le graphique \no 2 est donc la représentation graphique.
\end{enumerate}

\end{document}
