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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Asie, 18 juin 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[C]{%
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    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Asie, 18 juin 2024}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

\emph{Bien qu'on ne demande pas de justification sur votre copie, on en donne dans ce corrigé.}

\medskip

\textbf{Question 1}\quad
Le nombre premier est 37 : \textbf{réponse C}.

\begin{itemize}[label=\textbullet]
    \item 1 n'est pas premier (un seul diviseur) ;
    \item 21 est divisible par 1, 3, 7 et 21 ;
    \item 54 a 8 diviseurs.
\end{itemize}

37 a exactement deux diviseurs naturels : 1 et 37.

\medskip

\textbf{Question 2}\quad L'aire totale du patron est de \np[cm^2]{150} : \textbf{réponse B}.

Un cube a 6 faces carrées de côté 5~cm. Aire totale : $6 \times 5^2 = 150~\text{cm}^2$.

\medskip

\textbf{Question 3}\quad Une forme factorisée est $(2x-3)(2x+3)$ : \textbf{réponse B}.

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$.

\medskip

\textbf{Question 4}\quad La largeur est d'environ \np[cm]{62} : \textbf{réponse A}.

\begin{center}
    \begin{tabularx}{5cm}{|l|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline
        Longueur & 16 & 110\\ \hline
        Largeur  & 9  & $\ell$ \\ \hline
    \end{tabularx}
\end{center}

$\ell = \dfrac{110 \times 9}{16} = 61{,}875 \approx \np[cm]{62}$.

\medskip

\textbf{Question 5}\quad La médiane est 4,1 : \textbf{réponse B}.

Valeurs ordonnées : $3{,}4 \leqslant 3{,}67 \leqslant 4{,}1 \leqslant 4{,}23 \leqslant 4{,}5$.

La médiane est la $3^{\text{e}}$ valeur (position $\frac{5+1}{2}$) : 4,1.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 18 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation \no 1} : Fausse.

L'assemblage est constitué de 4 cubes, dont un posé au-dessus des trois autres. La vue proposée ne montre pas ce quatrième cube.

\begin{minipage}{10cm}
    \emph{Remarque :} La vue de droite devrait être :
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, baseline={(0,0.7)}]
    \draw(0,0) rectangle (2,1) (0,0) rectangle (1,2);
\end{tikzpicture}\hfill~

\item \textbf{Affirmation \no 2} : Fausse.

$\dfrac{\mathrm{SN}}{\mathrm{SO}} = \dfrac{1}{2}$ (N milieu de [SO]) et $\dfrac{\mathrm{SU}}{\mathrm{SD}} = \dfrac{5}{5+6} = \dfrac{5}{11}$.

Comme $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{5}{11}$, d'après la contraposée du théorème de Thalès, (NU) et (OD) ne sont pas parallèles.

\item \textbf{Affirmation \no 3} : Vraie.

Probabilité d'une boule bleue : $\dfrac{6}{10} = 0{,}6$.

Probabilité d'un numéro pair sur le dé : $\dfrac{3}{6} = 0{,}5$.

On a bien $0{,}6 \geqslant 0{,}5$.

\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Triangle BCG rectangle en C (car (AB) $\perp$ (CG)). Pythagore~:

$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{BG}^2 - \mathrm{CG}^2 = 20^2 - 10^2 = 300$, donc $\mathrm{BC} = \sqrt{300} \approx \np[cm]{17,3}$.

\item C est le milieu de [AB], donc $\mathrm{AB} = 2\sqrt{300}$. Hauteur depuis G = CG = 10 cm.

$A_{\triangle BAG} = \dfrac{2\sqrt{300} \times 10}{2} = 10\sqrt{300} = 100\sqrt{3} \approx \np[cm^2]{173}$.

\item \begin{enumerate}
        \item $\cos\left(\widehat{\mathrm{CGB}}\right) = \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{GB}} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}$, donc $\widehat{\mathrm{CGB}} = 60\degre$.

        \item Le triangle AGB est isocèle en G (GA = GB = rayon). La droite (CG) est à la fois hauteur et bissectrice de l'angle en G. Donc $\widehat{\mathrm{AGB}} = 2 \times 60 = 120\degre$.
    \end{enumerate}
\item Les trois portions font chacune $120\degre$, leur réunion forme $3 \times 120 = 360\degre$ : un disque complet.

\item $A_{\text{disque}} = \pi \times 20^2 = 400\pi$. Chaque pièce : $\dfrac{400\pi}{3} \approx \np[cm^2]{419}$.
\end{enumerate}

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 26 points}}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Distance aller-retour Marseille--Strasbourg : $803 \times 2 = \np[km]{1606}$.

\item Formule B : $300 + \np{1606} \times 0{,}25 = 300 + 401{,}25 = 701{,}50$~\euro. Calcul confirmé.

\item Formule A : $\np{1606} \times 0{,}5 = 803~\text{\euro} > 701{,}50$~\euro. Formule C : $900~\text{\euro} > 701{,}50$~\euro. La formule B est la plus avantageuse.

\item Carburant : $\np{1606} \times \dfrac{5{,}6}{100} \approx 89{,}94$~L. Coût carburant : $1{,}87 \times 89{,}94 \approx 168{,}18$~\euro.

Coût total : $701{,}50 + 168{,}18 + 115{,}80 = 985{,}48$~\euro $\leqslant 1000$~\euro : le budget est suffisant.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\begin{enumerate}[resume]
\item Formule A : $0{,}5x$ ; formule B : $0{,}25x + 300$ ; formule C : $900$.

\item Formule A = fonction linéaire (droite par l'origine) : courbe 3. Formule B = fonction affine (ordonnée à l'origine 300) : courbe 2. Formule C = fonction constante (droite $y = 900$) : courbe 1.

\item $0{,}25x + 300 = 0{,}5x \iff 300 = 0{,}25x \iff x = \np{1200}$.

Pour \np{1200}~km parcourus, les formules A et B coûtent le même prix.

\item \begin{enumerate}
        \item Pour \np{2500}~km, la courbe 1 (formule C) est la plus basse : la formule C est la plus avantageuse.

        \item La formule A est la plus avantageuse pour les distances dans $[0~;~\np{1200}]$~km.

        \item De 0 à \np{1200}~km : formule A ; de \np{1200} à \np{2400}~km : formule B ; au-delà de \np{2400}~km : formule C.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 16 points}}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, aucune justification n'est attendue.}

\begin{enumerate}
\item Le bloc \begin{scratch} \blockmove{aller à x: \ovalnum{-100} y: \ovalnum{0}} \end{scratch} positionne le lutin aux coordonnées $(-100~;~0)$.

\item \begin{minipage}[t]{8cm}
    Le script trace un triangle équilatéral de côté 80 pas (ici 4~cm), car on avance de 80 puis tourne de $120\degre$ (intérieur : $180 - 120 = 60\degre$), répété 3 fois.
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.north)}]
    \draw (0,0)--(0:4cm)--(60:4cm)--(0,0)--(-60:4cm)--(0:4cm);
\end{tikzpicture}

Après la première boucle, le lutin est revenu au départ avec le même cap. La seconde boucle trace un triangle identique, mais tourné dans l'autre sens.

\item Script \no 1 : décalage de 100 pas → figure B. Script \no 2 : agrandissements successifs (×1,2) → figure A. Script \no 3 : rotations de $120\degre$ → figure C.

\begin{minipage}{10cm}
    Figure C : premier motif (trait fin), deuxième après rotation $120\degre$ (trait moyen), troisième après rotation $240\degre$ (trait épais).
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(0,0)}]
    \draw[line width=0.5pt]  (0,0)--(-60:1)--(0:1)--(60:1)--cycle--(0:1);
    \draw[line width=1.25pt] (0,0)--(60:1)--(120:1)--(180:1)--cycle--(120:1);
    \draw[line width=2pt]    (0,0)--(180:1)--(240:1)--(300:1)--cycle--(240:1);
\end{tikzpicture}

\item \begin{enumerate}
        \item Le bloc \og motif \fg{} est exécuté trois fois.
        \item La variable côté est multipliée trois fois par 1,2, donc sa valeur finale est $80 \times 1{,}2^3 = 138{,}24$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
