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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Nouvelle-Calédonie -- décembre 2008}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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            text align={center},
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
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}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Nouvelle-Calédonie, décembre 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M. ) donné à la dernière page. Pour chacune des cinq questions, vous aurez trois réponses possibles dont une seule est exacte.
%
%\textbf{Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe} en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne. Aucune justification n'est demandée. Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse.
%
%
Voir à la fin.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\[E = (2x - 3)^2 + (2x - 3)(x + 8)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Développer puis réduire l'expression algébrique $E$.
$E  = 4x^2 + 9 - 12x + 2x^2 + 16x - 3x - 24 = 6x^2 + 4x - 15$.
\item %Factoriser l'expression algébrique $E$.
$E = (2x - 3)[(2x  - 3) + (x + 8)] = (2x - 3)(2x - 3 + x + 8) = (2x - 3)(3x + 5)$.
\item %Calculer l'expression $E$ quand $x = \dfrac{3}{2}.$
Si $x = \dfrac{3}{2}$, \: en utilisant l'écriture factorisée $E = \left(2\times \frac{3}{2}  - 3\right)\left(3\times \frac{3}{2}  + 5\right) =$

$ (3 - 3)\left(\frac{9}{2} + 5\right) = 0\times \frac{19}{2} = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%\emph{Dans la question $1$ de cet exercice toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

\begin{enumerate}
\item %Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2006 puis le tiers du reste en 2007.

%Quelle fraction de sa propriété lui reste-t-il aujourd'hui ?
Si $x$ est l'aire initiale du terrain, il lui reste en 2006 :

$x - \dfrac{x}{4} = \dfrac{3x}{4}$.

En 2007 il lui reste : $\dfrac{3x}{4} - \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3x}{4} = \dfrac{3x}{4}\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) =  \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3x}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 2 \times 2}x = \dfrac{1}{2}x.$

Il a vendu la moitié, il lui reste la moitié.
\item %Quelle est la superficie actuelle de sa propriété sachant qu'elle était au départ de 40~hectares ?
Il lui reste donc 20~hectares.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%On donne la figure ci-après dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées.
%
%On ne demande pas de refaire la figure.
%
%L'unité de longueur est le centimètre.
%
%\medskip

%\parbox{0.4\linewidth}{Les points A, B et E sont alignés, ainsi que les points C, B et D.
%
%BA = 9,3 ; BC = 15,5 ; BD = 13,5 ; 
%
%BE = 8,1 et DE = 10,8.
%
%Les droites (AC) et (DE) sont parallèles.}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,5)
%\pspolygon(0.6,0)(6.4,1.6)(2.5,4.2)%CBA
%\psline(1.75,0.32)(3.22,3.73)%DE
%\uput[l](2.5,4.2){A} \uput[ur](6.4,1.6){B} \uput[ul](0.6,0){C} \uput[dr](1.75,0.32){D} \uput[ur](3.22,3.73){E} 
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur AC. Justifier.
Les droites (AC) et (DE) étant parallèles la propriété de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{8,1}{9,3} = \dfrac{10,8}{\text{AC}}$, d'où on obtient :

$\text{AC} = \dfrac{9,3 \times 10,8}{8,1} = 12,4$~(cm)
\item %Démontrer que le triangle BDE est un triangle rectangle en E.
On a $\text{BD}^2 = 13,5^2 = 182,25$ ;

D'autre part $\text{BE}^2 + \text{ED}^2 = 8,1^2 + 10,8^2 = 65,61 + 116,64 = 182,25$.

On a donc $\text{BD}^2 = \text{BE}^2 + \text{ED}^2$ ce qui montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle BDE est rectangle en E.
\item %Sans faire de calcul, démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Les droites (AC) et (DE) étant parallèles, la droite (AB) étant perpendiculaire à l'une (DE), est aussi perpendiculaire à l'autre la droite (AC). Donc le triangle ABC est rectangle en A.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%\emph{Sur le schéma donné en annexe, un bateau est tombé en panne de moteur à l'approche d'une passe.}
%
%\emph{Il n'est plus soumis qu'aux forces conjuguées du vent et du courant représentées par les vecteurs} $\vect{\text{VE}}$ \emph{et} $\vect{\text{CO}}$.
%
%\medskip
%
%\emph{Toutes les constructions de cet exercice seront à faire sur l'annexe de la dernière page que vous devrez rendre avec votre copie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire le point A tel que $\vect{\text{GA}} =\vect{\text{VE}}$.
Voir à la fin.
\item %Construire le point B tel que $\vect{\text{GB}} =\vect{\text{CO}}$.
Idem.
\item %Construire le point T tel que $\vect{\text{GT}} =\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GE}}$.
Idem.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la demi-droite[GT) qui indique la trajectoire de la dérive du bateau.	 
Idem.	
		\item %Cette embarcation va-t-elle s'échouer sur le récif ?
Non on voit que le bateau va passer entre les deux récifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

%Fanny et Franck vont à Koumac. Franck part de Nouméa et Fanny part de Tontouta.
%
%Les communes de Nouméa, Tontouta, La Foa et Koumac sont situées dans cet ordre, sur une même route, la RT1, comme le représente le schéma ci-dessous qui n'est pas à l'échelle.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(12,1.8)
%\psline(0,0.9)(12,0.9)
%\psline(0.4,0.7)(0.4,1.1) \psline(3.4,0.7)(3.4,1.1) 
%\psline(6.3,0.7)(6.3,1.1) \psline(12,0.7)(12,1.1)
%\uput[u](0.4,0.9){Nouméa}  \uput[u](3.4,0.9){Tontouna}  
%\uput[u](6.3,0.9){La Foa}  \uput[u](12,0.9){Koumac}  
%\end{pspicture}
%
%\medskip
%Le tableau ci-dessous indique la distance de Nouméa à ces villes en kilomètre.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Commune							&Tontouna	&La Foa	&Koumac\\ \hline
%Distance de Nouméa en kilomètre	&50			&110	&365\\ \hline
%\multicolumn{4}{r}{Source : \emph{\og Country guide \fg{} Le petit futé }}
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Fanny et Franck partent en même temps.
%
%Ils font une pause au bout de deux heures de trajet comme le recommande la sécurité routière : « \emph{toutes les deux heures, la pause s'impose ! }»
%
%\medskip
%
%\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre que vous souhaitez.}
%
%\medskip

\textbf{Partie 1 : Le trajet de Fanny et Franck avant leur pause}

%\textbf{Dans cette partie, tous les résultats doivent être justifiées par des calculs.}

%\medskip
%
%Fanny roule à la vitesse moyenne de 70~km/h. Franck roule à la vitesse moyenne de 85~km/h.
%
%Ainsi après avoir roulé une heure, Fanny est à à 70~km de Tontoura sur la RT1 direction Koumac, et Franck est à 85~kmde Nouméa sur la RT1 direction Koumac.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi au bout d'une heure, Fanny est à 120~km de Nouméa.
Au départ Fanny est à Tontoura à 50km de Noumea. En une heure elle s'éloigne de 70~km ; elle est donc à $50 + 70 = 120$~km de Nouméa. 
\item %À combien de kilomètres de Nouméa se trouve Fanny au bout de deux heures de trajet ?
\item %Au bout de combien de temps Franck se trouve-t-il à la Foa ?
Franck parcourt 110~km  à la vitesse de 85~km/h : il met donc $\dfrac{110}{85} \approx 1,294$ soit 1,3~h au dixième près.
%Exprimer la durée, en heure, arrondie au dixième.
\item %On note $x$ la durée du voyage exprimée en heure (avant la pause : $0 \leqslant x \leqslant 2$

%On note $f(x)$ la distance qui sépare Fanny de Nouméa et $g(x)$ celle qui sépare Franck de Nouméa.

%Exprimer $f(x)$ puis $g(x)$ en fonction de $x$.
On a $f(x) = 50 + 70x$ et $g(x) = 85x$.(respectivement fonction affine et fonction lin"aire).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 : interprétation du graphique donné à l'avant-dernière page}

\medskip

\textbf{Par simple lecture du graphique, répondre aux questions suivantes :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quel tracé (T$_{1}$ ou T$_{2}$) correspond au trajet de Fanny ? Au trajet de Franck ? Justifier.
T$_{1}$ correspond au trajet de Fanny car pour $x = 0$, Fanny est à 50~km de Nouméa (la représentation graphique d'une fonction affine ne contient pas l'origine). 
\item %Combien de temps dure la pause de Fanny et Franck ?
Leur pause est de $0,25$~h soit $\dfrac{1}{4}$~h ou 15~min.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Au bout de combien de temps Franck rattrape-t-il Fanny ?
Les représentations se croisent au point d'abscisse $x = 4,25$ soit 4~h 15~min.
		\item %À combien de kilomètres de Nouméa se trouvent-ils à ce moment-là ?
L'ordonnée du point commun est 340. Donc Franck rattrape Fanny à 340 km de Nouméa.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\psset{xunit=2.4cm,yunit=0.043cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-20)(4.75,440)
\multido{\n=0.000+0.125}{39}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,440)}
\multido{\n=00+10}{45}{\psline[linestyle=dotted](0.,\n)(4.75,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(-0.25,-19)(4.75,440)
\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,0)(2,170)(2.25,170)(4.25,340)(4.5,361.25)
\psline(0,50)(2,190)(2.25,190)(4.25,340)(4.5,357.5)
\uput[dr](0.5,40){T$_{1}$} \uput[ul](0.5,80){T$_{2}$}
\uput[dr](4.25,340){A} \uput[d](4,-10){Temps en heure}
\rput{90}(0.25,400){Distance en km}
\end{pspicture}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : exercice 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \hline
\textbf{1.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}$ est égal à &$- \dfrac{1}{2}$&
\fbox{$\dfrac{1}{12}$}&$1$\\ \hline
\textbf{2.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\sqrt{18} - \sqrt{8}$ est égal à &\fbox{$\sqrt{2}$}&$\sqrt{10}$&$5\sqrt{2}$\\ \hline
\textbf{3.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} L'équation $4x - 3 = 7x + 6$ a pour solution&3&$\dfrac{9}{11}$&\fbox{$- 3$}\\ \hline
\textbf{4.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $\dfrac{3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-3}}$ est égal à &\fbox{5}&\nombre{0,000005}&0,2\\ \hline
\textbf{5.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} L'équation $(2x - 3)(3x + 5)$  a pour solution&$-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$&\fbox{$\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{5}{3}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(16,7)
\pscurve(0,3.1)(1,3.4)(2,3.65)(3,3.9)(4,4.05)(5,4.25)(6,4.5)(7,4.65)(7.6,4.8)(7,5.05)(6,5.2)(5,5.1)(4,4.8)(3,4.6)(2,4.65)(1,4.5)(0,4.3)
\pscurve(15,5.75)(14,5.5)(13,5.25)(12,5.05)(11,5)(10,4.9)(9.5,5.3)(10,5.4)(11,5.7)(12,6)(13,6.3)(14,6.4)(15,6.7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3.3,0.2)(3,2.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(12.5,0.7)(14.1,2.6)
\psline(6.5,1)(6.9,0.15)(7.35,0.3)(6.95,1.15) \pscurve(6.95,1.15)(6.8,1.4)(6.5,1.45)(6.5,1) 
\uput[l](3.3,0.2){V} \uput[l](3,2.5){E} \uput[ul](14.1,2.6){O}
\uput[ul](12.5,0.7){C}\uput[r](3.1,1.45){Vent} \rput(14.2,1.5){Courant}
\rput(3.5,4.3){Récif} \rput(13,5.6){Récif}\rput(8.6,5){Passe}
\psline(7,0.4)(7.15,0.46)(7,0.8)\pscurve(7,0.8)(6.7,1.2)(6.67,1)(6.8,0.7)(7,0.4) \rput(6.85,0.8){$\times$} \rput(6.2,0.7){G}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6.85,0.8)(6.55,3.1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6.85,0.8)(8.45,2.7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6.55,3.1)(8.15,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(8.45,2.7)(8.15,5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6.85,0.8)(8.15,5)
\uput[l](6.55,3.1){A}\uput[r](8.45,2.7){B}\uput[ul](8.15,5){T}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6.85,0.8)(8.15,5)(9.45,9.2)
\end{pspicture*}

\end{document}
