\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Nouvelle-Calédonie, 8 décembre 2016}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-caledonie-dec-2016}
\newcommand{\codefiche}{DNBNCAD16}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Nouvelle-Calédonie, 8 décembre 2016
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 3 : le phare Amédée ──────────────────────────────────
% B, J, R alignés ; (SB) et (PJ) perpendiculaires à (BR).
% S, P, R alignés (le regard de Robin). PJ = 2,1 m, JR = 1,3 m,
% BR = 34,7 m. Le dessin n'est pas à l'échelle : le phare est
% volontairement raccourci pour tenir dans la page.
\newcommand{\figphare}{%
% Le sommet du parasol est EXACTEMENT sur la droite (SR) : sans cela
% l'alignement, qui est tout l'objet de l'exercice, ne se verrait pas.
% Il en résulte un parasol très bas — c'est la réalité du montage :
% 2,1 m contre 56 m, à 1,3 m de l'oeil contre 34,7 m.
\begin{tikzpicture}[scale=0.135,line join=round,>=stealth]
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (J) at (33.4,0);
  \coordinate (R) at (34.7,0);
  \coordinate (S) at (0,56);
  \coordinate (P) at (33.4,2.1);
  \draw[thick] (B) -- (R);
  \draw[thick] (B) -- (S);
  \draw (0,2.6) -- (2.6,2.6) -- (2.6,0);
  \draw[thick] (J) -- (P);
  \draw (33.4,1.6) -- (31.8,1.6) -- (31.8,0);
  \draw[thick,dashed] (S) -- (R);
  \node[above] at (S) {\footnotesize S};
  \node[below left=-2pt] at (B) {\footnotesize B};
  \node[below left=-3pt] at (J) {\footnotesize J};
  \node[below right=-3pt] at (R) {\footnotesize R};
  \node[above left=-2pt] at (P) {\footnotesize P};
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-2.0,28) {\footnotesize Phare};
  \draw[->] (39.5,7.2) -- (34.0,2.4);
  \node[anchor=west] at (39.7,7.4) {\footnotesize Parasol};
  \draw[->] (39.5,3.2) -- (35.2,0.5);
  \node[anchor=west] at (39.7,3.4) {\footnotesize Moi};
  \draw[<->] (30.4,0) -- (30.4,2.1);
  \node[anchor=east] at (30.1,1.05) {\footnotesize 2,1 m};
  \draw[<->] (33.4,-3.4) -- (34.7,-3.4);
  \node[anchor=north west] at (34.9,-2.6) {\footnotesize 1,3 m};
  \draw[<->] (0,-7.6) -- (34.7,-7.6);
  \node[anchor=north] at (17.35,-8.0) {\footnotesize 34,7 m};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 7, annexe 2 : les trois salaires ─────────────────────
% David   : f(x) = 70 000        (droite horizontale)
% Angelo  : g(x) = 200x          (droite par l'origine, la plus pentue)
% Guillaume : h(x) = 100x + 50 000
% Les trois cadres vides sont à compléter par l'élève.
\newcommand{\graphsalaires}[1]{% #1 = 1 pour nommer les droites (corrigé)
% Les ordonnées sont comptées en MILLIERS de francs : au-delà de 16 384,
% TeX refuse de convertir un nombre en dimension (« Dimension too large »).
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{0.0195} \def\uy{0.082}
  \draw[black!35,densely dotted] (0,0) grid[xstep=50*\ux,ystep=10*\uy] (680*\ux,130*\uy);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (720*\ux,0);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,138*\uy);
  \foreach \x in {0,50,...,650}{
    \node[below=2pt,scale=0.72] at (\x*\ux,0) {\footnotesize \x};}
  \foreach \y in {0,10,...,120}{
    \node[left=2pt,scale=0.78] at (0,\y*\uy) {\footnotesize \y\,000};}
  \node[anchor=west] at (430*\ux,-0.62) {\footnotesize Nombre de livraisons};
  \node[anchor=west] at (30*\ux,126*\uy) {\footnotesize Salaire mensuel en francs};
  % David : salaire fixe ; Angelo : 200 F par livraison ; Guillaume : 50 000 + 100 F
  \draw[thick] (0,70*\uy) -- (680*\ux,70*\uy);
  \draw[thick] (0,0) -- (650*\ux,130*\uy);
  \draw[blue,thick] (0,50*\uy) -- (680*\ux,118*\uy);
  \ifnum#1=1
    \node[draw,thick,inner sep=3pt] at (555*\ux,122*\uy) {\footnotesize $g$};
    \node[draw,thick,blue,inner sep=3pt] at (625*\ux,104*\uy) {\footnotesize $h$};
    \node[draw,thick,inner sep=3pt] at (600*\ux,63*\uy) {\footnotesize $f$};
  \else
    \node[draw,thick,minimum width=1.3cm,minimum height=0.55cm] at (555*\ux,122*\uy) {};
    \node[draw,thick,blue,minimum width=1.3cm,minimum height=0.55cm] at (625*\ux,104*\uy) {};
    \node[draw,thick,minimum width=1.3cm,minimum height=0.55cm] at (600*\ux,63*\uy) {};
  \fi
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 9 : la carte des trois Provinces ─────────────────────
\newcommand{\cartenc}{%
\includegraphics[width=0.56\linewidth]{carte_dnb_caledonie_dec_2016.jpg}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1 : Questionnaire à choix multiples}{5}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.9cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
\hline
\textbf{1} & \textbf{B} &
1 h 10 min, c'est $1+\dfrac{10}{60}=\dfrac{7}{6}$ h. À 60 km/h :
$60\times\dfrac{7}{6}=70$ km. La réponse A reviendrait à compter 1 h 50 min.\\
\hline
\textbf{2} & \textbf{C} &
Salle 1 : $200\times0{,}40=80$ femmes. Salle 2 : $160\times0{,}50=80$ femmes. Il y en a donc
autant dans les deux salles, bien que les pourcentages diffèrent.\\
\hline
\textbf{3} & \textbf{B} &
L'aire vaut $10\times10=100$ cm$^{2}$. Or $1$ dm $=10$ cm, donc
$1$ dm$^{2}=10\times10=100$ cm$^{2}$ : les deux écritures désignent la même aire.\\
\hline
\textbf{4} & \textbf{A} &
$1^{1}+2^{2}+3^{3}=1+4+27=32$. Attention à ne pas confondre la puissance avec le produit :
$3^{3}$ vaut 27 et non 9.\\
\hline
\textbf{5} & \textbf{C} &
$2x+4=5x-2$ donne $4+2=5x-2x$, soit $6=3x$ et $x=2$. On vérifie :
$2\times2+4=8$ et $5\times2-2=8$.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2 : Jeu vidéo}{4}

Notons $v$ le nombre de points rapportés par une victoire et $d$ celui d'une défaite. Les deux
frères donnent deux équations :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
21v+9d=\np{1350}\\
12v+18d=900
\end{array}
\right.
\]
On simplifie chaque ligne — la première par 3, la seconde par 6 :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
7v+3d=450\\
2v+3d=150
\end{array}
\right.
\]
Les deux lignes contiennent maintenant $3d$ : en soustrayant la seconde de la première, les
défaites disparaissent :
\[
5v=300,\qquad v=60 .
\]
On reporte dans la seconde équation :
\[
2\times60+3d=150,\qquad 120+3d=150,\qquad 3d=30,\qquad d=10 .
\]
\conclusion{une victoire rapporte $\boxed{60\ \text{points}}$ et une défaite
$\boxed{10\ \text{points}}$.}

\smallskip
Vérification : Gabriel obtient $21\times60+9\times10=\np{1260}+90=\np{1350}$ points, et
Nathaniel $12\times60+18\times10=720+180=900$ points.

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3 : Phare Amédée}{3}

Les droites (SB) et (PJ) sont toutes deux perpendiculaires à (BR) : elles sont donc parallèles
entre elles.

\medskip
Dans le triangle RBS : le point J appartient à [RB], le point P appartient à [RS] — puisque le
sommet du parasol est aligné avec le sommet du phare et l'œil de Robin — et
$(\mathrm{JP})\parallel(\mathrm{BS})$. D'après le théorème de Thalès :
\[
\frac{\mathrm{RJ}}{\mathrm{RB}}=\frac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{JP}}{\mathrm{BS}} .
\]
L'énoncé donne $\mathrm{RJ}=1{,}3$ m, $\mathrm{RB}=34{,}7$ m et $\mathrm{JP}=2{,}1$ m. On
utilise donc le premier et le dernier rapport :
\[
\frac{1{,}3}{34{,}7}=\frac{2{,}1}{\mathrm{BS}},\qquad
\mathrm{BS}=\frac{2{,}1\times34{,}7}{1{,}3}=\frac{72{,}87}{1{,}3}\approx56{,}05 .
\]
\conclusion{Robin va trouver une hauteur d'environ $\boxed{56\ \text{m}}$.}

\smallskip
La hauteur réelle du phare Amédée est de 56 m : la méthode du parasol tombe remarquablement
juste.

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4 : Petite marche}{3}

Pour comparer, on calcule la vitesse de chacun, c'est-à-dire la distance parcourue en une
seconde.

\medskip
\textbf{Thomas} fait 5 pas de 0,7 m en 3 secondes :
\[
\frac{5\times0{,}7}{3}=\frac{3{,}5}{3}\approx1{,}17\ \text{m/s} .
\]
\textbf{Hugo} fait 7 pas de 0,6 m en 4 secondes :
\[
\frac{7\times0{,}6}{4}=\frac{4{,}2}{4}=1{,}05\ \text{m/s} .
\]
Or $1{,}17>1{,}05$.

\conclusion{c'est \boxed{\text{Thomas}} qui avance le plus vite.}

\smallskip
On peut aussi raisonner sur une durée commune : en 12 secondes, Thomas fait 20 pas soit 14 m,
et Hugo 21 pas soit 12,6 m.

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5 : Programmation}{3}

En notant $x$ le nombre de départ, le programme A donne $-3x-12$ et le programme B donne
$3(2x+5)=6x+15$.

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Avec le programme A et $x=-8$ :
    \[
    -3\times(-8)=24,\qquad 24-12=12 .
    \]
    Le résultat est bien 12.

    \item Avec le programme B et $x=-8$ :
    \[
    2\times(-8)=-16,\qquad -16+5=-11,\qquad -11\times3=-33 .
    \]
    \conclusion{le programme B donne $\boxed{-33}$.}
  \end{enumerate}

  \item Il suffit d'exhiber \emph{un seul} nombre de départ qui contredit Sandro. Prenons 0 :
  \[
  \text{programme A : } -3\times0-12=-12
  \qquad\text{et}\qquad
  \text{programme B : } (2\times0+5)\times3=15 .
  \]
  Ici $-12<15$ : le résultat de A est \emph{inférieur} à celui de B.

  \conclusion{\boxed{\text{Sandro se trompe}}.}

  \smallskip
  On peut préciser quand son affirmation est vraie : $-3x-12>6x+15$ équivaut à $-27>9x$,
  c'est-à-dire $x<-3$. Elle n'est donc valable que pour les nombres de départ inférieurs
  à $-3$ — ce qui explique qu'elle ait semblé juste avec $-8$.

  \item On cherche $x$ tel que le programme B redonne le nombre de départ :
  \[
  6x+15=x .
  \]
  On retire $x$ aux deux membres :
  \[
  5x+15=0,\qquad 5x=-15,\qquad x=-3 .
  \]
  \conclusion{le nombre de départ d'Anne était $\boxed{-3}$.}

  \smallskip
  Vérification : $(2\times(-3)+5)\times3=(-1)\times3=-3$.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{6 : Chandelier}{3}

\begin{enumerate}
  \item Le nombre de chandeliers doit diviser à la fois 180 et 108, et l'on en veut le plus
  possible : c'est le \textbf{PGCD} de 180 et 108. On décompose :
  \[
  180=2^{2}\times3^{2}\times5
  \qquad\text{et}\qquad
  108=2^{2}\times3^{3} .
  \]
  En gardant les facteurs communs avec leur plus petit exposant :
  \[
  \mathrm{PGCD}(180\,;108)=2^{2}\times3^{2}=36 .
  \]
  \conclusion{ils doivent acheter $\boxed{36\ \text{chandeliers}}$.}

  \item On répartit alors toutes les bougies :
  \[
  180\div36=5
  \qquad\text{et}\qquad
  108\div36=3 .
  \]
  \conclusion{chaque chandelier portera $\boxed{5}$ bougies dorées et $\boxed{3}$ bougies
  argentées.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{7 : Livraison de pizzas}{8}

\begin{enumerate}
  \item S'il y a très peu de commandes, le salaire d'Angelo, entièrement proportionnel au nombre
  de livraisons, devient minuscule ; celui de Guillaume ne descend pas en dessous de
  \np{50000} F, et celui de David reste à \np{70000} F quoi qu'il arrive.

  \conclusion{c'est \boxed{\text{David}} qui gagnerait le plus.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On applique les trois règles à chaque nombre de livraisons.

    \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.45}
    \begin{tabular}{|>{\raggedright\arraybackslash}m{4.2cm}|c|c|c|c|}
    \hline
    Nombre de livraisons par mois & 50 & \textbf{200} & \textbf{300} & \textbf{600}\\
    \hline
    Salaire de David en francs & \np{70000} & \textbf{\np{70000}} & \textbf{\np{70000}} &
    \textbf{\np{70000}}\\
    \hline
    Salaire de Guillaume en francs & \np{55000} & \textbf{\np{70000}} & \textbf{\np{80000}} &
    \textbf{\np{110000}}\\
    \hline
    Salaire d'Angelo en francs & \np{10000} & \textbf{\np{40000}} & \textbf{\np{60000}} &
    \textbf{\np{120000}}\\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    Par exemple pour 300 livraisons : Guillaume touche $\np{50000}+100\times300=\np{80000}$ F
    et Angelo $200\times300=\np{60000}$ F.

    \item On cherche le nombre $x$ de livraisons pour lequel Guillaume touche \np{70000} F :
    \[
    \np{50000}+100x=\np{70000},\qquad 100x=\np{20000},\qquad x=200 .
    \]
    \conclusion{Guillaume doit effectuer $\boxed{200\ \text{livraisons}}$ — ce que confirme le
    tableau.}
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On reconnaît chaque salaire à sa forme :

    \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
    \begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{8.4cm}|}
    \hline
    \textbf{Fonction} & \textbf{Salaire} & \textbf{Pourquoi}\\
    \hline
    $f(x)=\np{70000}$ & David & le salaire ne dépend pas de $x$ : c'est une fonction
    constante.\\
    \hline
    $g(x)=200x$ & Angelo & 200 F par livraison, sans partie fixe : fonction linéaire.\\
    \hline
    $h(x)=100x+\np{50000}$ & Guillaume & 100 F par livraison plus \np{50000} F de fixe :
    fonction affine.\\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    \item Sur le graphique, la droite horizontale est celle de $f$ ; celle qui part de l'origine
    et monte le plus vite est celle de $g$ ; celle qui part de \np{50000} est celle de $h$.

    \begin{center}
    \graphsalaires{1}
    \end{center}

    \item Angelo devient le mieux payé lorsque sa droite passe au-dessus des deux autres. Sur le
    graphique, elle croise celle de Guillaume au point de coordonnées
    $(500\,;\np{100000})$ — après avoir déjà dépassé celle de David vers 350 livraisons.

    \conclusion{à partir de $\boxed{500\ \text{livraisons}}$ par mois, Angelo reçoit le plus
    gros salaire.}

    \smallskip
    Le calcul le confirme : $200x>100x+\np{50000}$ équivaut à $100x>\np{50000}$, soit $x>500$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{8 : À table}{3}

Pour recouvrir entièrement la table, la nappe doit atteindre les quatre coins du carré. Le
disque doit donc contenir le carré, ce qui suppose que son diamètre soit au moins égal à la
\emph{diagonale} du carré — et non à son côté.

\medskip
On calcule cette diagonale avec le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle formé par
deux côtés de la table :
\[
d^{2}=2^{2}+2^{2}=4+4=8,\qquad d=\sqrt{8}\approx2{,}83\ \text{m} .
\]
Or la nappe ne mesure que 2,5 m de diamètre, et $2{,}5<2{,}83$.

\conclusion{non, \boxed{\text{la nappe n'est pas assez grande}} : il manque environ 33 cm. Les
quatre coins de la table resteraient découverts.}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{9 : Chasse au trésor}{4}

\begin{enumerate}
  \item La Province Nord compte 5 balises, dont 3 contiennent une clé. Toutes les balises étant
  également susceptibles d'être découvertes :
  \[
  p=\frac{3}{5}=0{,}6 .
  \]
  \conclusion{la probabilité est $\boxed{\dfrac{3}{5}}$.}

  \item Une balise a déjà été ouverte, et elle contenait une clé. Il ne reste donc en Province
  Nord que 4 balises, dont $3-1=2$ avec une clé :
  \[
  p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} .
  \]
  \conclusion{la probabilité est $\boxed{\dfrac{1}{2}}$.}

  \item La Province des Îles compte 3 balises, dont 2 avec une clé — donc \emph{une seule} sans
  clé. En ouvrant deux balises, il est impossible de tomber deux fois sur une balise vide,
  puisqu'il n'y en a qu'une.

  \smallskip
  L'équipe rapporte donc au moins une clé quoi qu'il arrive :
  \[
  p=1 .
  \]
  \conclusion{c'est un évènement \boxed{\text{certain}} : la probabilité vaut 1.}
\end{enumerate}

\end{document}
