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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Nouvelle-Calédonie, 7 décembre 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\fancyhead[C]{%
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\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
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\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Nouvelle-Calédonie, 7 décembre 2023}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 : QCM \hfill 15 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $2{,}7 \times 10^{-7} < 1$ : réponse A.
\item $\dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{6}{10} - \dfrac{7}{10} = -\dfrac{1}{10}$ : réponse A.
\item Réduction $= \dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4} = 25\,\%$ : réponse B.
\item L'homothétie de centre A qui transforme B en F transforme C en E (F milieu de [AB], E milieu de [AC]) : réponse C.
\item Série ordonnée : 3~; 5~; 8~; 10~; {\color{red}11}~; 12~; 14~; 17~; 20 → médiane = 11 : réponse C.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 : Paniers de légumes \hfill 18 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $78 = 2 \times 3 \times 13$~; $51 = 3 \times 17$.
        \item PGCD(39, 78, 51) = 3 : José peut faire 3 paniers.
        \item Chaque panier contient 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $51 = 13 \times 3 + {\color{red}12}$ : il restera 12 aubergines.
        \item Avec 1 aubergine supplémentaire, $52 = 13 \times 4$ : chaque panier aura 4 aubergines.
    \end{enumerate}
\item Multiples de 13 entre 110 et 125 : ${\color{red}117 = 13 \times 9}$. José doit récolter 117 tomates.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 : Isolation \hfill 18 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\text{DE} = \text{BD} - \text{BE} = \text{BD} - \text{AC} = 4{,}3 - 2{,}5 = 1{,}8$~m.
\item Triangle DEF rectangle en E~: $\sin 30\degres = \dfrac{\text{DE}}{\text{DF}}$, soit $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1{,}8}{\text{DF}}$, d'où DF $= 2 \times 1{,}8 = 3{,}6$~m.
\item Aire toit terrasse : $12 \times 3{,}6 = 43{,}2$~m$^2$. Rouleaux : $\dfrac{43{,}2}{6} = 7{,}2$ → 8 rouleaux.
\item Pythagore dans CDE rectangle en E~: $\text{DC}^2 = 1{,}8^2 + 8^2 = 3{,}24 + 64 = 67{,}24 = 8{,}2^2$, donc DC $= 8{,}2$~m.
\item Volume ouate~: $12 \times 8{,}2 \times 0{,}1 = 9{,}84$~m$^3$. Masse~: $9{,}84 \times 40 = 393{,}6$~kg.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 : Les roches de la Ouaïème \hfill 13 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item (PN) $\perp$ (DM) et (VM) $\perp$ (DM) : deux droites perpendiculaires à la même droite sont parallèles.
\item Configuration de Thalès~: $\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{NP}}{\text{MV}}$, soit $\dfrac{3}{3{,}8} = \dfrac{\text{NP}}{741}$, d'où $\text{NP} = \dfrac{741 \times 3}{3{,}8} = 585$~m.
\item Vitesse moyenne~: $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$~km/h.
\item Durée restante pour 0,8~km à 1,2~km/h~: $\dfrac{0{,}8}{1{,}2} = \dfrac{40}{60}$~h = 40~min.

Durée totale~: 2~h 40~min~$> 2$~h 30~min : Fabienne dépasse la durée estimée.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 : Fonctions \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $f$ n'est pas une fonction affine (sa représentation n'est pas une droite).
        \item Voir le tableau dans l'annexe.
        \item La bonne formule est \fbox{\texttt{=(B1+3)*(B1-1)}}.
    \end{enumerate}
\item $g(x) = 2x + 1$.
    \begin{enumerate}
        \item $g(-2) = -4 + 1 = -3$.
        \item $g(3) = 6 + 1 = 7$.
        \item $g(x) = 2 \iff 2x + 1 = 2 \iff x = \dfrac{1}{2}$.
        \item Trois points sur la droite : $(0~;~1)$, $(-1~;~-1)$ et $(1~;~3)$ — voir le graphique en annexe.
    \end{enumerate}
\item $f(x) = (x+3)(x-1)$.
    \begin{enumerate}
        \item $f(x) = x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3$.
        \item $f(x) = g(x) \iff x^2 + 2x - 3 = 2x + 1 \iff x^2 = 4 \iff (x+2)(x-2) = 0 \iff x = -2$ ou $x = 2$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 6 : Hexagone régulier \hfill 16 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $\widehat{\text{XBC}} = 180\degres - 120\degres = 60\degres$.
        \item Répéter \textbf{6} fois et tourner de \textbf{60\degres} (sens inverse des aiguilles).
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Le script trace \textbf{5} hexagones.
        \item Côtés du 1\up{er} hexagone~: \textbf{32} unités.
        \item Côtés du 2\up{e} hexagone~: $32 \times 1{,}5 = \textbf{48}$ unités.
        \item On obtient le dessin \textbf{3}.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 — Questions 1.~b. et 2.~d.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm]
    \clip (-5.2,-5.2) rectangle (6.2,13.2);
    \draw[step=1,gray!40,thin] (-5,-5) grid (6,13);
    \draw[line width=1.25pt,->] (-5.1,0) -- (6.1,0) node[right,font=\scriptsize] {$x$};
    \draw[line width=1.25pt,->] (0,-5.1) -- (0,13.1) node[above,font=\scriptsize] {$y$};
    \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} {
        \draw (\x,0.15) -- (\x,-0.15);
        \node[below,font=\scriptsize] at (\x,-0.15) {\x};
    }
    \foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} {
        \draw (0.15,\y) -- (-0.15,\y);
        \node[left,font=\scriptsize] at (-0.15,\y) {\y};
    }
    \draw[red,line width=1.25pt,domain=-5:3.2,samples=100] plot (\x,{(\x+3)*(\x-1)});
    \draw[black,line width=1.25pt,domain=-5:6,samples=2] plot (\x,{2*\x+1});
    \fill (-1,-1) circle (2.5pt);
    \fill (0,1) circle (2.5pt);
    \fill (1,3) circle (2.5pt);
    \node[right,red,font=\small] at (2.95,11.15) {$\mathcal{C}_f$};
    \node[rotate=63,font=\small] at (4.5,9.5) {$g(x) = 2x+1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 — Question 1.~b.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    & A    & B    & C    & D   & E   & F   & G \\ \hline
1   & $x$  & $-3$ & $-2$ & $-1$& $0$ & $1$ & $2$ \\ \hline
2   & $f(x)$ & $0$ & $-3$ & {\color{red}$-4$} & {\color{red}$-3$} & {\color{red}$0$} & {\color{red}$5$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{Exercice 6 — Question 1.~b.}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Bloc Hexagone}

\bigskip

\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Hexagone}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}

\end{document}
