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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Nouvelle-Calédonie -- mars 2015}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\fancyhead[C]{%
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    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
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\renewcommand{\i}{\,\text{i\,}}% le i des complexes
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%inférieur ou égal à
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Nouvelle-Calédonie, mars 2015}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 1 : QCM \hfill 5 points}

%\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaises réponses.}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Question &A &B &C\\ \hline
%1&Quelles sont les solutions de l'équation $(x - 3)(3x + 2) = 0$ ?&$0$ et $- \dfrac{5}{2}$& 3 et $- \dfrac{2}{3}$& $-3$ et $\dfrac{3}{2}$\\ \hline
%2&Une plante de 56~cm grandit de 15\,\% par trimestre sous serre. Quelle sera sa taille dans 3 mois?&64,4 cm& 71 cm& 8,4 cm\\ \hline
%3&\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture*}(-2.2,-3.5)(4.2,4.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-3.5)(4,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(4,4.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{x 1 sub dup mul 3 sub}
%\end{pspicture*}
%
%Quelle est l'image du nombre 1 par la fonction représentée ci-dessus ?&3&0&$- 3$\\ \hline
%4& Quel est le PGCD de 108 et 189 ?& 81& 9& 27\\ \hline
%5& Quelle est l'écriture égale à $\sqrt{45}$ ?\rule[-3mm]{0mm}{8mm}& 22,5& $3\sqrt{5}$& $5\sqrt{3}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Réponse B}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.

$x-3=0 \iff x=3$ et $3x+2=0 \iff 3x=-2 \iff x=-\dfrac{2}{3}$

\item \textbf{Réponse A}

Ajouter 15\,\% c'est multiplier par 1,15; $56\times 1,15 = 64,4$

\item \textbf{Réponse C}

La courbe dessinée passe par le point de coordonnées $(1,\,-3)$ donc l'image de $1$ est $-3$.

\item \textbf{Réponse C}

$189=108\times 1 + 81$; $108 = 81\times 1 + 27$; $81=27\times 3+0$;
le dernier reste non nul, donc le PGCD, est 27.

\item \textbf{Réponse B}

$\ds\sqrt{45}=\ds\sqrt{9\times 5}=\ds\sqrt{9}\times \ds\sqrt{5}=3\ds\sqrt{5}$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 : Le cercle \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On trace un cercle G de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 5,4 cm.

\item On construit un point D du cercle tel que $\widehat{\text{ABD}} = 37$\degres.

\item% Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier votre réponse.
Le triangle ABD est inscrit dans le cercle de diamètre \cd{}AB\cg{} donc ce triangle est rectangle en D.

\item% Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ ? Justifier votre réponse.
Le triangle ABD est rectangle en D donc les angles $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{DBA}}$ sont complémentaires; 

donc 
$\widehat{\text{BAD}}+\widehat{\text{DBA}}=90\degres{} \iff
\widehat{\text{BAD}}=90\degres{} - \widehat{\text{DBA}} \iff
\widehat{\text{BAD}}=90\degres{} - 37\degres{} \iff
\widehat{\text{BAD}}=53\degres{}$ 

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\pscircle[linewidth=1.2pt](0,0){2.7}
\psline(-2.7,0)(2.7,0)(2.7;106)(-2.7,0)
\uput[l](-2.7,0){A} \uput[r](2.7,0){B} \uput[106](2.7;106){D} 
\psarc(2.7,0){0.7}{143}{180} \rput(1.7,0.3){37°}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0,0) \uput[d](0,0){O}
\psarc(-2.7,0){0.7}{0}{53} \rput(-1.7,0.45){53°}
%\psplot{\xmin}{\xmax}{1.327 x mul 3.583 add}
%\psplot{\xmin}{\xmax}{-0.75355 x mul 2.0346 add }
\psline(-0.9,2.3887)(-0.656,2.205)(-0.5,2.4114)
\end{pspicture*}
\end{center}


\newpage

\subsection*{Exercice 3 : La kermesse \hfill 4 points}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{À la kermesse du village, il y a un jeu de grande
%roue. Le joueur lance la roue et gagne le lot indiqué.
%
%On suppose que la roue est bien équilibrée et que les
%secteurs sont superposables.
%
%Les lots sont de deux sortes : les jouets (petite
%voiture, poupée et ballon) et les sucreries (chocolat,
%sucette et bonbons).
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Gilda lance la roue une fois. Quelle est la
%probabilité qu'elle gagne un ballon ?
%\item Marie lance la roue une fois. Quelle est la
%probabilité qu'elle gagne une des sucreries ?
%\item Roméo lance la roue deux fois. Quelle est la
%probabilité qu'il gagne du chocolat puis une
%petite voiture ?\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3.2)
%\def\clou{\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0.75,0.2)\pscircle*(0.75,0.2){0.08}}
%\multido{\n=0+60}{6}{\rput(3;\n){\clou}}
%\psline(3;0)(3;180)\psline(3;60)(3;240)\psline(3;120)(3;300)
%\pscircle(0,0){3}
%\pstextpath[c](0,0){\psplot[linecolor=white]{-0.5}{0.5}{6.25 x dup mul sub sqrt}}{sucette}
%\pstextpath[c](0,0){\psplot[linecolor=white]{-2.5}{-1}{6.25 x dup mul sub sqrt}}{petite voiture}
%\pstextpath[c](0,0){\psplot[linecolor=white]{-2.5}{-1}{6.25 x dup mul sub sqrt neg}}{chocolat}
%\pstextpath[c](0,0){\psplot[linecolor=white]{-0.6}{0.6}{6.25 x dup mul sub sqrt neg}}{poupée}
%\pstextpath[c](0,0){\psplot[linecolor=white]{1}{2.5}{6.25 x dup mul sub sqrt neg}}{bonbons}
%\pstextpath[c](0,0){\psplot[linecolor=white]{1}{2.5}{6.25 x dup mul sub sqrt}}{ballon}
%\pspolygon*(-0.2,3.2)(0.2,3.2)(0,2.8)
%\psarc{<-}(0,0){3.2}{120}{150}
%\end{pspicture}
%}
%
%\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Sur la roue, il y a 6 secteurs de mêmes surfaces donc il y a équiprobabilité; la probabilité de gagner un ballon est
$\dfrac{1}{6}$.

\item
La roue contient 3 secteurs contenant des sucreries: la probabilité de gagner une sucrerie est donc $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

\item
Pour avoir la probabilité de gagner un chocolat puis une petite voiture, il faut multiplier les probabilités de chacun des événements:
$\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$

\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 4 : La course \hfill 4,5 points}

\medskip

L'Association des Enfants Heureux organise une course. Chaque
enfant a un vélo ou un tricycle. 

L'organisateur a compté $64$ enfants et
$151$~roues.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Combien de vélos et combien de tricycles sont engagés dans cette course ?
Soit $v$ le nombre de vélos et $t$ le nombre de tricycles.

Un vélo possède 2 roues, un tricycles en possède 3; il y a en tout 151 roues donc $2v+3t=151$.

Il y a 64 enfants donc le nombre total de cycles est 64: $v+t=64$.

On résout le système $\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
2v+3t & 151\\
v+t & 64
\end{array}
\right.$

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
2v+3t & 151\\
v+t & 64
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
2v+3t & 151\\
v & 64-t
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
2(64-t)+3t & 151\\
v & 64-t
\end{array}
\right.\\
\phantom{\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
2v+3t & 151\\
v+t & 64
\end{array}
\right.}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
128-2t+3t & 151\\
v & 64-t
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
t & 151-128\\
v & 64-t
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
t & 23\\
v & 41
\end{array}
\right.
$ 

Dans cette course, il y a 41 vélos et 23 tricycles engagés.

\item Chaque vélo engagé rapporte 500~F et chaque tricycle 400~F. %Calculer la somme que l'association des Enfants Heureux recevra.

Les vélos rapportent $41\times 500=\np{20500}$~F;
les tricycles rapportent $23\times 400=\np{9200}$~F.

L'association recevra pour cette course $\np{20500}+ \np{9200} = \np{29700}$~F.

%\emph{Dans cet exercice, tout essai, toute idée exposée et toute démarche, même non aboutis ou mal formulés seront pris en compte pour l'évaluation.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 : La pêche aux crabes \hfill 4 points}

\medskip

Martin va en vacances durant une semaine chez sa grand-mère
au bord de la mer.

Les crabes se mesurent dans leur plus grande largeur (sans les pinces).

Voici les différentes tailles en centimètres des crabes qu'il a
pêchés au cours de la semaine :

\[23 - 9 - 10 - 10 - 23 - 22 - 18 - 16 - 13 - 8 - 8 - 16 - 18 - 10 - 12\]

\begin{enumerate}
\item% Quelle est la moyenne de cette série ?
Martin a mesuré 15 crabes. La moyenne de cette série est:

$\dfrac{23 + 9 + 10 + 10 + 23 + 22 + 18 + 16 + 13 + 8 + 8 + 16 + 18 + 10 + 12}{15} = \dfrac{216}{15}=14,4 $

\item% Quelle est la médiane de cette série ?
Pour déterminer la médiane, on écrit les tailles des crabes en ordre croissant:

\[ 8 - 8 - 9 - 10 - 10 - 10 - 12 - \fbox{13} - 16 - 16 - 18 - 18 - 22 - 23 - 23\]

La médiane de cette série est la valeur du nombre situé \og{} au milieu\fg{} de cette série, soit le $8\ieme$ nombre qui est 13.

\item Les crabes de moins de 14~cm dans leur plus grande largeur sont interdits à la pêche. 

%Quelle proportion de crabes a-t-il dû remettre en liberté pour protéger l'espèce ?

Il y a 8 crabes ayant une largeur inférieure à 14~cm; il faut donc remettre en liberté une proportion de crabes égale à $\dfrac{8}{15}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 6 : La géode \hfill 6 points}

\medskip

La géode, située à la Cité des Sciences de la Villette à Paris, est une
structure sphérique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La salle de projection, située à l'intérieur de la géode, est une
demi-sphère de diamètre 26~m.

Une sphère de diamètre 26~m a pour rayon 13~m et donc pour volume
$\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi\times 13^3$.

Le volume de la géode est donc 
$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\pi \times 13^3 \approx \np{4601}$~m$^3$

%Calculer le volume de cette salle. Donner la réponse en m$^3$ arrondie à l'unité.

\item La surface extérieure est en partie recouverte de triangles équilatéraux de $120$~cm de côté.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la hauteur d'un de ces triangles est $104$~cm (arrondie à l'unité).

\begin{multicols}{2}

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 120~cm. On appelle H le pied de la hauteur issue de C.

Dans le triangle ACH rectangle en H:\\ $\sin \widehat{\text{CAH}} = \dfrac{\text{CH}}{\text{AC}}$ donc $\text{CH}= \sin \widehat{\text{CAH}}\times \text{AC}$.

Le triangle ABC est équilatéral de côté 120 donc $\text{AC}=120$ et chaque angle de ce triangle vaut 60° donc $\widehat{\text{CAH}}=60\degres$.

On a donc: 
$\text{CH}= \sin 60\degres\times 120 \approx 104$

La hauteur d'un de ces triangles est approximativement de 104~cm.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=0.3cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {13}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {13}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\pspolygon(0,0)(12,0)(12;60)
\psline(12;60)(6,0)
\uput[-150](0,0){\small A} \uput[-30](12,0){\small B} 
\uput[u](12;60){\small C} 
\uput[d](6,0){\small H}
\psarc(0,0){2}{0}{60} \uput[30](2;30){60°} 
\psline(5,0)(5,1)(6,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{multicols}

		\item% En déduire que l'aire d'un triangle est d'environ \np{6240}cm$^2$.
L'aire d'un de ces triangles est égale à
$\dfrac{\text{AB}\times \text{CH}}{2} \approx \dfrac{120\times 104}{2} \approx \np{6240}$~cm$^2$.



 	\end{enumerate}

\item Il a fallu \np{6433} triangles pour recouvrir la partie extérieure de la Géode.
	
%Quelle est l'aire de la surface recouverte par ces triangles ? Donner la réponse en m$^2$ arrondie à l'unité.

La surface recouverte par ces triangles est approximativement de
$\np{6433}\times\np{6240} = \np{40141920}$~cm$^2$ soit \np{4014,1920}~m$^2$ ce qui donne en arrondissant au m$^2$: \np{4014}~m$^2$.  

\end{enumerate}

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
%Formulaire :& Volume d'une sphère : $S = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ où $r$ est le rayon de la sphère.\\
%&Aire d'un triangle :  $A = \dfrac{b \times h}{2}$ où $b$ est l'aire d'une base et $h$ sa hauteur associée.\\ \hline
%\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 7 : Le club de sport \hfill 3,5 points}

\medskip

Le club de sport \og Santé et Forme \fg{} propose à ses clients deux
tarifs :

Tarif A: forfait annuel à \np{90000}~F

Tarif B: une adhésion à \np{5000}~F puis un abonnement mensuel à
\np{7900}~F.
%
%
%\parbox{0.58\linewidth}{Le club de sport \og Santé et Forme \fg{} propose à ses clients deux
%tarifs :
%
%Tarif A: forfait annuel à \np{90000}~F
%
%Tarif B: une adhésion à \np{5000}~F puis un abonnement mensuel à
%\np{7900}~F.
%
%\begin{enumerate}
%\item Mathilde est intéressée mais elle ne sait pas quel tarif
%choisir. Pour s'aider elle utilise un tableur (ci-contre).
%
%Mathilde a utilisé une formule pour le calcul du tarif B.
%
%Parmi les quatre propositions suivantes, recopie sur ta feuille
%celle qui correspond à la cellule C4 :
%
%\fbox{20800 + 7900}
%
%\fbox{=5000+A4*7900}
%
%\fbox{=somme (C2:C3)}
%
%\fbox{(C2+C3)/2}
%\end{enumerate}} \hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C\\ \hline
%1&\footnotesize Nombre de mois&\footnotesize tarif A&\footnotesize tarif B\\ \hline
%2	&1	&\np{90000}&\np{12900}\\ \hline
%3	&2	&\np{90000}&\np{20800}\\ \hline 
%4	&3	&\np{90000}&\np{28700}\\ \hline 
%5	&4	&\np{90000}&\np{36600}\\ \hline 
%6	&5	&\np{90000}&\np{44500}\\ \hline 
%7	&6	&\np{90000}&\np{52400}\\ \hline 
%8	&7	&\np{90000}&\np{60300}\\ \hline 
%9	&8	&\np{90000}&\np{68200}\\ \hline 
%10	&9	&\np{90000}&\np{76100}\\ \hline 
%11	&10	&\np{90000}&\np{84000}\\ \hline 
%12	&11	&\np{90000}&\np{91900}\\ \hline 
%13	&12	&\np{90000}&\np{99800}\\ \hline  
%\end{tabularx}}
%
%\parbox{0.4\linewidth}{
%\begin{enumerate}
%\item[\textbf{2.}] À partir de combien de mois d'abonnement le tarif A devient-il
%plus intéressant que le tarif B ?
%\item[\textbf{3.}] Mathilde construit aussi le graphique correspondant (ci-contre).
%
%Lequel des tarifs A ou B est représenté par la droite $g$ ?
%\end{enumerate}}
%\hfill
%\parbox{0.6\linewidth}{\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.000045cm}
%\begin{pspicture}(-3,-10000)(13,120000)
%\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,120000)}
%\multido{\n=0+10000}{13}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(13,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=150000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(13,120000)
%\psline[linewidth=1.5pt](0,90000)(13,90000)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{0}{13}{7900 x mul 5000 add}
%\uput[u](4.8,90000){$h$}
%\uput[u](4.8,44000){$g$}
%\multido{\n=0+10000}{13}{\uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}}
%\end{pspicture}
%}

\begin{enumerate}
\item La formule qui doit être dans la cellule C4 est
\fbox{= 5000 + A4*7900}

\item D'après le tableur, le 11\ieme{} mois est la première fois que le tarif B (\np{91900}~F) est supérieur au tarif A (\np{90000}~F); c'est donc à partir du 11\ieme{} mois que le tarif A devient plus intéressant que le tarif B. 

\item La droite $h$ correspond à une fonction constante, donc au prix constant correspondant au tarif A; c'est donc le tarif B qui est représenté par la droite $g$.

\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 8 : Le faré \hfill 5 points}

\medskip

François aide son papa à reconstruire le faré du jardin.

Le toit a la forme d'une pyramide à base carrée représentée ci-dessous.

François doit acheter du bois de charpente pour refaire les traverses de ce toit à quatre pans.
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,7)
%%\psgrid
%\pspolygon(0.5,0.5)(7,0.5)(9.7,2.2)(5.1,6.6)(7,0.5)%AB?CBA
%\psline(0.5,0.5)(5.1,6.6)%AC
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(9.7,2.2)
%\psline[linestyle=dashed](3.2,2.2)(7,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.2,2.2)(9.7,2.2)
%\psline[linestyle=dashed](3.2,2.2)(5.1,6.6)(5.1,1.35)
%\psline(2.1,2.65)(6.37,2.65)(8.12,3.7)%GF--
%\psline[linestyle=dashed](2.1,2.65)(3.85,3.7)(8.12,3.7)%G--
%\psline(3.5,4.5)(5.8,4.5)(6.7,5.1)%DE--
%\psline[linestyle=dashed](3.5,4.5)(4.4,5.1)(6.7,5.1)%D--
%\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](7,0.5){B} \uput[u](5.1,6.6){C} \uput[ul](3.5,4.5){D} 
%\uput[ur](5.7,4.55){E} \uput[ur](6.27,2.65){F} \uput[ul](2.1,2.65){G} \uput[d](5.1,1.38){H}
%\rput(8.4,4.8){traverses}
%\psline{->}(8.4,4.6)(6.2,4.8)
%\psline{->}(8.4,4.6)(7.3,3.2)
%\psline{->}(8.4,4.6)(8.6,1.52) 
%\end{pspicture}
%
%AC = 3,60 m, \quad AH = 2,88 m,\quad CH = 2,16 m
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Montrer que le triangle ACH est rectangle en H.
On sait que, en mètres, $\text{AC}= 3,6$, $\text{AH}=2,88$ et $\text{CH}= 2,16$.

Donc $\text{AC}^2=12,96$, $\text{AH}^2=\np{8,2944}$ et $\text{CH}^2= \np{4,6656}$.

On constate que $12,96 = \np{8,2944} + \np{4,6656}$ ce qui veut dire que $\text{AC}^2= \text{AH}^2+\text{CH}^2$.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACH est rectangle en H.  
  

\item On a représenté ci-dessous le pan ABC.

\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6.3,5)
%\psgrid
\def\barbar{\psline(-0.15,0.15)(0.15,-0.15)\psline(-0.08,0.15)(0.22,-0.15)}
\def\barbard{\psline(0.15,0.15)(-0.15,-0.15)\psline(0.08,0.15)(-0.23,-0.15)}
\pspolygon(0.5,0.5)(5.8,0.5)(3.15,4.5)%ABC
\psline(1.38,1.8)(4.92,1.8)%GF
\psline(2.2,3.1)(4.1,3.1)%DE
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.8,0.5){B} \uput[u](3.15,4.5){C} 
\uput[ul](2.2,3.1){D} \uput[ur](4.1,3.1){E} \uput[ur](4.92,1.8){F} 
\uput[ul](1.38,1.8){G}
\rput(1,1.3){\barbar}\rput(1.8,2.5){\barbar}\rput(2.7,3.8){\barbar}
\rput(5.3,1.23){\barbard}\rput(4.5,2.5){\barbard}\rput(3.6,3.8){\barbard}
\end{pspicture}
}\hfill\parbox{0.48\linewidth}{ABC est un triangle isocèle en C.

AC = 3,60 m

Les distances AG, GD, DC, CE, EF et FB sont égales.

Les droites (DE), (GF) et (AB) sont parallèles.}

	\begin{enumerate}
		\item Le pan ABC comprend trois traverses [DE], [GF] et [AB].
François a coupé une traverse [AB] de 4,08 m.
%Calculer DE.

On sait que (DE) est parallèle à (AB); on applique le théorème de Thalès dans les triangles CDE et CAB:
$\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}$ donc $\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} =\dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}$;
or $\text{CD}=\text{DG}=\text{GA}$ donc $\dfrac{\text{CD}\rule{0pt}{12pt}}{\text{CA}}=\dfrac{1}{3}$

On en déduit que $\dfrac{\text{DE}\rule{0pt}{12pt}}{\text{AB}} = \dfrac{1}{3}$ donc que $\text{DE} = \dfrac{1}{3}\,\text{AB} = \dfrac{1}{3}\times 4,08 = 1,36$~m.

		\item On donne de plus GF = 2,72 m. Les quatre pans de la toiture sont identiques.
		
%Calculer la longueur totale des traverses nécessaires pour refaire la toiture.

Sur la face ABC, la longueur des traverses nécessaires est\\
$\text{DE} + \text{GF} + \text{AB} = 1,36 + 2,72 + 4,08 = 8,16$~m.

Comme il y a quatre pans identiques, la longueur totale des traverses nécessaires pour refaire la toiture est de $4\times 8,16 = 32,64$~m.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}
