\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Nouvelle-Calédonie, mars 2019}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-caledonie-mars-2019}
\newcommand{\codefiche}{DNBNCAA19}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Nouvelle-Calédonie, mars 2019
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1, question 2 : configuration « papillon » ───────────
\newcommand{\figpapillon}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.50,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (E) at (-1.05,0.30);
  \coordinate (F) at (-1.85,-0.75);
  \coordinate (M) at (2.6,-0.75);
  \coordinate (N) at (2.05,1.45);
  \draw[thick] (-2.9,-1.25) -- (4.0,1.55);
  \draw[thick] (-2.9,0.70) -- (3.8,-1.35);
  \draw[thick] (-2.35,-1.35) -- (1.5,2.05);
  \draw[thick] (0.9,-1.35) -- (3.3,2.05);
  \node[above left=-2pt]  at (E) {\footnotesize E};
  \node[above right=-2pt] at (A) {\footnotesize A};
  \node[below left=-2pt]  at (F) {\footnotesize F};
  \node[below=1pt]        at (M) {\footnotesize M};
  \node[above=1pt]        at (N) {\footnotesize N};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4 : les quatre stations ─────────────────────────────
\newcommand{\figstations}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,0) rectangle (11.4,0.34);
  \foreach \x/\n in {0.5/1, 4.1/2, 7.7/3, 11.0/4}{
    \draw[->,thick] (\x,1.05) -- (\x,0.42);
    \node[below] at (\x,-0.10) {\footnotesize\bfseries Station \n};}
  % le bus
  \draw[thick] (8.5,0.42) -- (10.9,0.42) -- (10.9,1.12) -- (9.3,1.12) -- (8.5,0.86) -- cycle;
  \foreach \x in {8.85,9.15,9.45,9.75,10.05,10.35}{
    \draw (\x,0.90) rectangle (\x+0.20,1.06);}
  \fill (9.2,0.42) circle (0.11); \fill (10.3,0.42) circle (0.11);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 6 : rappels Scratch ─────────────────────────────────
\newcommand{\rosescratch}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,>=stealth]
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,1.6);   \node[above] at (0,1.6) {\footnotesize 0\degres};
  \draw[->,thick] (0,0) -- (1.9,0);   \node[right] at (1.9,0) {\footnotesize 90\degres};
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,-1.6);  \node[below] at (0,-1.6) {\footnotesize 180\degres};
  \draw[->,thick] (0,0) -- (-1.9,0);  \node[left]  at (-1.9,0) {\footnotesize $-90\degres$};
\end{tikzpicture}}

\newcommand{\figangle}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.68,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (-3.2,0) -- (0,0);
  \draw[thick] (0,0) -- (-1.1,-1.9);
  \draw[thick,densely dashed,red] (0,0) -- (1.4,0);
  \draw[->,thick,red] (1.15,0.42) arc[start angle=18,end angle=-58,radius=1.25];
  \draw[thick] (-0.62,0) arc[start angle=180,end angle=240,radius=0.62];
  \node[anchor=east] at (-1.9,-0.42) {\footnotesize angle de 60\degres};
  \node[anchor=west,red] at (1.5,0.30) {\footnotesize sens de déplacement};
  \node[anchor=west,red] at (0.55,-1.05) {\footnotesize angle de 120\degres};
  \fill (0,0) circle (2.4pt);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 6, question 2 : la figure à obtenir ─────────────────
% Un carré de 5 carreaux de côté : le côté d'un carreau vaut 20 unités,
% donc le carré mesure 100 sur 100.
\newcommand{\figcarrecible}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.40,line join=round]
  \draw[black!55] (0,0) grid (9,9);
  \draw[very thick] (1,8) -- (6,8) -- (6,3) -- (1,3) -- cycle;
  \fill (1,8) circle (7pt);
  \node[above right=-1pt] at (1,8) {\footnotesize départ};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 6, question 4 : les trois parallélogrammes ──────────
% Le script trace un parallélogramme dont le côté bas est décalé VERS
% LA DROITE et dont l'angle au sommet haut-droit vaut 105 degrés.
\newcommand{\parallelo}[3]{% #1 décalage horizontal du bas, #2 angle affiché, #3 lettre
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round]
  \draw[thick] (0,1.7) -- (5,1.7) -- (5+#1,0) -- (#1,0) -- cycle;
  \draw[thick] (4.4,1.7) arc[start angle=180,end angle={180+atan2(-1.7,#1)*(-1)},radius=0.6];
  \node[anchor=north east] at (4.75,1.5) {\footnotesize #2\degres};
  \node[below] at (2.5+#1/2,-0.35) {\textbf{#3}};
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\parallelos}{%
  \parallelo{0.80}{115}{A}\hfill
  \parallelo{-0.55}{75}{B}\hfill
  \parallelo{0.62}{105}{C}}

% ── Exercice 8 : les trois modèles de voile ──────────────────────
\newcommand{\modeleun}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,3.5) -- (0,0) -- (4,0) -- cycle;
  \draw (0,0.42) -- (0.42,0.42) -- (0.42,0);
  \node[above] at (0,3.5) {\footnotesize B};
  \node[below left=-2pt] at (0,0) {\footnotesize E};
  \node[right=2pt] at (4,0) {\footnotesize L};
  \draw[<->] (-0.55,0) -- (-0.55,3.5);
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-0.62,1.75) {\footnotesize 3,5 m};
  \draw[<->] (0,-0.55) -- (4,-0.55);
  \node[below] at (2,-0.60) {\footnotesize 4 m};
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\modeledeux}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,3) -- (0,0) -- (4,0) -- cycle;
  \draw[thick] (0.12,3.06) -- (4.12,0.06);
  \draw (0,0.42) -- (0.42,0.42) -- (0.42,0);
  \node[above] at (0,3) {\footnotesize O};
  \node[below left=-2pt] at (0,0) {\footnotesize P};
  \node[right=2pt] at (4,0) {\footnotesize T};
  \draw[<->] (-0.55,0) -- (-0.55,3);
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-0.62,1.5) {\footnotesize 3 m};
  \node[rotate=-37,anchor=south] at (2.2,1.68) {\footnotesize 5 m};
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\modeletrois}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,4.24) -- (0,0) -- (4.24,0) -- cycle;
  \draw[thick] (0.12,4.30) -- (4.36,0.06);
  \draw (0,0.42) -- (0.42,0.42) -- (0.42,0);
  \draw (3.34,0) arc[start angle=180,end angle=135,radius=0.9];
  \node[anchor=south east] at (3.55,0.10) {\footnotesize 45\degres};
  \node[above] at (0,4.24) {\footnotesize M};
  \node[below left=-2pt] at (0,0) {\footnotesize U};
  \node[below right=-2pt] at (4.24,0) {\footnotesize R};
  \draw[thick] (-0.14,2.02) -- (0.14,2.02); \draw[thick] (-0.14,2.22) -- (0.14,2.22);
  \draw[thick] (2.02,-0.14) -- (2.02,0.14); \draw[thick] (2.22,-0.14) -- (2.22,0.14);
  \node[rotate=-45,anchor=south] at (2.35,2.30) {\footnotesize 6 m};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 7 (annexe 3) : le triangle et la maquette ───────────
\newcommand{\figabc}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.42,line join=round]
  \draw[thick] (0,4.5) -- (0,0) -- (6,0) -- cycle;
  \node[above] at (0,4.5) {\footnotesize A};
  \node[below left=-2pt] at (0,0) {\footnotesize C};
  \node[below right=-2pt] at (6,0) {\footnotesize B};
  \node[anchor=east] at (-0.25,2.25) {\footnotesize 4,5};
  \node[below] at (3,-0.15) {\footnotesize 6};
  \node[rotate=-37,anchor=south] at (3.2,2.5) {\footnotesize 7,5};
\end{tikzpicture}}

% La photographie de la maquette est remplacée par une silhouette :
% seule la cote de 20 cm sert au calcul.
\newcommand{\figmaquette}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.50,line join=round,>=stealth]
  \fill[black!22] (-0.62,0) -- (-0.40,3.5) -- (-0.62,3.5) -- (-0.62,3.9)
       -- (0.62,3.9) -- (0.62,3.5) -- (0.40,3.5) -- (0.62,0) -- cycle;
  \draw[thick] (-0.62,0) -- (-0.40,3.5) -- (-0.62,3.5) -- (-0.62,3.9)
       -- (0.62,3.9) -- (0.62,3.5) -- (0.40,3.5) -- (0.62,0) -- cycle;
  \fill[black!45] (-0.34,3.95) rectangle (0.34,4.45);
  \draw[thick] (-0.34,3.95) rectangle (0.34,4.45);
  \draw[thick] (-0.20,4.45) -- (-0.20,4.75) -- (0.20,4.75) -- (0.20,4.45);
  \draw[<->] (1.35,0) -- (1.35,4.75);
  \node[rotate=90,anchor=south] at (1.28,2.4) {\footnotesize 20 cm};
\end{tikzpicture}}

% ── Annexe 1 : la représentation graphique de g ──────────────────
% g(x) = -2x + 8 : droite passant par (0 ; 8) et (4 ; 0).
\newcommand{\graphg}[1]{% #1 = 1 pour tracer aussi f et le point S (corrigé)
\begin{tikzpicture}[scale=0.46,>=stealth]
  \draw[black!55] (-3,-5) grid (6,12);
  \draw[->,thick] (-3.6,0) -- (6.6,0);
  \draw[->,thick] (0,-5.6) -- (0,12.8);
  \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{
    \node[below=1pt,scale=0.75] at (\x,-0.1) {\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}{
    \node[left=1pt,scale=0.75] at (-0.1,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \node[below left=-1pt,scale=0.75] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \draw[blue,very thick] (-2.4,12.8) -- (6,-4);
  \ifnum#1=1
    \draw[red,very thick] (-2.5,-5) -- (6,12);
    \fill (2,4) circle (4pt);
    \node[above right=1pt] at (2,4) {\footnotesize S};
    \draw[densely dotted,thick] (2,0) -- (2,4) -- (0,4);
    \node[blue,anchor=west] at (5.0,-3.0) {\footnotesize $\mathscr{C}_{g}$};
    \node[red,anchor=west]  at (5.2,11.0) {\footnotesize $\mathscr{C}_{f}$};
  \fi
\end{tikzpicture}}

% ── Annexe 2 : le quadrillage de l'exercice 6 ────────────────────
\newcommand{\grilleannexe}[1]{% #1 = 1 pour tracer le rectangle (corrigé)
\begin{tikzpicture}[scale=0.46,line join=round]
  \draw[very thick] (-0.4,-0.4) rectangle (9.4,9.4);
  \draw[black!55] (0,0) grid (9,9);
  \fill (1,8) circle (6pt);
  \node[above right=-1pt] at (1,8) {\footnotesize départ};
  \ifnum#1=1
    \draw[very thick,red] (1,8) -- (6,8) -- (6,4) -- (1,4) -- cycle;
  \fi
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1 : Questions à choix multiples}{12}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.9cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
\hline
\textbf{1} & \textbf{C} &
$\np{1600}=16\times100=2^{4}\times(2^{2}\times5^{2})=2^{6}\times5^{2}$. La réponse A donne bien
\np{1600} mais 4 et 10 ne sont pas premiers ; la réponse B vaut $256\times25=\np{6400}$.\\
\hline
\textbf{2} & \textbf{B} &
Configuration «~papillon~» : A est le point d'intersection, (EF) $/\!/$ (MN). D'après le
théorème de Thalès,
$\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AM}}=\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{MN}}$, soit
$\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{\mathrm{MN}}$ et $\mathrm{MN}=\dfrac{4\times5}{2}=10$ cm.\\
\hline
\textbf{3} & \textbf{A} &
$6x(3x-5)+7x=18x^{2}-30x+7x=18x^{2}-23x$. La réponse B n'est pas réduite et son premier terme
est faux ; la réponse C ajoute $-30x$ et $-7x$ au lieu de $+7x$.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2 :}{9}

\begin{enumerate}
  \item Un moule est une demi-sphère de rayon 3 cm : son volume est la moitié de celui de la
  boule de même rayon.
  \[
  V=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times3^{3}
   =\frac{2}{3}\times\pi\times27=18\pi\approx56{,}5487 .
  \]
  \conclusion{le volume d'un moule est d'environ $\boxed{56{,}5\ \text{cm}^{3}}$.}

  \item Chaque moule est rempli aux trois quarts de son volume, pris ici égal à 57 cm$^{3}$ :
  \[
  57\times\frac{3}{4}=42{,}75\ \text{cm}^{3}\ \text{de pâte par gâteau.}
  \]
  Jade dispose de 1 L, c'est-à-dire $1$ dm$^{3}=\np{1000}$ cm$^{3}$ :
  \[
  \np{1000}\div42{,}75\approx23{,}4 .
  \]
  On ne peut pas faire un gâteau avec un reste de pâte insuffisant : on arrondit à l'entier
  inférieur.

  \conclusion{Jade peut faire $\boxed{23\ \text{TAKOYAKI}}$. Il lui restera environ
  $\np{1000}-23\times42{,}75\approx16$ cm$^{3}$ de pâte.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3 :}{17}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On cherche l'abscisse du point de la droite dont l'ordonnée vaut 4.

    \conclusion{l'antécédent de 4 par $g$ est $\boxed{2}$.}

    \item On complète le tableau à l'aide de $g(x)=-2x+8$ :

    \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $x$ & $-2$ & \textbf{0} & 4 & \textbf{6}\\
    \hline
    $g(x)$ & \textbf{12} & 8 & \textbf{0} & $-4$\\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    En effet $g(-2)=4+8=12$ ; $g(x)=8$ donne $-2x=0$ donc $x=0$ ; $g(4)=-8+8=0$ ; et
    $g(x)=-4$ donne $-2x=-12$ donc $x=6$.
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item $f(-2)=2\times(-2)=\boxed{-4}$.
    \item $f(3)=2\times3=\boxed{6}$.
    \item $f$ est une fonction linéaire : sa représentation est la droite passant par l'origine
    et par le point $(3\,;6)$.
  \end{enumerate}

  \item Les deux droites se coupent au point S.

  \conclusion{l'abscisse de S est $\boxed{2}$ — son ordonnée vaut 4.}

  \begin{center}
  \graphg{1}
  \end{center}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On résout :
    \[
    2x=-2x+8,\qquad 2x+2x=8,\qquad 4x=8,\qquad x=2 .
    \]
    \conclusion{la solution est $\boxed{x=2}$.}

    \item Résoudre $2x=-2x+8$, c'est chercher les nombres qui ont la même image par $f$ et
    par $g$.

    \conclusion{le résultat est l'\boxed{\text{abscisse du point d'intersection S}} des deux
    droites — ce qui confirme la lecture graphique de la question 3.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4 : Calédorail}{11}

\begin{enumerate}
  \item Attention : entre 4 stations il n'y a pas 4 intervalles, mais \textbf{3}.
  \[
  3\times450=\np{1350} .
  \]
  \conclusion{la distance entre la station 1 et la station 4 est d'environ
  $\boxed{\np{1350}\ \text{m}}$, soit 1,35 km.}

  \item La vitesse demandée est en km/h : il faut donc convertir la durée en heures.
  \[
  24\ \text{min}=\frac{24}{60}=0{,}4\ \text{h} .
  \]
  \[
  v=\frac{9{,}9}{0{,}4}=24{,}75 .
  \]
  \conclusion{la vitesse moyenne serait de $\boxed{24{,}75\ \text{km/h}}$.}

  \item Augmenter de 40 \%, c'est multiplier par $1+\dfrac{40}{100}=1{,}4$ :
  \[
  190\times1{,}4=266 .
  \]
  \conclusion{le ticket Calédorail coûterait $\boxed{266\ \text{F}}$.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5 :}{17}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Les 21 pays n'ont pas tous le même nombre de médailles : il faut une moyenne
    \emph{pondérée} par les effectifs.
    \[
    1\times6+2\times3+3\times1+4\times1+5\times4+7\times1+8\times1+9\times1
    +11\times1+14\times2=102 ,
    \]
    \[
    m=\frac{102}{21}\approx4{,}857 .
    \]
    \conclusion{le nombre moyen de médailles d'or par pays est d'environ $\boxed{4{,}9}$.}

    \item L'effectif total est 21, un nombre impair : la médiane est la valeur de rang
    $\dfrac{21+1}{2}=11$, une fois les valeurs rangées dans l'ordre croissant.

    \smallskip
    On cumule les effectifs : 6 pays ont 1 médaille (rangs 1 à 6), 3 en ont 2 (rangs 7 à 9),
    1 en a 3 (rang 10), 1 en a 4 (rang 11).

    \conclusion{la médiane vaut $\boxed{4}$ médailles d'or.}

    \item Au moins la moitié des pays médaillés ont obtenu 4 médailles d'or ou moins, et au
    moins la moitié en ont obtenu 4 ou plus.

    \smallskip
    On remarque que la médiane (4) est nettement inférieure à la moyenne (4,9) : quelques pays
    très bien classés — la Norvège et l'Allemagne avec 14 médailles — tirent la moyenne vers le
    haut sans déplacer la médiane.
  \end{enumerate}

  \item La cellule L2 additionne les effectifs de B2 à K2.

  \conclusion{on a saisi $\boxed{\texttt{=SOMME(B2:K2)}}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Sur les 21 pays médaillés, 6 n'ont qu'une seule médaille d'or :
    \[
    p=\frac{6}{21}=\frac{2}{7} .
    \]
    \conclusion{$p=\boxed{\dfrac{2}{7}}$.}

    \item «~Au moins 5 médailles~» regroupe les valeurs 5, 7, 8, 9, 11 et 14, d'effectifs
    respectifs 4, 1, 1, 1, 1 et 2 :
    \[
    4+1+1+1+1+2=10 .
    \]
    \[
    p=\frac{10}{21} .
    \]
    \conclusion{$p=\boxed{\dfrac{10}{21}}$.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{6 :}{10}

\begin{enumerate}
  \item Avec \textbf{angle} $=90$, le lutin tourne à angle droit à chaque sommet : la figure est
  un rectangle. Ses côtés valent 100 et \textbf{longueur} $=80$.

  \smallskip
  Un carreau représentant 20 unités, cela fait $100\div20=5$ carreaux sur $80\div20=4$
  carreaux. Le lutin part orienté vers la droite, puis tourne dans le sens des aiguilles d'une
  montre : il descend.

  \begin{center}
  \grilleannexe{1}
  \end{center}

  \item Pour obtenir un carré, les deux côtés doivent être égaux. Or l'un d'eux vaut 100, fixé
  dans le script ; il faut donc que \textbf{longueur} vaille 100 elle aussi. Et pour que les
  angles soient droits, \textbf{angle} doit valoir 90.

  \conclusion{$\boxed{\textbf{longueur}=100}$\quad et \quad$\boxed{\textbf{angle}=90}$.}

  \smallskip
  On le vérifie sur la figure : le carré mesure 5 carreaux de côté, soit $5\times20=100$
  unités.

  \setcounter{enumi}{2}
  \item Suivons le script avec \textbf{longueur} $=50$ et \textbf{angle} $=75$. Le lutin part
  vers la droite, avance de 100, tourne de 75\degres, avance de 50, tourne de
  $180-75=105$\degres, et ainsi de suite.

  \smallskip
  \textbf{Les angles de la figure.} À un sommet, l'angle intérieur du parallélogramme vaut
  $180\degres$ moins l'angle dont le lutin a tourné. Le parallélogramme a donc des angles de
  $180-75=105\degres$ et de $180-105=75\degres$ : la valeur 115\degres{} de la figure A
  n'existe pas, ce qui l'élimine.

  \smallskip
  \textbf{Le sens du décalage.} Comme le lutin tourne dans le sens des aiguilles d'une montre
  après avoir tracé le côté du haut vers la droite, il descend \emph{vers la droite} : le côté
  du bas se retrouve décalé à droite de celui du haut. Sur la figure B c'est l'inverse, elle est
  donc éliminée aussi.

  \smallskip
  Reste la figure C, dont l'angle marqué en haut à droite vaut bien 105\degres.

  \conclusion{l'élève a tracé le parallélogramme $\boxed{\text{C}}$.}
\end{enumerate}

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\exercice{7 :}{12}

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Affirmation 1 :} le plus grand côté du triangle est [AB], qui mesure 7,5. On
  compare :
  \[
  \mathrm{AB}^{2}=7{,}5^{2}=56{,}25 ,
  \]
  \[
  \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CB}^{2}=4{,}5^{2}+6^{2}=20{,}25+36=56{,}25 .
  \]
  Ces deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
  triangle ABC est rectangle en C.

  \conclusion{l'affirmation 1 est \boxed{\text{VRAIE}}.}

  \item \textbf{Affirmation 2 :} il suffit d'un contre-exemple. Prenons cinq facteurs dont deux
  sont négatifs :
  \[
  (-1)\times(-1)\times1\times1\times1=1>0 .
  \]
  Le produit est bien strictement positif alors que deux facteurs sont négatifs.

  \conclusion{l'affirmation 2 est \boxed{\text{FAUSSE}}. Ce qui est vrai, c'est qu'un produit de
  facteurs non nuls est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est \emph{pair}.}

  \item \textbf{Affirmation 3 :} le rapport de réduction compare la maquette à la réalité, dans
  la même unité. Le phare mesure 56 m, soit \np{5600} cm, et la maquette 20 cm :
  \[
  \frac{20}{\np{5600}}=\frac{1}{280} .
  \]
  Or l'affirmation annonce $\dfrac{1}{28}$, soit dix fois plus.

  \conclusion{l'affirmation 3 est \boxed{\text{FAUSSE}} : le rapport de réduction vaut
  $\dfrac{1}{280}$. L'erreur vient d'un oubli de conversion — 56 m ne font pas 560 cm mais
  \np{5600} cm.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{8 :}{12}

Il faut comparer l'aire de chaque modèle à 8 m$^{2}$.

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Modèle 1.} Le triangle BEL est rectangle en E : les côtés [EB] et [EL] sont la
  hauteur et la base.
  \[
  \mathcal{A}=\frac{3{,}5\times4}{2}=7\ \text{m}^{2} .
  \]
  Or $7<8$.

  \conclusion{le modèle 1 \boxed{\text{ne convient pas}}.}

  \item \textbf{Modèle 2.} Ici on connaît un côté de l'angle droit, [OP] $=3$ m, et
  l'hypoténuse [OT] $=5$ m. Il manque [PT], que donne le théorème de Pythagore dans le triangle
  OPT rectangle en P :
  \[
  \mathrm{OT}^{2}=\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{PT}^{2},\qquad
  25=9+\mathrm{PT}^{2},\qquad \mathrm{PT}^{2}=16,\qquad \mathrm{PT}=4\ \text{m} .
  \]
  \[
  \mathcal{A}=\frac{3\times4}{2}=6\ \text{m}^{2} .
  \]
  Or $6<8$.

  \conclusion{le modèle 2 \boxed{\text{ne convient pas}}.}

  \item \textbf{Modèle 3.} Le triangle MUR est rectangle en U et les codages indiquent
  $\mathrm{MU}=\mathrm{UR}$ : il est rectangle isocèle, ce que confirme l'angle de 45\degres{}
  en R. On applique le théorème de Pythagore avec l'hypoténuse [MR] $=6$ m :
  \[
  \mathrm{MR}^{2}=\mathrm{MU}^{2}+\mathrm{UR}^{2}=2\times\mathrm{MU}^{2},
  \qquad 36=2\times\mathrm{MU}^{2},\qquad \mathrm{MU}^{2}=18 .
  \]
  Inutile d'extraire la racine : l'aire s'exprime directement avec $\mathrm{MU}^{2}$, puisque
  $\mathrm{UR}=\mathrm{MU}$ :
  \[
  \mathcal{A}=\frac{\mathrm{MU}\times\mathrm{UR}}{2}=\frac{\mathrm{MU}^{2}}{2}
  =\frac{18}{2}=9\ \text{m}^{2} .
  \]
  Or $9\geqslant8$.

  \conclusion{seul le modèle $\boxed{3}$ convient.}
\end{enumerate}

\end{document}
