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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Centres étrangers, 18 juin 2026}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
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    {\Large\bfseries \titre\par}
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\end{minipage}%
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    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Centres étrangers, 18 juin 2026}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES (6 pts)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}
	On range les valeurs dans l'ordre croissant :  \np[°C]{-1}; \np[°C]{0}; \np[°C]{1}; \np[°C]{3}; \np[°C]{7}.

	La médiane est la valeur qui est au milieu de la série, {c'est \np[°C]{1}.}

\subsection*{Question 2}
	\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
		C'est le {motif n°8} qui est l'image du motif n°4 par cette translation.
	\end{minipage}
	\hfill~
	\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]
		\draw[->, >=triangle 45,line width=1mm, red](3.2,0.8)--(4.7,-0.2);
		\draw[->, >=triangle 45,line width=1mm, blue](0.7,-0.2)--(2.2,-1.2);
		\foreach \n/\x/\y in{1/0/0,2/2/0,3/4/0,4/-0.5/-1,5/1.5/-1,6/3.5/-1,7/-1/-2,8/1/-2,9/3/-2}{\begin{scope}[shift={(\x,\y)},rotate=0]
				\draw[line width=0.3mm](0,0)--(1,0.5)--(2,0)--(2.5,1)--(1.5,1.5)--(0.5,1)--cycle;\draw(1,0.8)node[right]{n°\n};
		\end{scope}}
	\end{tikzpicture}\hfill~

\subsection*{Question 3}
	Il y a 8 boules dont 3 sont rouges, donc {{$P(\text{rouge})=\dfrac38=\np{0.375}$}}

\subsection*{Question 4}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	On utilise la formule apprise par c\oe{}ur \textbf{CAH}.

	{$\cos\left(\widehat{\text{LKJ}}\right)=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{\text{LK}}{\text{JK}}$}
	\end{minipage}
	\hfill~
	\begin{tikzpicture}[rotate=-30,baseline={(current bounding box.center)}]
		\draw[line width=0.3mm](0,0)rectangle(0.4,-0.4);
		\draw[fill=blue!20](5,0)--(4,0)arc(180:201.8:1)--cycle;
		\draw[line width=0.3mm](0,0)node[above left]{L}--(5,0)node[right]{K}node[midway, above, rotate=-30]{\textcolor{red}{adjacent}}--(0,-2)node[left]{J}node[midway, below, rotate=-8.2]{\textcolor{red}{hypoténuse}}--cycle;
	\end{tikzpicture}
	\hfill~

\subsection*{Question 5}
	{$\np{311200000}=\np{3.112}\times\np{100000000}$} \quad et \quad {$\np{100000000}=10^8$} (huit zéros),

	donc l'écriture scientifique de \np{311200000} est {$\np{3.112}\times10^8$}

\subsection*{Question 6}
	2~h~30~min c'est 2 heures plus la moitié d'une heure.

	Charlie a donc parcouru deux fois 40~km plus la moitié de 40~km :
	\quad $40 \times 2 + 40 \div 2 = 80 + 20 = 100$.

	Au total, {Charlie a fait 100~km.}

\subsection*{Question 7}
	{$5(x+1)=5\times x + 5\times 1 = 5x+5$}, donc la forme factorisée est {{$5(x+1)$}.}

\subsection*{Question 8}
	La diminution du prix est calculée par \quad
	\begin{tabular}{c|c|c}
		                & en \euro{} & en \% \\ \hline
		    baisse      &    $x$     &  10   \\ \hline
		valeur initiale &     80     &  100
	\end{tabular}

	{$x=80\times\dfrac{10}{100}$}, qu'il faut retrancher du prix initial, donc le calcul à effectuer est {	{$80-\dfrac{10}{100}\times80$}.}

\subsection*{Question 9}
\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2]
	\fill[teal!25]plot[smooth]coordinates{(14.55,2)(15,2.3)(16,2.7)(17,2.8)(18,2.6)(19.15,2)}--cycle;
	\draw(11.9,1.5)node[rotate=90]{Hauteur d'eau (en m)};
	\draw(20,-0.5)node[left]{Heure (en h)};
	\draw(16,3.6)node{Hauteur d'eau dans le port de Quiberon};
	\draw(16,3.3)node{{\small 23 juillet 2025}};
	\draw[blue!50](12.4,-0.2)grid[step=0.5,dotted](20,3);
	\draw[blue](12.4,-0.2)grid[](20,3);
	\foreach \i in{13,14,...,20}{\draw(\i,-0.3)node{\textbf{\i h}};}
	\foreach \j in{0,1,2,3}{\pgfmathsetmacro{\leg}{int(\j+2)}\draw(12.4,\j)node[left]{\leg};}
	\draw[red, line width=0.4mm]plot[smooth]coordinates{(13,0.7)(14,1.6)(15,2.3)(16,2.7)(17,2.8)(18,2.6)(19,2.1)(20,1.2)};
	\draw[teal, line width=1mm](14.55,2)node[below right]{env. 14~h~30}--(19.15,2)node[below left]{env. 19~h};
\end{tikzpicture}

	Entre 14~h~30 à 19~h environ, le niveau a été plus élevé que 4~m, cela a donc duré {environ 4~h~30~min.}

\needspace{10\baselineskip}

\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}

\section*{Exercice 1 (4 points)}

\begin{enumerate}
	\item \hfill~\begin{tikzpicture}[baseline=(N.base)]
	\draw[->](0,0)node[below]{A}--(6.4,0)node[below]{B}--(9.6,0)node[below]{M};
	\draw[->](6,.4)rectangle(6.4,0)--(6.4,4.8)	(9.2,0.4)rectangle(9.6,0)--(9.6,7.2);
	\draw[->][dashed](6.4,4.8)--(6.4,6)(9.6,7.2)--(9.6,8);
	\draw[->][dashed](8,0)arc(0:45:8);
	\draw[->](6.4,4.8)node[above right]{C};
	\draw[->,dashed](-0.5,-0.375)--(10,7.5);
	\draw[->](0,0)--(9.6,7.2)node[above](N){N};
	\end{tikzpicture}\hfill~

	Commencer par tracer le segment [AM] (\np[cm]{9.6}) avec le point B intercalé à \np[cm]{6.4} de A.

	Puis tracer les deux perpendiculaires en B et M.

	Laisser apparent un bel arc de cercle centré sur A et de rayon 8.

	À l'intersection avec la perpendiculaire en B, on place le point C.

	On peut ensuite tracer la droite (AC) et placer N à l'intersection avec la perpendiculaire en M.

	\item ABC est un triangle rectangle en B, selon le théorème de Pythagore, {$\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2$}.

	Donc {$\text{BC}^2=8^2-\np{6.4}^2=\np{23.04}$} et {$\text{BC}=\sqrt{\np{23.04}}=\np{4.8}$}.

	La longueur BC mesure \np[cm]{4.8}.

	\item (BC) et (MN) sont toutes deux perpendiculaires à (AM).

	Comme deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles, (BC) et (MN) sont parallèles.

	\item \begin{itemize}
		\item Les points A, B et M sont alignés;
		\item les points A, C et N sont alignés;
		\item (BC) et (MN) sont parallèles.
	\end{itemize}
	Donc, selon le théorème de Thalès, \quad	{$\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}$}

	On peut donc calculer : \quad
	{$\text{MN}=\dfrac{\text{BC}\times\text{AM}}{\text{AB}}=\np{7.2}$}\quad et \quad
	{$\text{AN}=\dfrac{\text{AC}\times\text{AM}}{\text{AB}}=\np{12}$}.

	Les longueurs MN et AN sont respectivement \np[cm]{7.2} et \np[cm]{12}.

	\item Le périmètre du triangle ABC est de {$\np{6.4}+\np{4.8}+8=\np[cm]{19.2}$}.

	Comme A, C et N sont alignés, {$\text{CN}=\np[cm]{4}$}.

	Donc le périmètre de BMNC est égal à {$\np{3.2}+\np{7.2}+\np{4}+\np{4.8}=\np[cm]{19.2}$}.

	Les deux figures ont le même périmètre et celui-ci est de \np[cm]{19.2}.
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}

\section*{Exercice 2 (\np{3.5} points)}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item La longueur totale d'un bonbon est de \np[mm]{15}.

	À chaque extrémité, il y a une demi-boule de rayon \np[mm]{2.5}.

	Donc la partie cylindrique a une hauteur égale à {$15-2\times\np{2.5}=\np[mm]{10}$.}

	\item \begin{enumerate}
		\item La partie cylindrique a pour base un disque de rayon \np[mm]{2.5},

		son aire est égale à {$\pi \times\np{2.5}^2\approx\np[mm^2]{19.63}$}.

		La hauteur du cylindre est de \np[mm]{10},

		donc son volume est égal à {$10\times(\pi\times\np{2.5}^2)\approx \np[mm^3]{196}$.}

		\item Les deux demi-boules qui constituent les extrémités ont, ensemble, le volume d'une boule de rayon \np{2.5}, soit \quad {$\dfrac43 \times \pi\times \np{2.5}^3\approx \np[mm^3]{65.4}$}.

		Léa a donc raison, puisque la somme des volumes de la partie cylindrique et des deux extrémités est égale à {$\np{196.3}+\np{65.4}=\np{261.7}$} qui s'arrondit à \np[mm^3]{262}.

		\textit{Variante:} Le volume des deux demi-boules est environ \np[mm^3]{65}, le volume total d'un bonbon est de \np[mm^3]{261}, donc Léa a raison.
	\end{enumerate}

	\item Un bonbon demande un volume d'environ \np[mm^3]{262},

	donc pour produire \np{300000} bonbons, il faut {$\np{300000}\times262=\np[mm^3]{78600000}$} de mélange.

	Or \quad {$\np[litre]{1} = \np[dm^3]{1} = \np[cm^3]{1000} = \np[mm^3]{1000000}$}.

	Donc \quad  {$\np[mm^3]{78600000}=\np[litres]{78.6}$} :

	83~litres seront donc plus que suffisants pour produire \np{300000}~bonbons.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

	Avec le format A, Léa paiera {$2\times\np{7.90}=\np[\euro{}]{15.80}$} pour 1 kilo de bonbons.

	Avec le format B, il lui faudra acheter 4 sachets, les 3 premiers à \np[\euro{}]{4.30}, le quatrième à \np[\euro{}]{2.15}.

	Cela lui coûtera au total \quad {$3\times\np{4.30}+\np{2.15}=\np[\euro{}]{15.05}$}.

	Léa a donc intérêt à profiter de la promotion sur les sachets B.

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 3 (\np{4.5} points)}
\begin{enumerate}
	\item On choisit $1$ comme nombre de départ :\qquad
	\begin{tikzpicture}[every node/.style={align=center,inner ysep=6pt,inner xsep=12pt,minimum width=2cm, rounded corners}, baseline={(a.base)}]
	\node(a)at(0,0)[text width=2cm,draw]{1};
	\node(b)at(-2,-1.5)[text width=2cm,draw]{{$1+6=7$}};
	\node(c)at(2,-1.5)[text width=2cm,draw]{{$1-4=-3$}};
	\node(d)at(0,-3)[draw]{\quad$7\times(-3)=-21$\quad};
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](a.south)--(b.north);
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](a.south)--(c.north);
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](b.south)--(d.north);
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](c.south)--(d.north);	\end{tikzpicture}

	Si on choisit $1$, on obtient effectivement $-21$ avec le programme A.

	\item {$10\xrightarrow{\text{élever au carré}}10^2=100$\quad puis \quad $100 \xrightarrow{\text{soustraire }9}100-9=91$}

	Avec le programme B, on obtient $91$ lorsque le nombre de départ est $10$.

	\item Si on choisit $x$ comme nombre de départ, le programme B calcule {$x^2-9$}.

	On cherche donc pour quelle(s) valeur(s) de $x$ on obtient $16$,

	autrement dit \quad {$x^2-9=16\iff x^2-25=0$}.

	On remarque que {$25=5^2$}, donc on peut factoriser une identité remarquable et l'équation à résoudre devient {$(x-5)(x+5)=0$.}

	Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul; donc il y a deux solutions qui sont $-5$ et $5$.

	Si on choisit un de ces deux nombres, on obtiendra $16$ avec le programme B.

	\item \begin{minipage}[t]{0.45\linewidth} Ligne 3, on ajoute 6, ligne 4, on soustrait 4 et enfin ligne 5 on fait le produit des 2 résultats intermédiaires.
	\end{minipage}\hfill~
	\begin{scratch}[num blocks,num start=3, baseline=3]
	\blockvariable{mettre \selectmenu{Valeur 1} à  {\ovaloperator{\ovalsensing{réponse} + \ovalnum{6}}}}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{~Valeur 2} à  {\ovaloperator{\ovalsensing{réponse} - \ovalnum{4}}}}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à  \ovaloperator{\ovalvariable{Valeur 1} ~* \ovalvariable{Valeur 2}}}
	\end{scratch}\hfill~
	\item On choisit $x$ comme nombre de départ dans le programme A :

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[every node/.style={align=center,inner ysep=6pt,inner xsep=12pt,minimum width=2cm, rounded corners}, baseline={(a.base)}]
	\node(a)at(0,0)[draw]{$x$};
	\node(b)at(-2,-1.5)[draw]{{$x+6$}};
	\node(c)at(2,-1.5)[draw]{{$x-4$}};
	\node(d)at(0,-3)[draw]{$(x+6)(x-4)$};
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](a.south)--(b.north);
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](a.south)--(c.north);
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](b.south)--(d.north);
	\draw[->,>=latex,line width=0.3mm](c.south)--(d.north);	\end{tikzpicture}
	\end{center}

	On développe : \quad {$(x+6)(x-4)=x^2-4x+6x-24=x^2+2x-24$}.

	Avec le programme A, on calcule {$x^2+2x-24$}.

	\item On sait que le programme A calcule \quad {$x^2+2x-24$} \quad et le programme B \quad {$x^2-9$}.

	Les deux programmes donnent le même résultat si et seulement si \quad {$x^2+2x-24=x^2-9$}.

	Cette équation peut se simplifier en soustrayant $x^2$ à chaque membre, et elle devient :

	$\begin{aligned}
			2x-24=-9&\iff2x=15\\&\iff x=\dfrac{15}{2}
		\end{aligned}$

	Les deux programmes donnent le même résultat si on choisit comme nombre de départ {$\dfrac{15}{2}=\np{7.5}$} et ce résultat est \np{47.25}.
\end{enumerate}

\end{document}
