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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Centres étrangers -- juin 2008}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\fancyhead[C]{%
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    \centering
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\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Centres étrangers, juin 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\vspace{0,5cm} 
%
%Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

%\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
%présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%On écrira les détails des calculs sur la copie.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit le nombre A $ = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4}$.

%Calculer A. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible, puis on donnera sa valeur décimale.
A $ = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{70}{20} = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{2} = \dfrac{8}{10} - \dfrac{35}{10} = \dfrac{- 27}{10} = - 2,7$.
\item  %Soit le nombre B $ = \dfrac{3 \times 10^{- 4}  \times 5 \times \left(10^2  \right)^6}{25 \times 10^{-2}}$.

%Calculer B. On donnera le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
B $ = \dfrac{3 \times 10^{-4} +\times 5 \times \left(10^2  \right)^6}{25 \times 10^{-2}} = \dfrac{15 \times 10^{-4}\times 10^{12}}{25 \times 10^{-2}} = \dfrac{15 \times 10^8}{25 \times 10^{-2}} = \dfrac{3}{5}\times 10^{10} = 0,6 \times 10^{10} = 6\times 10^9$. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{ Exercice 2}

\medskip
 
%\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
%
%\og Le nombre caché :
%
%\begin{itemize}
%\item  Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. 
%\item  Je suis pair. 
%\item  Je suis divisible par 11. 
%\item  J'ai aussi 3 et 5 comme diviseur. 
%\end{itemize}
%
%Qui suis-je ? \fg.
%
%Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur. 
Ce nombre est multiple de 2, de 3, de 5 et de 11, donc de $2\times 3\times5\times11 = 330$.

Or 330 est le seul multiple de 330 entre 100 et 400. Le nombre caché est 330.
\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre le système suivant : 
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%5x + 4y&=&88\\
%x + 2y&=&26\\
%\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l c l}
5x + 4y&=&88\\
x + 2y&=&26\\
\end{array}\right.$

La seconde équation donne $x = 26 - 2y$ et  en substituant dans la première équation :

$5(26 - 2y) + 4y = 88$ ou $130 - 10y + 4y = 88$ ou $130 - 88 = 10y - 4y$, puis $42 = 6y$ soit $y = 7$ et ensuite $x = 26 - 2\times 7 = 26 - 14 = 12$.

La solution est donc $x = 12,\:y = 7$. 
\item ~%Dans une grande surface, les DVD et les CD sont en promotion.
 
%Les DVD coûtent tous le même prix. Les CD coûtent tous le même prix.
%
%Paul achète 5 DVD et 4 CD pour 88~\euro.
% 
%Louis achète un DVD et 2 CD. Il paie 26~\euro.
% 
%Quel est le prix d'un DVD ?
%
%Quel est le prix d'un CD ?
Si $x$ est le prix d'un DVD et $y$ celui d'un CD, on a :

$\left\{\begin{array}{l c l}
5x + 4y	&=&88\\
x + 2y	&=&26\\
\end{array}\right.$
 soit le système de la question 1. 

Le prix d'un DVD est donc $x = 12$~\euro et celui d'un CD $y = 7$~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
% 
%Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
%
%Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%

Les bonnes réponses sont entourées.
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &&	 	Réponse A&	Réponse B&	Réponse C\\ \hline
\textbf{1.}&$\sqrt{32}$ est égale à :&$16\sqrt{2}$&	$8\sqrt{2}$&\fbox{$4\sqrt{2}$}\\ \hline		
\textbf{2.}&$\sqrt{9 + 16}$  	 est égale à :&	7&\fbox{$5$}&$\sqrt{3} + \sqrt{4}$\\ \hline	
\textbf{3.}&Pour tout nombre $x,\: {x^2-100}$   est égale à :&\fbox{$(x + 10)(x - 10)$}&$(x - 10)^2$&$(x - 50)^2$\\ \hline		
\textbf{4.}&L'équation $(x - 4)(2x + 5) = 0$ a pour solutions :&	$4$ et $\dfrac{5}{2}$&$- 4$ et $- \dfrac{5}{2}$&\fbox{$4$ et $- \dfrac{5}{2}$}\\ \hline
\textbf{5.}&Si $x = \sqrt{5}$ alors l'expression $x^2 + 3x - 1$ vaut :&\fbox{$4 + 3\sqrt{5}$} &$7\sqrt{5}$&$24 + 3\sqrt{5}$\\ \hline
\textbf{6.}&Si le côté d'un carré est multiplié par 3 alors son aire est multipliée par :&$3 \times 4$&\fbox{$3^2$}&$3$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%\parbox{0.47\linewidth}{La figure suivante n'est pas réalisée en vraie grandeur.
% 
%L'unité de longueur est le centimètre.
%
%On donne : 
%
%AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

%Calculer AD.

%On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième de centimètre.
Les droites  (DE) et (BC) sont parallèles, donc d'après la propriété de Thalès :

$\dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AB}}$, donc $\dfrac{4}{6} = \dfrac{\text{AD}}{8}$, d'où $\text{AD} = \dfrac{4 \times 8}{6} = \dfrac{16}{3} \approx 5,3$~cm.
\item  %Soit F le point tel que C, B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF = 6.

%Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
On a  $\dfrac{\text{CA}}{\text{CE}} = \dfrac{6}{6+4} = \dfrac{6}{10} = 0,6$ ; de même 

$\dfrac{\text{CB}}{\text{CF}} = \dfrac{9}{9+6} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.

On a donc $\dfrac{\text{CA}}{\text{CE}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{CF}}$, ce qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}
%}\hfill
%\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(9,5.5)
%\pspolygon(0,0)(7.9,0)(5.7,5.2)(8.4,5.2)(3.6,0)%FCEDB
%\uput[r](6.5,3.3){A}\uput[d](3.6,0){B} \uput[d](7.9,0){C} \uput[u](8.4,5.2){D} \uput[u](5.7,5.2){E} \uput[d](0,0){F}
%\psline(6.57,3.2)(0,0)%AF 
%\end{pspicture}
%}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  ~%Construire un triangle SKI rectangle en S tel que SK = 9,6~cm et KI = 10,4~cm.
\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,6)
%\psgrid
\psarc(0,0){5.2}{0}{180}
\psarc(5.2,0){9.6}{155}{165}
\pspolygon(-5.2,0)(5.2,0)(-3.63,3.7)%IKS
\uput[dl](-5.2,0){I} \uput[dr](5.2,0){K}\uput[u](-3.63,3.7){S}
\psdots(0,0)\uput[d](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item  %Calculer SI.
Dans le triangle SKI rectangle en S, le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{IK}^2 =  \text{IS}^2 + \text{SK}^2$ soit $10,4^2 = \text{IS}^2 +9,6^2$, d'où $\text{IS}^2 = 108,16 - 92,16 = 16 = 4^2$, donc $\text{IS} = 4$~cm.
\item  %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SKI}}$. On donnera l'arrondi au degré.
Dans le triangle SKI rectangle en S, on a par exemple $\sin \widehat{\text{SKI}} = \dfrac{\text{IS}}{\text{IK}} = \dfrac{4}{10,4}$.

La calculatrice donne  $\widehat{\text{SKI}} \approx 22,6$ soit environ 23\degres au degré près.
\item  %En déduire au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{SIK}}$.
L'angle $\widehat{\text{SIK}}$ est le complémentaire de l'angle  $\widehat{\text{SKI}}$, donc  $\widehat{\text{SIK}} \approx 90 - 23$, d'où $\widehat{\text{SIK}} \approx 67$\degres au degré près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SKI ? 
On sait que le centre du cercle circonscrit au triangle SKI rectangle est le milieu de son hypoténuse [IK]
		\item  %Placer le point O sur la figure et tracer ce cercle.
Voir la figure.		
%Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOI}}$.
L'angle au centre $\widehat{\text{SOI}}$ a une mesure de l'angle inscrit qui intercepte le même arc soit l'angle $\widehat{\text{SIK}}$.

Donc $\widehat{\text{SOI}} \approx 2 \times 23$, donc $\widehat{\text{SOI}} \approx 46$\degres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III. Problème \hfill 12 points}

\medskip
 
%Un cybercafé propose à ses clients les trois tarifs suivants pour accéder à Internet :
% 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Tarif A : abonnement 25~\euro{} par mois pour une connexion illimitée. 
%\item[$\bullet~$] Tarif B : 1,50~\euro{} par heure de connexion. 
%\item[$\bullet~$] Tarif C : abonnement 14~\euro{} par mois et 0,50~\euro{} par heure de connexion.
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Nombre d'heures de connexion par mois}\\\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&6 heures&18 heures&24 heures&$x$ heures\\ \hline
				&Tarif A	&25	&25	&25	&$25$\\% \cline{2-6}
Prix (en \euro)	&Tarif B	&9	&27	&36	&$1,5x$\\% \cline{2-6}	 	 	 	 
				&Tarif C	&17	&23	&26	&$0,5x + 14$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 	 	 	 
\item  ~%On considère les fonctions $f,~ g$ et $h$ définies de la façon suivante : 
%\begin{itemize}
%\item[] $f(x) = 25$
%\item[] $g(x) = 1,5x$
%\item[] $h(x) = 0,5x + 14$ 
%\end{itemize}

%Tracer les représentations graphiques de ces trois fonctions dans le repère orthogonal ci-dessous. 
%
%Unités graphiques : 1~cm pour 2~heures en abscisse, 1~cm pour 5~\euro{} en ordonnée.
%
%\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(34,60)
\multido{\n=0+1}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0.0+2.5}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](0,\n)(34,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=5](0,0)(-1.9,-4.9)(34,60)%
\uput[d](33,-4){$x$ (heures)}\uput[r](0,58){$y$ (euros)}
\psline[linewidth=1.5pt](0,25)(34,25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{34}{1.5 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{34}{0.5 x mul 14 add}
\uput[dl](0,0){O}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,12)(0,12)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](14,21)(14,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](14,21)(0,21)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,24)(20,24)(20,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item  %Un premier client pense se connecter 8 heures ce mois-ci. 
%Déterminer graphiquement le tarif le plus intéressant pour lui. 
%On laissera apparents les traits de construction.
Sur le graphique on voit que le tarif le plus intéressant est le tarif B.
\item  %Un second client dispose de 24~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer graphiquement le tarif qui lui permettra de se connecter le plus longtemps possible.
		 
%On laissera apparents les traits de construction.
On voit que le tarif C est le plus intéressant : il lui permettra de se connecter 20 heures. 
		\item  Retrouver ce résultat par calcul.
	\end{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation suivante : $1,5x = 0,5x + 14$.

%Interpréter la réponse obtenue.
$1,5x = 0,5x + 14$ peut s'écrire $x = 14$.

Cette équation peut s'écrire $g(x) = h(x)$, autrement dit quel est le nombre d'heures qui revient au même prix avec le tarif B et le tarif C. On voit sur le graphique aussi que ce nombre est $x = 14$.
\end{enumerate}

\end{document}
