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% -------- PARAMÈTRES --------
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Centres étrangers, juin 2011}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}

 

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A = (x - 3)^2 + (x - 3)( 1 - 2x) = x^2 - 2 x \times  3 + 3^2 + x - x \times  2x - 3 \times 1 + 3 \times 2x$ ;

$ A = x^2 - 6x + 9 + x - 2x^2 - 3 + 6x = - x^2 + x + 6.$ 
\item $A = (x - 3)^2 + (x - 3)( 1 - 2x) = \boxed{( x - 3)} \times (x - 3) +  \boxed{( x - 3)} (1 - 2x)$ :

$ A = \boxed{( x - 3)} \times [( x - 3) + (1 - 2x) ] = ( x - 3)[ x - 3 + 1 - 2x]$ 

Finalement $A = ( x - 3)( -x - 2)$. 

\item Résoudre l'équation $A = 0$ revient à résoudre l'équation $(x -3)( -x - 2) = 0$ (en utilisant l'écriture factorisée.) 

Un produit est nul, si  l'un de ses facteurs est nul. 

Donc ou  $x - 3 = 0$ ou $- x - 2 = 0$, soit ou $x = 3$ ou $- 2 = x$. 

L'équation a deux solutions : $- 2$ et $3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $A = \sqrt{27} + 5\sqrt{12}  - \sqrt{300} = \sqrt{9 \times 3} + 5\sqrt{4 \times 3} - \sqrt{100 \times 3}$.
		
En utilisant pour $a$ et $b$ naturels, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, on obtient :

$A = \sqrt{9} \times \sqrt{3} + 5 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} - \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 3 \times \sqrt{3} + 5 \times 2 \times \sqrt{3} - 10 \times \sqrt{3} = (3 + 10 - 10)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Sophie a donc  raison. 
		\item Faux : la calculatrice ne permet pas de savoir si le calcul de Sophie est correct, car la calculatrice ne donne que des valeurs approchées.  
	\end{enumerate}
\item $B = \dfrac{10 - 18}{2} =  \dfrac{- 8}{2} = - 4$. 

C'est donc Éric qui a raison. En fait Sophie a calculé   $\dfrac{(10 - 9) \times 2}{2}$.

\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 

70~km ou \np{70000}~m  parcourus en 132 s donnent une vitesse moyenne de $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{\np{70000}}{132} \approx 530,3$~m/s.

En une heure la distance parcourue est multipliée par 3600 soit environ \np{1909090,9}~m, soit environ \np{1909,1}~km/h. 


13,4x 6 x1 0(-11)+24 

\item
	\begin{enumerate}
		\item $r + h = 6,4 \times 10^6 + 1,9\times 10^6 = (6,4 + 1,9)\times 10^6 = 8,3 \times 10^6$. 
		\item D'après la formule : $v = \sqrt{\dfrac{13,4 \times 10^{- 11} \times 6 \times 10^{24}}{8,3 \times 10^6}} = \sqrt{\dfrac{80,4 \times 10^{13}}{8,3 \times 10^6}} = \sqrt{\dfrac{80,4}{8,3} \times 10^7} \approx \np{9842}$ au m/s près.

En notation scientifique $v \approx 9,842 \times 10^3$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip
 
Prenons comme unité le mètre.

On a AO$^2 + \text{OB}^2 = 0,6^2 + 0,8^2 = 0,36 + 0,64 = 1$ et d'autre part AB$^2 = 1^2 = 1$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O : les murs sont donc bien perpendiculaires. 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

4 3 4 3 4 4xlZ"x,3x9 

\begin{enumerate}
\item On a $V_b = \dfrac{4}{3}\times \pi \times 3^3 = 36\pi$ (cm$^2$)
\item Le volume du cône est $V_c = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 2,7^2 \times 12 = 10,8\pi$. 
\item Remplir le cône est donc moins intéressant que de poser la boule sur le cône. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le triangle MPW, C est entre P et M, T entre  P et W] , et les droites (CT)  et (MW) sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès, 
		
		$\dfrac{\text{PC}}{\text{PM}} = \dfrac{\text{CT}}{\text{MW}}$ ou en remplaçant par les valeurs connues :
		
	$\dfrac{3,78}{4,2} = \dfrac{\text{CT}}{3,4}$, d'où en multipliant par 3,4 :
	
	$\text{CT} = \dfrac{3,78 \times 3,4}{4,2} = 3,06$~(m). 
		\item $3,06 \times  2 = 6,12 <  7$. Donc 7 m de fil suffiront. 
	\end{enumerate}
\item Toujours d'après le théorème de Thalès on doit avoir :

$\dfrac{\text{PC}}{\text{PM}} = \dfrac{\text{PT}}{\text{PW}}$ soit en remplaçant :

$\dfrac{3,78}{4,2} = \dfrac{1,88}{2,3}$.

Si ces quotients sont égaux les \og produits en croix \fg{} le sont aussi :

$3,78 \times 2,3 = \ldots 4$ et 

$4,2 \times 1,88 = \ldots 6$, donc les quotients ne sont pas égaux, la couture n'a pas été faite parallèle au bord [MW] de la voile. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le triangle CGF étant rectangle en C,  le théorème de Pythagore s'écrit : 

GF$^2 = \text{GC}^2 + \text{CF}^2$ , soit  $\text{GF}^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Donc $text{GF} = \sqrt{2}$m. 
\item Si on déplace les étagères d'une distance  $x$, toujours d'après le théorème de Pythagore, on aura $x^2 + x^2 = 1$ soit $2x^2 = 1$ ou encore $x^2 = \frac{1}{2}$ m. Donc $x = \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0,71$~m
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 :}

\begin{enumerate}
\item Le débit est, mentalement de 0,5~Mo/s (en effet $0,5 \times 7 = 3,5$). 
\item Tableau : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre d'élèves &100 &200 &300\\ \hline 
Tarif A 	&19,00~\euro&19,00~\euro	&19,00~\euro \\ \hline
Tarif B		&10,00~\euro&20,00~\euro	&30,00~\euro\\ \hline 
Tarif C		&13,00~\euro&18,00~\euro	&23,00~\euro \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le tarif C correspond à la deuxième fonction. 
		\item Cette fonction est affine car elle est de la forme $x \longmapsto ax + b$. 
	\end{enumerate}
\item  Voir à la fin. 
\item  D'après le graphique, le tarif A est plus intéressant que le tarif C à partir de 220 élèves. 
\item  Avec un effectif de  209 élèves, le tarif le plus intéressant est le tarif C. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 :}  

\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule le nombre moyen d'emprunts par élève ainsi : 

\[\dfrac{0 \times 39 + 1 \times 30 + 2 \times 36 + 3 \times 23 + 4 \times 20 + 5 \times 22 + 6 \times 18 + 7 \times 1 0 + 8 \times 11}{39 + 30 + 36 + 23 + 20 + 22 18 + 10 + 11} \dfrac{627}{209} =  3.\] 

\item La médiane est la valeur correspondant au 105\up{e} rang soit  2. 

On peut aussi compléter le tableau des effectifs cumulés croissants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
Nombre d'emprunts en novembre 2010 :&0	& 1&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
Nombre d'élèves :					& 39&30&36	&23	&20	&22	&18 &10 &11\\ \hline
Effectif cumulé croissant&39&69&105&128&148&170&188&198&209\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Comme la 105\up{e} valeur est 2, la médiane de cette série est 2. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie 4 :} 

\begin{enumerate}
\item On est en  situation d'équiprobabilité de choix. Il a 3 chances sur 5 de sortir une BD, soit une probabilité de $\dfrac{3}{5} = 0,6$. 
\item Après le premier tirage, il reste trois bandes-dessinées et un album dans le colis, il a donc 3 chances sur 4 livres restants de tirer une BD, soit une probabilité de $\dfrac{3}{4} = 0,75$. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
 
\textbf{(À rendre avec la copie)} 

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.035cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture}(-20,-2)(330,42)
\uput[u](305,0){Nombre d'élèves}\uput[r](0,42){Tarif en \euro}
\rput{45}(300,31){\textbf{Tarif B}}\uput[u](80,19){\textbf{Tarif A}}
\rput{26}(80,13){\textbf{Tarif C}}
\multido{\n=0+10}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,41)}
\multido{\n=0+1}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(330,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=2]{->}(0,0)(-19,-1.9)(330,42)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=2](0,0)(330,42)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](330,33)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{330}{0.05 x mul 8 add}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=green](0,19)(330,19)
\psline[linestyle=dashed]{->}(220,0)(220,19)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{->}(209,0)(209,18.45)
\uput[ul](208,0.5){\rput{90}(0,0){209}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
