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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Centres étrangers, juin 2013}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Toute réponse exacte vaut $1$ point. Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n'enlève pas de point. Pour chacune des questions, on indiquera sur sa feuille le numéro de la question et la réponse choisie.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%& & réponse A &réponse B &réponse C\\ \hline 
%1& Les solutions de l'équation $(x+7)(2x - 7)= 0$ sont& 
%$-7$ et $3,5$& 7 et $- 3,5$& $- 7$ et $5$\\ \hline 
%2&La (ou les) solution(s) de l'inéquation $-2(x + 7) \leqslant  - 16$ est (sont)&tous les nombres inférieurs ou égaux à 1&tous les nombres supérieurs ou égaux à 1&1\\ \hline 
%3&La forme développée de $(7x - 5)^2$ est&$49x^2 - 25$&$49x^2 - 70x + 25$& $49x^2 - 70x - 25$\\ \hline
%4&La forme factorisée de $9 - 64x^2$ est& $- 55 x^2$&$(3 - 8x)^2$&$(3 - 8x)(3 + 8x)$\\ \hline
%5&\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-1,0)(1,5)
%%\psgrid
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.2)(0.4,0.2)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-0.3,3.1)(0.3,3.1)(0,1.8)
%\psline[linewidth=1.4pt](0,0.2)(0,1.8)
%\psellipse(0,4.3)(0.6,0.3)
%\psline[linewidth=1.4pt](-0.6,4.3)(0,1.8)(0.6,4.3)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,3.1)(0.3,0.15)
%\psline{<->}(0.8,1.8)(0.8,4.3) \uput[r](0.8,3.1){$h$}
%\psline{<->}(-0.8,1.8)(-0.8,3.1) \uput[r](-0.8,2.45){$\frac{h}{2}$}
%\end{pspicture}
%
%Le liquide remplit-il à moitié le verre ?&oui&non, c'est moins de la moitié&non, c'est plus de la moitié\\ \hline
%6&La section KMEH du cube ABCDEFGH par un plan parallèle à une de ses arêtes est \ldots
%
%\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.6,4.8)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,1.1)(1.1,4.2)(2.2,3.1)(2.2,0)
%\psframe(3.1,3.1)%ABCD
%\psline(3.1,0)(4.2,1.1)(4.2,4.2)(3.1,3.1)%DFGC
%\psline(4.2,4.2)(1.1,4.2)(0,3.1)%GHD
%\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,1.1)(4.2,1.1)%AEF
%\uput[l](0.15,0.15){\footnotesize A} \uput[r](3.1,0){\footnotesize B} \uput[r](3.1,3.1){\footnotesize C} 
%\uput[ul](0,3.1){\footnotesize D} \uput[l](1.1,1.1){\footnotesize E} \uput[ur](4.2,1.1){\footnotesize F} 
%\uput[ur](4.2,4.2){\footnotesize G} \uput[ul](1.1,4.2){\footnotesize H} \uput[ur](2.2,3.1){\footnotesize K} 
%\uput[ur](2.2,0){\footnotesize M}
% 
%\end{pspicture}
%&un parallélogramme non rectangle&un carré &un rectangle\\ \hline
%\end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item On a $x+7 = 0$ ou $2x-7=0$ soit $x = - 7$ ou $x = \dfrac{7}{2}$. Réponse A.
\item $- 2(x+7) \leqslant - 16$ soit $- 2x - 14 \leqslant - 16$ ou $2 \leqslant 2x$ et enfin $1 \leqslant x$. Réponse B.
\item $(7x - 5)^2 = 49x^2 + 25 - 70x$. Réponse B.
\item $9 - 64x^2 = (3 + 8x)(3 - 8x)$. Réponse C.
\item Si la hauteur est divisée par 2, le rayon de la base du cône aussi ; réponse B.
\item On a EM $>$ AE ; on a donc un rectangle. Réponse C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{On considère l'expérience aléatoire suivante: on tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $32$ cartes (il y a $4$ \og familles \fg{} cœur, trèfle, carreau et pique et on a $8$ cœurs, $8$ trèfles, $8$ carreaux et $8$ piques).\\
%On relève pour la carte tirée la \og famille \fg{} (trèfle, carreau, cœur ou pique) puis on remet la carte dans le jeu et on mélange.}
% 
%On note $A$ l'évènement : \og la carte tirée est un trèfle \fg}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité de l'évènement A ? 
Il y a 8 trèfles sur 32 cartes. La probabilité est donc égale à $\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
\item %On répète 24 fois l'expérience aléatoire ci-dessus. La représentation graphique ci-dessous donne la répartition des couleurs obtenues lors des vingt-quatre premiers tirages: 

%\begin{center}
%\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-3,-2)(5,11)
%\psframe(-3,-2)(5,11)
%\psline(4,0)(0,0)(0,10)
%\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n) \uput[l](0,\n){\n}}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.333,0)(0.666,6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.333,0)(1.666,8)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.333,0)(2.666,3)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.333,0)(3.666,7)
%\uput[d](0.5,0){cœur}\uput[d](1.5,0){trèfle} 
%\uput[d](2.5,0){carreau}\uput[d](3.5,0){pique}
%\rput(-1.5,8){nombre}
%\rput(-1.5,6){de fois où}
%\rput(-1.5,4){la carte}
%\rput(-1.5,2){est tirée}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
% 
%Calculer la fréquence d'une carte de la \og famille \fg{} cœur et d'une carte de la \og famille \fg{} trèfle. 
Fréquence des cœur : $\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.

Fréquence des trèfles : $\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$.
\item %On reproduit la même expérience qu'à la question 2. Arthur mise sur une carte de la \og famille \fg{} cœur et Julie mise sur d'une carte de la \og famille \fg{} trèfle. 

%Est-ce que l'un d'entre deux a plus de chance que l'autre de gagner ? 

En théorie la fréquence d’apparition de chaque couleur est égale à $\dfrac{1}{4} = 0,25$. Les deux ont la même probabilité de gagner.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-3.8,-4.5)(3.8,4.5)
%\pscircle(0,0){3.5}\psline[linestyle=dashed](0.8,3.4)(-0.8,-3.4)
%\pspolygon(1.8,-3)(-3.1,-1.6)(0.8,3.4)%CBA
%\uput[ur](0.8,3.4){A} \uput[dl](-3.1,-1.6){B} \uput[dr](1.8,-3){C} \uput[ur](0,0){O}\uput[d](-0.8,-3.4){M}
%\psdots(0,0)
%\rput(-1.6,1){5} 
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{On considère un triangle ABC isocèle en A tel que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ mesure 50\degres{} et AB est égal à 5~cm.
% 
%On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle, noté ($C$), en un autre point M.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$ ? Aucune justification n'est demandée. 
Le triangle est isocèle en A, donc AB = AC.

O est le centre du cercle circonscrit au triangle, donc OA = OC.

Les deux points A et O sont équidistants de A et de C, donc la droite (AO) est la médiatrice de [BC]. C’est aussi la bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$, donc $\widehat{\text{BAM}} = 25\degres$.
\item %Quelle est la nature du triangle BAM ? Justifier. 
A et M sont diamétralement opposés. [AM] est un diamètre, donc le triangle ABM est un triangle rectangle en B.
\item %Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixième de centimètre près.
Dans le triangle ABM rectangle en M, on a $\cos   \widehat{\text{BAM}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}$ ; donc AM $ = \dfrac{\text{AB}}{ \cos  \widehat{\text{BAM}}} = \dfrac{5}{ \cos 25} \approx 5,51$ soit environ 5,5~cm au dixième près.
\item %La droite (BO) coupe le cercle ($C$) en un autre point K. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BKC}}$ ?
$\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{BKC}}$ car ce sont des angles inscrits qui interceptent le même arc. Donc $\widehat{\text{BKC}} = 50\degres$.

%Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip 
 
%Le nombre d'abonnés à une revue dépend du prix de la revue.
% 
%Pour un prix $x$ compris entre 0 et 20~\euro, le nombre d'abonnés est donné par la fonction $A$ telle que : $A(x) = - 50 x + \np{1250}$.
% 
%La recette, c'est-à-dire le montant perçu par l'éditeur de cette revue, est donnée par la fonction $R$ telle que : $R(x) = - 50 x^2 + \np{1250} x$. 
%
%
%\begin{center}\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $A$ \unboldmath 
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.004cm}
%\begin{pspicture}(-1,-100)(25,1400)
%\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1400)}
%\multido{\n=0+100}{15}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(24,1400)
%\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt]{0}{24}{1250 50 x mul sub}
%\uput[u](19,0){prix de la revue en euros}
%\uput[r](0,1350){nombre d'abonnés}
%\end{pspicture}

%\vspace{1cm}
%
%\textbf{Représentation graphique de la fonction } \boldmath $R$ \unboldmath
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.001cm}
%\begin{pspicture}(-1,-400)(20,8400)
%
%\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,8400)}
%\multido{\n=0+400}{21}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(20,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=20000]{->}(0,0)(0,0)(20,8400)
%\multido{\n=0+2000}{5}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
%\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{25  x  sub 50 mul x mul}
%\uput[u](16.5,0){prix de la revue en euros}
%\uput[r](0,8350){recette en euros}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le nombre d'abonnés est-il proportionnel au prix de la revue ? Justifier. 
C’est l’inverse : le nombre d’abonnés est inversement proportionnel au prix de la revue.
\item %Vérifier, par le calcul, que $A(10) = 750$ et interpréter concrètement ce résultat.
$A(10) = \np{1250} - 50 \times 10 = \np{1250} - 500 = 750$. 
\item %La fonction $R$ est-elle affine ? Justifier. 
La fonction $R$ n’est pas de la forme $R(x) = ax + b$ : ce n’est pas une fonction affine.
\item %Déterminer graphiquement pour quel prix la recette de l'éditeur est maximale. 
La recette semble maximale pour $x = 12,50$~\euro.
\item %Déterminer graphiquement les antécédents de \np{6800} par $R$.
La droite d’équation $y = \np{6800}$ coupe la représentation de $R$ aux points d’abscisse $x = 8$ et $x = 17$. 
\item %Lorsque la revue coûte $5$~euros, déterminer le nombre d'abonnés et la recette. 
On a $A(5) = \np{1250} - 50 \times 5 = \np{1250} - 250 = \np{1000}$.

$R(5) = \np{1250}\times 5 - 50 \times 5^2 = \np{6250} - \np{1250} = \np{5000}$ ou simplement $\np{1000} \times 5 = \np{5000}$~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|X|}\hline
%Année &SMIC&\multirow{12}{9cm}{On considère la série statistique donnant le SMIC\\
%\textbf{1.} Quelle est l'étendue de cette série ? Interpréter ce résultat.
%\textbf{2.} Quelle est la médiane ?\\
%\textbf{3.} Paul remarque qu'entre 2001 et 2002, l'augmentation du SMIC horaire brut est de 16 centimes alors qu'entre 2007 et 2008, elle est de 19 centimes.\\
%Il affirme que \og le pourcentage d'augmentation entre  2007 et 2008 est supérieur à celui pratiqué entre 2001 et 2002 \fg.\\
%A-t-il raison ?}\\ \cline{1-2} 	 
%2011& 	9,40& \\ \cline{1-2}	 
%2010& 	9,00& \\ \cline{1-2}	 
%2009& 	8,82& \\ \cline{1-2}	 
%2008& 	8,63& \\ \cline{1-2}	 
%2007& 	8,44& \\ \cline{1-2}	 
%2006& 	8,27& \\ \cline{1-2}	 
%2005& 	8,03& \\ \cline{1-2}	 
%2004& 	7,61& \\ \cline{1-2}	 
%2003& 	7,19& \\ \cline{1-2}
%2002& 	6,83& \\ \cline{1-2}	 
%2001& 	6,67&\\ \hline
%\multicolumn{3}{r}{SMIC : salaire minimum interprofessionnel de croissance horaire brut en euros }\\
%\multicolumn{3}{r}{de 2001 à 2011 (source : INSEE)}
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Étendue : $9,40 - 6,67 = 2,73$.
\item La médiane est 8,27.
\item Augmentation de 2001 à 2002 : $\dfrac{6,83 - 6,67}{6,67} \times 100 = \dfrac{16}{6,67} \approx 2,4\,\%$.

Augmentation de 2007 à 2008 : $\dfrac{8,63 - 8,44}{8,44} \times 100 = \dfrac{19}{8,44} \approx 2,3\,\%$. Donc Paul a tort.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 4 points}

\medskip

%\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%\emph{On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.}
%
%\bigskip
%
%\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(10,7.3)
%\psframe(3,7)(9,0)
%\psline(3,7)(0,7)(9,2.8)
%\uput[u](0,7){A} \uput[u](3,7){B} \uput[u](9,7){C} 
%\uput[ur](3,5.5){M} \uput[r](9,2.8){F} \uput[ur](3,0){E} 
%\uput[ur](9,0){D} \uput[u](1.5,7){3} \uput[u](6,7){6} 
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{BCDE est un carré de 6 cm de côté.
% 
%Les points A, B et C sont alignés et AB = 3 cm.
% 
%F est un point du segment [CD].
% 
%La droite (AF) coupe le segment [BE] en M.} 
%
%\medskip
%
%Déterminer la longueur CF par calcul ou par construction pour que les longueurs BM et FD soient égales. 
Appelons $x$ les longueurs égales BM et FD.

Les droites (BM) et (CF) sont parallèles (côtés opposés du carré).

Les points A, B C d’une part, A, M, F d’autre part sont alignés dans cet ordre. Le théorème de Thalès permet d’écrire :

$\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BM}}{\text{CF}}$.

Or CF $ = 6 - x$ ; donc $\dfrac{3}{9} = \dfrac{x}{6 - x}$ d’où $3x = 6 - x$ ou $4x  = 6$ et $x = \dfrac{3}{2} = 1,5$~cm.

Conclusion : CF $ = 6 - x = 6 - 1,5 = 4,5$~(cm).

\emph{Remarque} : méthode par construction

Si les conditions sont remplies les segments [BM] et [FD] sont parallèles et de même longueur. Le quadrilatère BMDF est donc un parallélogramme ; ses diagonales [BD] et [MF] ont donc le même milieu O centre du carré BCDE.

D'où la construction : on construit les diagonales [BD] et [CE] du carré qui se coupent en O ; la droite (AO) coupe [BE] en M et [CD] en F. On mesure CF $ = 4,5$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(10,7.3)
%\psgrid
\psframe(3,7)(9,1)
\psline(3,7)(0,7)%(9,2.5)
\uput[u](0,7){A} \uput[u](3,7){B} \uput[u](9,7){C} 
\uput[ur](3,5.5){M} \uput[r](9,2.8){F} \uput[ur](3,0){E} 
\uput[ur](9,0){D} \uput[u](1.5,7){3} \uput[u](6,7){6}
\psline[linestyle=dotted](3,7)(9,1)
\psline[linestyle=dotted](3,1)(9,7)
\psline[linestyle=dotted](0,7)(9,2.5) 
\uput[d](6,4){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 7} \hfill 5 points}

\medskip

%On peut lire au sujet d'un médicament :
% 
%\og Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient [voir formule de Mosteller]. \fg
% 
%\og Une dose de charge unique de 70 mg par mètre carré (sans dépasser 70 mg par jour) devra être administrée \fg
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% 
%Pour calculer la surface corporelle en m$^2$ on utilise la formule suivante : 
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%Formule de Mosteller : Surface corporelle en m$^2 = \sqrt{\dfrac{\text{taille (en cm)} \times \text{masse (en kg}}{\np{3600}}}$.
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%\bigskip
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%On considère les informations ci-dessous :
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%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Patient &\^Age &Taille (m) &Masse (kg) &Dose administrée\\ \hline 
%Lou &5 ans &1,05 &17,5 &50 mg\\ \hline  
%Joé &15 ans &1,50 &50 &100 mg\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %La posologie a-t-elle été respectée pour Joé ? Justifier la réponse. 
Pour Joé inutile d’utiliser la formule car on lui a administré 100~mg alors que le maximum journalier est de 70~mg. La posologie n’a pas  été respectée.
\item %Vérifier que la surface corporelle de Lou est environ de $0,71$ m$^2$. 
La formule donne pour Lou :

$\sqrt{\dfrac{105 \times 17,5}{\np{3600}}} \approx 0,714$~m$^2$ soit à peu près $0,71$ m$^2$.
\medskip

%\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\item %La posologie a-t-elle été respectée pour Lou ? Justifier la réponse.
On pouvait donc administrer à Lou un maximum de $70 \times  0,71 = 49,7$~(g).

Le maximum est légèrement inférieur à la dose administrée, donc la posologie n’a pas été respectée mais le dépassement est insignifiant.
\end{enumerate}

\end{document}
