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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Centres étrangers -- juin 2015}
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Centres étrangers, juin 2015}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\medskip
%
%Indications portant sur l'ensemble du sujet.
%
%Les figures ou croquis ne sont pas en vraie grandeur!
%
%Pour chaque question, laisser toutes traces de la recherche : même non aboutie,
%elle sera valorisée.
% 
%\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5,5 points}

\medskip

%\parbox{0.75\linewidth}{\emph{Pour cet exercice, aucune justification n'est attendue.}
%
%
%En appuyant sur un bouton, on allume une des cases de la grille ci-contre 
%au hasard.}\hfill 
%\parbox{0.22\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%1 &2& 3\\ \hline
%4 &5& 6\\ \hline 
%7 &8 &9\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité que la case 1 s'allume?
La probabilité est égale à $\dfrac{1}{9}$.
		\item %Quelle est la probabilité qu'une case marquée d'un chiffre impair s'allume ?
		Il y a sur les 9 nombres, 5 qui sont impairs ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{5}{9}$.		
		\item %Pour cette expérience aléatoire, définir un évènement qui aurait pour probabilité $\dfrac{1}{3}$.
Évènements de probabilité  $\dfrac{1}{3}$ : 

\og la case d'un multiple de 3 s'allume \fg ;

\og la case d'un nombre plus petit que 4 s'allume \fg.
	\end{enumerate}
\item %Les cases 1 et 7 sont restées allumées. En appuyant sur un autre bouton, quelle est la
%probabilité que les trois cases allumées soient alignées ?
En supposant que les seules les cases éteintes puissent s'allumer la seule possibilité d'avoir trois cases allumées et alignées est que la case 4 s'allume soit une chance sur 7 cases éteintes : probabilité égale à $\dfrac{1}{7}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner, a effectué un saut d'une altitude de \np{38969,3}~mètres.
%
%La première partie de son saut s'est faite en chute libre (parachute fermé).
%
%La seconde partie, s'est faite avec un parachute ouvert.
%
%Son objectif était d'être le premier homme à \textbf{\og dépasser le mur du son \fg}.
%
%\begin{center}\textbf{\og dépasser le mur du son \fg{}} : signifie atteindre une vitesse supérieure ou égale à la vitesse du son, c'est à dire $340$ m.s$^{-1}$.\end{center}
%
%La Fédération Aéronautique Internationale a établi qu'il avait atteint la vitesse maximale de
%\np{1357,6} km.h$^{-1}$ au cours de sa chute libre.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre réponse.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
distance parcourue par le son (km)&0,340&20,4&\np{1224}\\ \hline
temps (s)&1&60&\np{3600}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le son a donc une vitesse de \np{1224} km/h inférieure à celle de Félix Baumgartner ; celui-ci a atteint son objectif.
\item %Voici un tableau donnant quelques informations chiffrées sur ce saut :

%
%
%Calculer la vitesse moyenne de Félix Baumgartner en chute avec parachute ouvert
%exprimée en m.s$^{-1}$. On arrondira à l'unité.
Avec le parachute, Félix a parcouru : $\np{38969,3} - \np{36529} = \np{2440,3}$~m en 

9 min 3 s $-$ 4 min 19 = 4 min 44 s, ou 284 s soit une vitesse moyenne de $\dfrac{\np{2440,3}}{284} \approx 8,59$ en mètres par seconde, soit 9~m/s à l'unité près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%Soit un cercle de diamètre [KM] avec KM = 6~cm.
%
%Soit un point L sur le cercle tel que ML = 3~cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure.
On dessine un cercle de diamètre 6~cm donc de rayon 3~cm. Le cercle de centre M et de même rayon 3~cm coupe le cercle en deux points L répondant au problème ; on en choisit un.
\item %Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle KLM. Donner la valeur exacte puis un arrondi au cm$^2$ près.
Le triangle KLM est inscrit dans un cercle admettant pour diamètre l'un de ses côtés ; ce triangle est donc rectangle en L, d'hypoténuse [KM].

L'aire de ce triangle est égale au demi-produit des mesures des deux côtés de l'angle droit en L :

$\mathcal{A}_{\text{KLM}} = \dfrac{\text{KL} \times \text{LM} }{2}$.

Le triangle KLM étant rectangle en L, le théorème de Pythagore permet d'élire :

$\text{KM}^2 = \text{KL}^2 + \text{LM}^2$, soit 

$6^2 = \text{KL}^2 + 3^2$ ou $\text{KL}^2 = 6^2 - 3^2 = (6 + 3)(6 - 3) = 9 \times 3$, donc 

$\text{KL} = \sqrt{9 \times 3} = \sqet{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Donc $\mathcal{A}_{\text{KLM}} = \dfrac{3\sqrt{3} \times 3 }{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7,79$ soit 8~cm$^2$ à 1 cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

%Mathilde et Paul saisissent sur leur calculatrice un même nombre. Voici leurs programmes
%de calcul :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1.cm}|X|}
%\multicolumn{1}{l}{Programme de calcul de Mathilde}&\multicolumn{1}{l}{~}&\multicolumn{1}{l}{Programme de calcul de Paul}\\\cline{1-1}\cline{3-3}
%$\bullet~~$Saisir un nombre&&$\bullet~~$Saisir un nombre\\
%$\bullet~~$Multiplier ce nombre par 9&&$\bullet~~$Multiplier ce nombre par $- 3$\\
%$\bullet~~$Soustraire 8 au résultat obtenu&&$\bullet~~$Ajouter 31 au résultat obtenu\\\cline{1-1}\cline{3-3}
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On considère la feuille de calcul suivante :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&\multicolumn{1}{|c|}{A}&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L\\ \hline
%1	&Nombre de départ		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
%2	&Mathilde				&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
%3	&Paul					&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B2 puis étirer jusqu'à la cellule L2 pour obtenir les résultats obtenus par Mathilde ?
Dans la cellule B2, il faut saisir la formule : $\fbox{= 9 *\text{}B1-8}$.
		\item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 puis étirer jusqu'à la cellule L3 pour obtenir les résultats obtenus par Paul ?
Dans la cellule B3, il faut saisir la formule :
$\fbox{= -3*\text{B}1+ 31}$.
	\end{enumerate}
\item %Voici ce que la feuille de calcul fait apparaître après avoir correctement programmé les
%cellules B2 et B3.
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&\multicolumn{1}{|c|}{A}&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L\\ \hline
%1	&Nombre de départ	&0		&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
%2	&Mathilde			&$- 8$	&1	&10 &19 &28 &37 &46 &55 &64 &73 &82\\ \hline
%3	&Paul 				&31 	&28 &25 &22 &19 &16 &13 &10 &7 	&4	&1\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}	
%
%Mathilde et Paul cherchent à obtenir le même résultat.
%	
%Au vu du tableau, quelle conjecture pourrait-on faire sur l'encadrement à l'unité du
%nombre à saisir dans les programmes pour obtenir le même résultat ?
Au vu du tableau, on peut conjecturer que le nombre à saisir dans les programmes pour
obtenir le même résultat est compris entre 3 et 4.
\item %Déterminer par le calcul le nombre de départ à saisir par Mathilde et Paul pour obtenir
%le même résultat et vérifier la conjecture sur l'encadrement.
Soit $x$ le nombre saisi et tel que : $P_{\text{Mathilde}} = P_{\text{Paul}}$

$9x - 8 = - 3x + 3$ ou $9x + 3x = 31 + 8$ soit

$12x = 39$ et enfin $x = \dfrac{39}{12} = \dfrac{13}{4} = 3,25$.

Programme de Mathilde : $9 \times 3,25 - 8 = 29,25 - 8 = 21,25$ ;

Programme de Paul : $- 3 \times  3,25 + 31 = - 9,75 + 31 = 21,25$.

Mathilde et Paul doivent choisir le nombre 3,25, la conjecture émise était correcte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 8 points}

\medskip

%Il existe différentes unités de mesure de la température. En France, on utilise le degré
%Celsius (\degres C), aux États-Unis on utilise le degré Fahrenheit (\degres F). Voici deux représentations de cette correspondance :
%
%\medskip
%
%\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(3,9.5)
%%\psgrid
%\psframe[framearc=0.3](0.6,0.5)(2.6,9)
%\multido{\n=1.3000+0.0823}{86}{\psline(1.3,\n)(1.5,\n)}
%\multido{\n=1.3823+0.4118}{18}{\psline(1.2,\n)(1.5,\n)}
%\multido{\n=1.3630+0.0908}{77}{\psline[linecolor=red](1.7,\n)(1.9,\n)}
%\multido{\n=1.454+0.454}{16}{\psline[linecolor=red](1.7,\n)(2,\n)}
%\multido{\n=1.3823+0.4118,\na=-35+5}{18}{\rput(0.8,\n){\footnotesize \np{\na}}}
%\multido{\nb=1.491+0.454,\nc=-30+10}{16}{\rput(2.25,\nb){\footnotesize \np{\nc}}}
%\pscircle*(1.6,0.9){3.5mm}
%\psline(1.5,1.3)(1.5,8.5)(1.7,8.5)(1.7,1.3)
%\rput(1,8.7){\degres C}\rput(2,8.7){\red \degres F}
%\rput(1.6,0.2){Représentation 1}
%\end{pspicture}} \hfill
%\parbox{0.67\linewidth}{
%\psset{unit=0.09cm}
%\begin{pspicture}(-35,-45)(52.5,55)
%\multido{\n=-35.0+2.5}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-35)(\n,55)}
%\multido{\n=-35.0+2.5}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](-35,\n)(55,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-35,-35)(52.5,52.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-35,-35)(52.5,52.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-35}{11.5}{1.8 x mul 32 add}
%\uput[u](40,0){\footnotesize Température en \degres C}
%\uput[r](0,53){\footnotesize  Température en \degres F}
%\rput(8.5,-42){Représentation 2}
%\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %En vous appuyant sur les représentations précédentes, déterminer s'il y a
%proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température en degré
%Fahrenheit. Justifier votre réponse.
Il n’y a pas proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température
en degré Fahrenheit car le graphique représentant la température en degré Fahrenheit
en fonction de la température en degré Celsius est une droite mais qui ne passe pas par
l’origine du repère.
\item  %Soit $f$ la fonction qui à une température $x$ en degré Celsius associe la température
%$f(x)$ en degré Fahrenheit correspondante. On propose trois expressions de $f(x)$ :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Proposition 1 &Proposition 2& Proposition 3\\ \hline
%$f(x) = x+32$& $f(x) = 1,8x + 32$& $f(x) = 2x + 30$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%\og Les propositions 1 et 3 ne peuvent pas être correctes. C'est donc la proposition 2 qui
%convient. \fg. Justifier cette affirmation.
Avec la proposition 3, $f(0) = 3, or d’après la représentation 1, on sait que
$f(0) = 32$.

Il faut donc choisir entre les propositions 1 et 2. On lit également à l’aide des deux
représentations que $f(10) = 50$, or la proposition donne 42 pour image de 10. Seule la
proposition 2 est une fonction affine dont la représentation est une droite qui passe par
les points (0~;~32) et (10~;~50).
\item  %On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 1,8x + 32$.

%Calculer $f(10)$ et $f(-40)$.
$f(10) =1,8 \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50$ ;

$f(- 40) = 1,8 \times (- 40) + 32 = - 72 + 32 = - 40$.
\item  %Existe-t-il une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale
%à la température exprimée en degré Fahrenheit ? Justifier votre réponse.
On cherche $x$, la valeur en degré Celsius, telle que :

$T_{\text{degré Celsius}} = T_{\text{degré Fahrenheit}}$ soit 

$x = 1,8x + 32$ ou  $- 32  = 1,8x - x$

$0,8x = -32$ soit $x = \dfrac{- 32}{0,8} = - 40$.

$- 40$\degres C correspond  à $- 40$\degres F.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 6,5 points}

\medskip

%La gélule est une forme médicamenteuse utilisée quand le médicament qu'elle contient 'a
%une odeur forte ou un goût désagréable que l'on souhaite cacher.
%
%On trouve des gélules de différents calibres. Ces calibres sont numérotés de \og 000 \fg{} à \og 5\fg{} comme le montre l'illustration ci-contre (\og 000 \fg{} désignant le plus grand calibre et \og 5\fg{} désignant le plus petit) :
%
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\def\gelule{\psline(-0.6,0.55)(-0.6,1.2)\psline(0.6,0.55)(0.6,1.2)\psarc(0,0.55){0.55}{180}{0}
%\psline(-0.7,2.4)(-0.7,1.2)(0.7,1.2)(0.7,2.4)\psarc(0,2.4){0.65}{0}{180}}
%\begin{pspicture}(8.6,3.8)
%%\psgrid
%\psframe(8.65,3.8)
%\rput(0.8,0.1){\gelule}\rput(0.8,2.6){000}
%\rput(2.25,0.1){\psscalebox{0.94}{\gelule}}\rput(2.25,2.45){00}
%\rput(3.4,0.1){\psscalebox{0.81}{\gelule}}\rput(3.4,2.2){0}
%\rput(4.6,0.1){\psscalebox{0.74}{\gelule}}\rput(4.6,1.95){1}
%\rput(5.65,0.1){\psscalebox{0.67}{\gelule}}\rput(5.65,1.75){2}
%\rput(6.6,0.1){\psscalebox{0.63}{\gelule}}\rput(6.6,1.6){3}
%\rput(7.5,0.1){\psscalebox{0.55}{\gelule}}\rput(7.5,1.45){4}
%\rput(8.25,0.1){\psscalebox{0.44}{\gelule}}\rput(8.25,1.15){5}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Le tableau suivant donne la longueur de ces différents calibres de gélule :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Calibre de la gélule 				&000 &00 	&0 		&1 		&2 		&3 	&4 		&5\\ \hline
%Longueur $L$ de la gélule (en mm) 	&26,1&23,3 	&21,7 	&19,4 	&18,0 &15,9 &14,3 &11,1\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{\scriptsize Source: \og Technical Reference File 1st edition CAPSUGEL - Gélules Coni-Snap}}
%\end{tabularx}
%\end{center} 
%
%\medskip
%
%\parbox{0.5\linewidth}{On considère une gélule constituée de deux demi-sphères
%identiques de diamètre 9,5 mm et d'une partie cylindrique d'une
%hauteur de 16,6 mm comme l'indique le croquis ci-contre.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1.65,-0.6)(1.65,5.5)
%
%\rput{-25}(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt](0,3.3){1.15cm}{180}{0}}%
%\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,3.3){1.15cm}{0}{180}}%
%\scalebox{.99}[0.3]{ \psarc[linewidth=1pt](0,13.3){1.15cm}{180}{0}}%
%\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,13.3){1.15cm}{0}{180}}%
%\psarc(0,1){1.15cm}{-180}{0}
%\psarc(0,4){1.15cm}{0}{180}
%\psline(-1.15,1)(-1.15,4)\psline(1.15,1)(1.15,4)
%\psline{<->}(1.4,0)(1.4,4.8)
%\psline{<->}(-1.4,1)(-1.4,4)
%\psline{<->}(-1.15,5.3)(1.15,5.3)
%\uput[u](0,5.3){9,5 mm}
%\uput[r](1.4,2.4){$L$}\rput{90}(-1.55,2.45){16,6 mm}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,1)(0,4)}
%
%\end{pspicture}
%
%{\footnotesize Cette représentation n'est pas
%en vraie grandeur.}}

\begin{enumerate}
\item %À quel calibre correspond cette gélule ?
%Justifier votre réponse.
$16,6 + 9,5 = 26,1$ mm. Cette gélule correspond au calibre 000.
\item %Calculer le volume arrondi au mm$^3$ de cette gélule.

%\emph{On rappelle les formules suivantes :}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
%Volume d'un cylindre de rayon& Volume d'un cône de rayon de&  Volume d'une sphère\\
%$R$ et de hauteur $h$ & base $R$ et de hauteur $h$ & de rayon $R$ :\\
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$V = \pi \times  R^2 \times h$& $ V = \dfrac{\pi \times  R^2 \times h}{3}$&$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times  R^3$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$V_{\text{gélule}} = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{sphère}}$.

$V_{\text{gélule}} = \pi \times 4,75^2 \times 16,6 + \dfrac{4}{3}
\times \pi \times  4,75^3$

$V_{\text{gélule}} = \np{374,5375}\pi + \dfrac{\np{428,6875}}{3}\pi$

$V_{\text{gélule}} \approx \np{1626}$ mm$^3$.

Le volume de la gélule, arrondie au mm$^3$, est de \np{1626}$ mm$^3$.
\item %Robert tombe malade et son médecin lui prescrit comme traitement une boîte
%d'antibiotique conditionné en gélules correspondant au croquis ci-dessus.

%Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de $6,15 \times  10^{-4}$ g/mm$^3$.
%La boîte d'antibiotique contient 3 plaquettes de 6 gélules.
%
%Quelle masse d'antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ? Donner le
%résultat en grammes arrondi à l'unité.
$3 \times 6 = 18$. Dans une boîte d’antibiotique, il y a $18$ gélules.

$18 \times \np{1626} = \np{29268}~mm$^3$. 

Le volume des 18 gélules est d’environ \np{29268}~mm$^3$.

$\np{29268}  \times 6,15 \times 10^{- 4}$ \approx  18~(g).

Pendant la durée de son traitement, Robert a absorbé environ 18~g d’antibiotique.
\end{enumerate}

\end{document}
