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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Centres étrangers, juin 2016}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

Question 1 : Réponse B : $\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{7}{5}$, d'où (calculatrice) $\widehat{\text{ABC}} \approx 54$~\degres.

Question 2 : Réponse B : 

$3x-2 = 8$

$3x =10$

$x= \dfrac{10}{3}$.

Question 3 : Réponse A : $\dfrac{1- (- 4)}{- 2 + 9} = \dfrac{1 + 4}{7} = \dfrac{5}{7}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Affirmation 1 : $25 \times \left(1 + \dfrac{5}{100}\right) \times \left(1 + \dfrac{5}{100}\right) = 25 \times 1,05 \times 1,05 = 25 \times 1,05^2 = $

$\np{27,5625} \ne 26,50$

L'affirmation est fausse.

Affirmation 2 : $\np{4000} \times 365 = \np{1460000} = 1,46\times 10^6$~g.

L'affirmation est vraie.

Affirmation 3 : 1 h = 60 min $= 12  \times 5$ min ;  on calcule donc $12,5  \times 5 = 62,5$ (km).

Le livreur a roulé à la vitesse de $62,5$ km/h, il n'a pas respecté la limitation.

L'affirmation est fausse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En I2, il faut saisir la formule : = SOMME(B2:H2)
\item  $m =  \dfrac{324+240+310+204+318+386+468}{7} = \dfrac{\np{2250}}{7} \approx 321$.

Le nombre moyen de macarons vendus par jour est d'environ 321.
\item  Je range les valeurs correspondantes au nombre de macarons vendus dans l'ordre
croissant : 204 \quad 240\quad  310\quad  318\quad  324\quad  386\quad  468

L'effectif est 7 (impair) et $\dfrac{7 + 1}{2} = 4$, la médiane est la 4\up{e} valeur de la série ordonnée, c'est-à-dire 318.  Le nombre médian de macarons est donc de 318.
\item  $468 - 204 = 264$.

La différence entre le nombre de macarons vendus le dimanche et ceux vendus le jeudi
est 264, cette valeur correspond à l'étendue de la série.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Pour répondre à la question posée, il faut calculer SO.

Je commence par déterminer AO :

ABC est un triangle rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, on a :

$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2$

$\text{AC}^2 = 30^2 + 30^2$

$\text{AC}^2 = 900 + 900$

$\text{AC}^2 = \np{1800}$

$\text{AC} > 0$, donc $\text{AC} = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \times 2} = 30\sqrt{2}$~(cm).

ABCD est un carré, donc ses diagonales se coupent en leur milieu et
$\text{AO} = \dfrac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ cm.

Je calcule SO :

ASO est un triangle rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore, on a :

$\text{AS}^2 = \text{AO}^2 + \text{SO}^2$

$552 = \left(15\sqrt{2}\right)^2 + \text{SO}^2$

$\np{3025} = 225 \times 2 + \text{SO}^2$

$3 025 = 450 + \text{SO}^2$

$\text{SO}^2 = \np{3025} - 450$

$\text{SO}^2 = \np{2575}$

$\text{SO} > 0$, donc $\text{SO} = \sqrt{\np{2575}}$.

$\text{SO} \approx  50,7> 50  $ (cm).

Le présentoir ne peut pas être placé dans la vitrine de hauteur 50~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 3 points}

\medskip

Pascale, Alexis et Carole se partagent deux boîtes de 12 macarons chacune, soit 24
macarons au total.

Soit $x$ le nombre de macarons mangés par Pascale. Le nombre de macarons mangés par
Alexis est donc de $x + 4$ et celui de Carole $2x$.

On peut écrire et résoudre l'équation :

$x + x + 4 + 2x = 24$

$4x + 4 = 24$

$4 x + 4 - 4 = 24 - 4$

$4x = 20$

$\dfrac{4x}{4} = \dfrac{20}{4}$

$x = 5$.

Pascale a donc mangé 5 macarons, Alexis 9 macarons (4 de plus que Pascale) et Carole
10 (2 fois plus que Pascale).

On a bien : $5 + 9 + 10=24$.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si on choisit au hasard un macaron dans la boîte \no 1, la probabilité que ce soit un
macaron au café est $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
\item~

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=8pt,levelsep=3.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\footnotesize Chocolat}\taput{$\frac{3}{5}$}}
	{\TR{\footnotesize Chocolat}\taput{$\frac{2}{3}$}
	\TR{\footnotesize Fraise}\tbput{$\frac{1}{3}$}
	}
\pstree{\TR{\footnotesize Café}\tbput{$\frac{2}{5}$}}
	{\TR{\footnotesize Chocolat}\taput{$\frac{2}{3}$}
	\TR{\footnotesize Fraise}\tbput{$\frac{1}{3}$}
	}
}
\end{center} 

Pour obtenir deux macarons qui lui plaisent, Carole doit choisir un macaron au café dans
la boîte \no 1 et un macaron à la fraise dans la boîte \no 2.

Je calcule : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15}$.

La probabilité que Carole obtienne deux macarons qui lui plaisent est donc de $\dfrac{2}{15}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7} \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $V_{\text{crème}} = 20^2 \times \pi \times = 400 \times  5 \times \pi = \np{2000}\pi$~$\left(\text{mm}^3\right)$.

Le volume de crème contenu dans un macaron est de $\np{2000}\pi$~$\left(\text{mm}^3\right)$.
\item 1L = 1 dm$^3$ soit 100 cL = \np{1000000} mm$^3$ ou 1 cL = \np{10000}~mm$^3$.

30 cL de crème correspondent  donc à $30 \times\np{10000} = \np{300000}~\text{mm}^3$.

Je calcule : $\dfrac{\np{300000}}{\np{2000}\pi} \approx 47,7$~(macarons).

Alexis peut confectionner 47 macarons.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La température du four n'est pas proportionnelle au temps car la courbe n'est pas
une droite.
\item Au bout de 3 minutes, la température est de 70~\degres C.
\item � la deuxième minute, la température est de 50~\degres C et à la septième minute, la
température est de 140~\degres C. Entre la deuxième et la septième minute, la température a
donc augmenté de 90~\degres C.
\item La température de 150~\degres C nécessaire à la cuisson des macarons est atteinte au bout
de 8 minutes.
\item Passé 8 minutes, la température continue à augmenter, puis fluctue autour de 150~\degres C. Le responsable ne peut pas être satisfait car la température ne reste pas constante
à 150~\degres C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9} \hfill 5 points}

\medskip

Je calcule le montant de la commande sans la livraison.

Coût des 10 boîtes de 12 petits macarons chocolat : $10\times 16\times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 160 \times 0,8 = 128$~\euro.

Coût des 10 boîtes de 12 petits macarons vanille : $10 \times 16 \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 160 \times 0,8 = 128$~\euro.

Coût des 5 boîtes de 12 petits macarons framboise : $5 \times 16 = 80$~\euro.

Coût des 2 boîtes de 12 petits macarons café: $2 \times 16 = 32$~\euro.

Coût d'une boîtes de 6 petits macarons caramel: $9$~\euro.

$128 + 128 + 80 + 32 + 9 =377$~\euro.

Sans la livraison, Norbert doit payer 377~\euro.

$402 - 377 = 25$~(\euro). Le montant de la livraison un samedi est de 25~\euro. D'après le
document 3, cela signifie que l'adresse de livraison est située dans la zone B.

\end{document}
