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\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Centres étrangers Groupe I, 14 juin 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
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\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}\centering\qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\end{minipage}%
}\\[4mm]}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Centres étrangers Groupe I, 14 juin 2023}
\end{center}

\vspace{3mm}
\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 : QCM (Scratch) \hfill 18 points}}

\medskip

\textbf{Partie A} : 1. Réponse C \quad 2. Réponse C \quad 3. Réponse B

\medskip

\textbf{Partie B} : 1. Réponse C \quad 2. Réponse B \quad 3. Réponse B

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 : Cabane \hfill 24 points}}

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,>=stealth]
    \draw (0,0.2) -- (9.5,0.2) -- (5.6,2.5) -- (1.4,2.5) -- cycle;
    \draw (5.6,2.5) -- (5.6,0.2);
    \draw (1.4,2.5) -- (1.4,0.2);
    \draw[dashed] (1.4,1) -- (0.45,1);
    \draw (1.4,1) rectangle (1.2,1.2);
    \draw (1.4,0.2) rectangle (1.2,0.4);
    \draw (5.6,0.2) rectangle (5.8,0.4);
    \begin{scope}[shift={(9.5,0.2)}]
        \draw (150:0.6) arc (150:180:0.6);
    \end{scope}
    \node[below left] at (0,0.2) {A};
    \node[below] at (1.4,0.15) {C};
    \node[below] at (5.6,0.15) {D};
    \node[below right] at (9.5,0.2) {E};
    \node[above] at (5.6,2.5) {F};
    \node[above] at (1.4,2.5) {B};
    \node[right,font=\small] at (1.4,1) {N};
    \node[above left,font=\small] at (0.45,1) {M};
    \node[font=\small] at (8.7,3.0) {Toboggan};
    \node[font=\small] at (0.6,3.1) {Escalier};
    \draw[->] (8.7,2.8) -- (7.4,1.43);
    \draw[->] (0.6,2.9) -- (0.8,1.57);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{Partie A : Toboggan}

\begin{enumerate}
\item $\tan \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DF}}{\text{DE}} = \dfrac{1{,}2}{2{,}04} \approx 0{,}588$, d'où $\widehat{\text{DEF}} \approx 30\degres$. Le toboggan est sécurisé. $\checkmark$

\item Pythagore dans DEF rectangle en D~: $\text{EF}^2 = 1{,}2^2 + 2{,}04^2 = 1{,}44 + 4{,}1616 = 5{,}6016$, d'où $\text{EF} \approx 2{,}37$~m.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Échelle}

\begin{enumerate}
\item (MN) $\perp$ (BC) et (AC) $\perp$ (BC) (rectangle BCDF) : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

\item Thalès~: $\dfrac{\text{BN}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{0{,}84}{1{,}2} = \dfrac{\text{MN}}{0{,}5}$, d'où $\text{MN} = 0{,}5 \times \dfrac{0{,}84}{1{,}2} = 0{,}35$~m.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Bac à sable}

\begin{enumerate}
\item $V = 200 \times 180 \times 20 = \np{720000}$~cm$^3$.

\item Volume sable à maçonner~: $0{,}72 \times \dfrac{3}{5} = 0{,}432$~m$^3$. Volume sable fin~: $0{,}72 \times \dfrac{2}{5} = 0{,}288$~m$^3$.

\item $\dfrac{0{,}432}{0{,}022} \approx 19{,}6 \to 20$ sacs à maçonner~; $\dfrac{0{,}288}{0{,}016} = 18$ sacs fin.

Coût~: $20 \times 2{,}95 + 18 \times 5{,}95 = 59 + 107{,}10 = 166{,}10$~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 : Programmes de calcul \hfill 15 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(6-5) \times 2 = 2$ (Amir) et $(6+3) \times 6 - 16 = 54 - 16 = 38$ (Sonia).
\item
    \begin{enumerate}
        \item La formule dans B2 est \texttt{=(B1 - 5) * 2}.
        \item D'après le tableur, pour $x = 2$ les deux programmes donnent $-6$.
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Résultat Sonia~: $(x+3) \times x - 16 = x^2 + 3x - 16$.
        \item $2x - 10 = x^2 + 3x - 16 \iff x^2 + x - 6 = 0 \iff (x-2)(x+3) = 0$. Solutions~: $x = 2$ ou $x = -3$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 : Probabilités et lots \hfill 22 points}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Probabilité boule rouge~: $\dfrac{4}{7}$.
        \item Nombres pairs (2 et 4) présents sur 3 boules~: $p = \dfrac{3}{7}$.
    \end{enumerate}
\item Il y a 6 issues favorables (R1-N1, R1-N2, R1-N3, N1-R1, N2-R1, N3-R1) sur $7^2 = 49$.

$p(\text{gagner}) = \dfrac{6}{49}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{195}{3} = 65$ et $\dfrac{234}{3} = 78$ : oui, on peut faire 3 lots de 65 figurines et 78 autocollants.
\item $195 = 3 \times 5 \times 13$.
\item $\text{PGCD}(195, 234) = 3 \times 13 = 39$.
    \begin{enumerate}
        \item On peut constituer au maximum \textbf{39 lots}.
        \item Chaque lot~: $\dfrac{195}{39} = 5$ figurines et $\dfrac{234}{39} = 6$ autocollants.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 : Location de bateaux \hfill 21 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Société A}
    \begin{enumerate}
        \item Tarif A pour 2h~: $60$~\euro.
        \item Budget $100$~\euro~: 3h coûtent $90$~\euro, 4h coûtent $120$~\euro. On peut louer 3h au maximum.
        \item Le graphique passe par l'origine et c'est une droite : le prix est proportionnel à la durée.
        \item $f(x) = 30x$~; $f(10) = 300$~\euro.
    \end{enumerate}

\item \textbf{Société B} : $g(x) = 15x + 60$.
    \begin{enumerate}
        \item Pour 2h~: $60 + 2 \times 15 = 90$~\euro. $\checkmark$
        \item Voir graphique ci-dessous.
        \item Non : la droite ne passe pas par l'origine.
    \end{enumerate}

\item \textbf{Comparaison}
    \begin{enumerate}
        \item Pour 3h~: Société A $= 90$~\euro~; Société B $= 105$~\euro. La société A est plus intéressante.
        \item $30x = 15x + 60 \iff 15x = 60 \iff x = 4$. Les tarifs sont égaux pour 4 heures.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE}

\medskip

\textbf{Prix payé pour la location d'un bateau en fonction de la durée}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.4cm,y=0.028cm]
    \foreach \n in {0,0.5,...,8} \draw[gray!30,line width=0.6pt] (\n,0) -- (\n,280);
    \foreach \n in {0,10,...,280} \draw[gray!30,line width=0.6pt] (0,\n) -- (8.25,\n);
    \draw[line width=1.25pt,->] (-0.2,0) -- (8.4,0) node[right,font=\small] {Durée (heures)};
    \draw[line width=1.25pt,->] (0,-15) -- (0,290) node[above,font=\small] {Prix (\euro)};
    \foreach \x in {1,2,...,8} {
        \draw (\x,5) -- (\x,-5);
        \node[below,font=\scriptsize] at (\x,-8) {\x};
    }
    \foreach \y in {50,100,150,200,250} {
        \draw (0.05,\y) -- (-0.05,\y);
        \node[left,font=\scriptsize] at (-0.05,\y) {\y};
    }
    \draw[blue,line width=1.25pt,domain=0:8.25] plot (\x,{30*\x});
    \draw[red,line width=1.25pt,domain=0:8.25] plot (\x,{15*\x+60});
    \node[blue,rotate=31,font=\small] at (7.8,248) {Société A};
    \node[red,rotate=18,font=\small] at (7.8,188) {Société B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
