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\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~}

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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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            text align={center},
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

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\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Centres étrangers, 10 juin 2024}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Bonne réponse :} $1{,}93 \times 10^{-101}$

On a~: $0{,}193 \times 10^{-100} = 1{,}93 \times 10^{-1} \times 10^{-100} = 1{,}93 \times 10^{-101}$.

L'écriture scientifique de $0{,}193 \times 10^{-100}$ est $1{,}93 \times 10^{-101}$.

\item \textbf{Bonne réponse :} $\np[km/h]{84,2}$.

$\np[h]{5}$\,\np[min]{42} correspondent à $5 + \dfrac{42}{60} = 5 + \dfrac{7}{10} = \np[h]{5,7}$.

La vitesse moyenne est donc~: $\dfrac{480}{5{,}7} = \dfrac{1600}{19} \approx 84{,}21$~(km/h).

Sa vitesse moyenne arrondie au dixième est donc de $\np[km/h]{84,2}$.

\item \textbf{Bonne réponse :} Oui, en écrivant le nombre 2.

Avec 15 secteurs, la probabilité de désigner un secteur est de $\dfrac{1}{15}$. En inscrivant 2 dans le secteur effacé, on aura 9 secteurs favorables sur 15, soit une probabilité de $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$.

\item \textbf{Bonne réponse :} rien de particulier.

En rangeant les nombres dans l'ordre croissant~: $1~;~3~;~5~;~10~;~10~;~11~;~17$.

L'étendue est $17 - 1 = 16 \neq 5$. La médiane est la 4\up{e} valeur, soit $10 \neq 5$.

La moyenne est $\dfrac{1+3+5+10+10+11+17}{7} = \dfrac{57}{7} \approx 8{,}1 \neq 5$.

Aucun des éléments évoqués n'est égal à 5.

\item \textbf{Bonne réponse :} $\dfrac{4}{15}$.

Léa a déjà payé $\dfrac{1}{5}$ du prix, il lui reste $1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$. Réparti en trois paiements égaux~: $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{15}$ du prix total.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le circuit 1 enchaîne 5 fois $(40 + 16) = 56$ secondes, soit $5 \times 56 = 280$~s.

Le circuit 2 enchaîne 10 fois $(30 + 5) = 35$ secondes, soit $10 \times 35 = 350$~s.

\item Décompositions en produit de facteurs premiers~:

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t] 280 &= 2^3 \times 5 \times 7 \end{aligned}$

$\begin{aligned}[t] 350 &= 2 \times 5^2 \times 7 \end{aligned}$
\end{multicols}

\item \begin{enumerate}
        \item Comme $\np{2800} = 10 \times 280$, Camille a effectué 10 circuits 1 complets : elle est au départ du circuit 1.

Comme $\dfrac{\np{2800}}{350} = 8$, Dominique a effectué 8 circuits 2 complets : elle est aussi au départ.

En effet~: $\np{2800} = 2^3 \times {\color{red}(2 \times 5^2 \times 7)} = 8 \times 350$.

        \item La première fois où les deux se retrouvent simultanément au départ, c'est au bout du PPCM de 280 et 350.

Les facteurs 2, 5 et 7 apparaissent dans les deux décompositions. Le PPCM est $2^3 \times 5^2 \times 7 = \np{1400}$~s.

Comme $\np{1400} = 23 \times 60 + 20$, elles se retrouvent au départ après 23~min 20~s.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
    \item En choisissant 5 comme nombre de départ, les deux résultats intermédiaires sont~:
    $5 - 2 = 3$ (à gauche) et $5 + 1 = 6$ (à droite).

Le résultat final est $3 \times 6 = 18$.

    \item Si le nombre de départ est $-\dfrac{3}{2}$, les résultats intermédiaires sont~:
    $-\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{7}{2}$ et $-\dfrac{3}{2} + 1 = -\dfrac{1}{2}$.

Le résultat final est $\left(-\dfrac{7}{2}\right) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4}$.

    \item Le script complété est~:
    \begin{center}
        \begin{scratch}[num blocks]
            \blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
            \blocksensing{demander \ovalnum{choisir un nombre} et attendre}
            \blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalvariable{réponse} - \ovalnum{2}}}
            \blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovalvariable{réponse} + \ovalnum{1}}}
            \blocklook{dire \ovalnum{a}*\ovalnum{b} pendant \ovalnum{2} secondes}
        \end{scratch}
    \end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t] (x-2)(x+1) &= x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2. \end{aligned}$

\item \begin{enumerate}
    \item Résolution de $(x-2)(x+1) = 0$~:

$x - 2 = 0$ ou $x + 1 = 0$, donc $x = 2$ ou $x = -1$.

    \item Les antécédents de 0 par $g$ sont les solutions de $g(x) = 0$, c'est-à-dire 2 et $-1$.
\end{enumerate}

\item C'est le graphique 3 qui est la représentation de $g$.

Sur le graphique 1, l'image de $-1$ n'est pas 0. Sur le graphique 2, l'image de 2 n'est pas 0. Seul le graphique 3 vérifie que 2 et $-1$ ont pour image 0. De plus, $g$ n'est pas affine, contrairement à ce que montrent les graphiques 1 et 2.

\item Le programme transforme $x$ en $(x-2)$ et $(x+1)$, puis calcule le produit $(x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 = g(x)$. Pour obtenir 0, il faut choisir un antécédent de 0 par $g$, c'est-à-dire 2 ou $-1$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 16 points}

\medskip

\begin{enumerate}
    \item Dans le triangle ABE~:

$\mathrm{AB}^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25$ et $\mathrm{AE}^2 + \mathrm{EB}^2 = 4{,}4^2 + 3{,}3^2 = 19{,}36 + 10{,}89 = 30{,}25$.

Donc $\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AE}^2 + \mathrm{EB}^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEB est rectangle en E.

    \item $\cos\left(\widehat{\mathrm{ABE}}\right) = \dfrac{\mathrm{EB}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{3{,}3}{5{,}5} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, donc $\widehat{\mathrm{ABE}} \approx 53\degre$.

    \item D'après le théorème de Thalès (E, A, F alignés et E, B, D alignés, avec (AB) $\parallel$ (FD))~:
$\dfrac{\mathrm{EB}}{\mathrm{ED}} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{FD}}$, soit $\dfrac{3{,}3}{3{,}3 + 6{,}6} = \dfrac{5{,}5}{\mathrm{FD}}$, d'où $\mathrm{FD} = \dfrac{5{,}5 \times 9{,}9}{3{,}3} = 5{,}5 \times 3 = \np[cm]{16,5}$.

    \item Le rapport de l'homothétie de centre E transformant ABE en FDE est~:
$\dfrac{\mathrm{ED}}{\mathrm{EB}} = \dfrac{9{,}9}{3{,}3} = 3$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 5 \hfill 24 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle SOM rectangle en O~:
$\mathrm{SM}^2 = 30^2 + 9^2 = 900 + 81 = 981$, donc $\mathrm{SM} = \sqrt{981} \approx \np[cm]{31,3}$.

\item La circonférence de la base du cône est $2\pi \times 9 = 18\pi \approx \np[cm]{56,55}$.

Comme le tour de tête de Léo est de \np[cm]{56}, les dimensions sont adaptées.

\item \begin{enumerate}
        \item La circonférence du cercle de rayon $31{,}3$~cm est $2\pi \times 31{,}3 \approx \np[cm]{196,7}$.

        \item Tableau ANNEXE complété~:

        \begin{center}
            \renewcommand\arraystretch{2}
            \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{7cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
                Mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{M'SM}}$ (en degré) & 360 & 103\\ \hline
                Longueur de l'arc $\widearc{\mathrm{M'M}}$ (en cm, au dixième) & 196,7 & 56,5\\ \hline
            \end{tabularx}
        \end{center}

        \item $\widehat{\mathrm{M'SM}} = \dfrac{360 \times 56{,}5}{196{,}7} = \dfrac{20340}{196{,}7} \approx 103{,}4\degre$.

Au degré près, l'angle est de $103\degre$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $V_\mathrm{chapeau} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9^2 \times 30 = 810\pi \approx \np[cm^3]{2545}$.

\item Une homothétie de rapport $\dfrac{1}{2}$ multiplie les volumes par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%$.

Comme $12{,}5\,\% < 15\,\%$, si la hauteur de bonbons n'atteint que la moitié de la hauteur du chapeau, le volume de bonbons est inférieur à 15\,\% du volume total : Léo a raison.
\end{enumerate}

\end{document}
