\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

% -- pstricks via auto-pst-pdf --
\usepackage[runs=2]{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Liban -- mai 2008}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Liban, mai 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ représentent respectivement le prix d'une boule et celui d'une guirlande. Ces prix sont exprimés en euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'opération qui consiste à appliquer une réduction de 20\,\% à un article dont le prix est $P$ se traduit par l'égalité :
		
$P - \dfrac{20\text{P}}{100} = P - 0,2P = P(1 - 0,2) = 0,8P.$

On constate que cette réduction revient à multiplier ce prix $P$ par $0,8$.
		\item L'achat du deuxième client se traduit par l'équation :
		
$5(0,8x) + 5(0,8y) = 25,6$ ou $4x+4y = 25,6$.

En simplifiant par 4 on obtient : $x + y=6,4$.
	\end{enumerate}
\item $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+y&18,4\quad (1) \\ x+y&6,4\quad (2) \\ \end{array} \right.$

De (2) on tire $y=6,4-x$, valeur que l'on porte dans (1)

$6x+6,4-x=18,4$ ou 
$5x=18,4-6,4=12$ soit $x=\dfrac{12}{5}=2,40$~\euro{} et 
$y = 6,4 - 2,4 = 4$~\euro.
\item Le prix d'une boule est 2,40~\euro. Le prix d'une guirlande est 4~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développons et réduisons $E$. 
On utilise l'identité remarquable 

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$E = x^2 - 10x + 25 + 2x^2 + x - 10x - 5 = 3x^2 -19x + 20$.

$E = 3x^2 - 19x + 20$ \quad  (1)
		\item $x = \sqrt3$ ; 

$E = 3\left(\sqrt3\right)^2- 19\sqrt3 + 20 =3\times 3- 19\sqrt3 + 20 = 29 - 19\sqrt3$.
		\item Oui  la forme développée permet de calculer plus rapidement et plus simplement $E$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $E = 0$.
		
Léa a vu que pour $x = 5, \: x - 5 = 0$, donc $E = 0$.
		\item Factorisons $E$ par $x - 5$ :
		
$E = (x - 5)[(x - 5) + (2x + 1)] = (x - 5)(3x - 4)$.
		\item $E = 0$  si $x - 5 = 0$, déjà vu ou  $3x - 4 = 0$ soit $x = \dfrac{4}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Remplaçons $x$ par $\dfrac{1}{9}$ dans (1)

$E = 3\times\dfrac{1}{9}^2- \dfrac{19}{9} + 20 = \dfrac{3}{81} - \dfrac{19}{9} + 20 = \dfrac{1}{27} - \dfrac{19}{9} + 20 = \dfrac{1}{27}-\dfrac{57}{27}+\dfrac{540}{27} = 
\dfrac{484}{27}$, fraction irréductible car 
$484 = 11^2 \times 2^2$ et $27 = 3^3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\sin \widehat{ACB} = \dfrac{\text{côté\;opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC}$ ;

$\sin \widehat{ACB} = \dfrac{3}{BC}$
d'où BC $ = \dfrac{3}{\sin 30\degres}$. Réponse C.
\item Triangle 7 (donc réponse C) car la rotation de centre B d'angle 120\degres (2 fois 60\degres) s'effectue dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\item Traçons la droite (OB).

On a alors $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}$

$\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + 2 \widehat{BDC}$
(propriété des angles inscrits)

$\widehat{AOC} = 64\degres + 40\degres = 104\degres$. Réponse B.
\item D'après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{BC}{CE}$ soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{BC}{CE}$. Réponse C.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}(note : les vecteurs ne sont plus au programme de 3\up{e} en France)

\medskip

\begin{enumerate}
\item image 4
\item Les coordonnées du milieu M de [AC] sont données par les formules suivantes :

$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{1-2}{2} = -\dfrac{1}{2}$ ;

$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{3+1}{2} = 2$.
\item $\vect{BC} = \left(x_C-x_B ; y_C-y_B\right) = \left(- 4~;~2\right)$
\item ABCE est un parallélogramme si
$\vect{AE} = \vect{BC}$ ce qui se traduit par les égalités :

$x_E- x_A = - 4$ et $y_E - y_A = 2$ ;

$x_E - 1 = - 4$ et $y_E - 3 = 2$.

On obtient $x_E = - 3$ et $y_E = 5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D est le centre du triangle équilatéral. Donc $DB = DG = DF$.
		
On trace le cercle de centre $D$ et de rayon $[DB]$. On construit un angle au centre $BDx$ de 120\degres ; $Dx$ coupe le cercle en F. 

Même raisonnement pour la construction de G.
		\item $BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2+(y_D - yB)^2}  = \sqrt{(4 - 2)^2+(-2 + 1)^2} = \sqrt{(4+1)} = \sqrt5 \approx  2,24$cm soit environ  22~mm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La longueur maximale de l'arête du paquet est donnée par le PGCD$(156~;~96)$.

Calculons le PGCD en utilisant l'algorithme d'Euclide :

$156 = 96 \times 1+60$

$96 = 60 \times 1+36$

$60 = 36 \times 1+24$

3$6 = 24 \times 1+12$

$24 = 12 \times 2+0$

Le dernier reste non nul constitue le PGCD, soit $12$.
\item le nombre de paquets que l'on peut disposer :

sur la largeur : $\dfrac{96}{12} = 8$, sur la longueur: $\dfrac{156}{12} = 13$.

Au total : $8 \times 13 = 104$ paquets.
\item Sur la hauteur: $\dfrac{144}{12} = 12$,  la caisse pourra contenir : $104 \times 12 = \np{1248}$ paquets.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~
		\medskip
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Volume de lessive $\left(\text{en cm}^3\right)$	&400&800&\np{1600}	&$x$\\ \hline
Masse de lessive (en g)							&600	&\np{1200}	&\np{2400}			&$1,5x$\\ \hline
Masse totale d'un paquet de lessive (en g)		&800	&\np{1400}	&\np{2600}			&$1,5x + 200$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
		
		\item Masse totale = Masse de lessive + Masse du paquet vide
		
\np{2300} = Masse de lessive $+ 200$  soit masse de lessive $= \np{2300} - 200 = \np{2100}$~g.

Les \np{2100} g correspondent à un volume de $\dfrac{\np{2100}}{1,5} = \np{1400}$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite passant par les points de coordonnées (0~;~200) et (800~;~1400).
		
[Pour $x = 0, \, f(0) = 200$ et pour $x = 800, \, f(800) = 1400$]
		\item Voir le tracé vert sur le graphique ci-dessous.
		
\begin{center}
\psset{unit=0.003cm}
\begin{pspicture}(-100,-100)(2000,2500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-1)(2000,2500)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1500}{1.5 x mul 200 add}
\psline[linecolor=green,ArrowInside=->]{->}(0,2300)(1400,2300)(1400,0)
\uput[l](0,2300){\green \footnotesize2300}
\end{pspicture}
		
\end{center}
Le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de \np{2300} g est de \np{1400} cm3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item � l'échelle $\dfrac{1}{4}$, les dimensions des côtés de la face BFGC qui est un carré sont les suivantes :

CG = BF = 3 cm ; GK =  BL = CJ = 1 cm

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(3.3,3.3)
\psframe(0,0)(3,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1)(3,2)(3,3)(0,2)
\uput[dl](0,0){B} \uput[ul](0,3){C} \uput[ur](3,3){G} 
\uput[dr](3,0){F} \uput[l](0,2){J} \uput[r](3,2){K} 
\uput[l](0,1){L}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.5)(0,1.5)(0,2.5)(3,0.5)(3,1.5)(3,2.5)
\psline[linecolor=blue](0,2)(3,2) 
\end{pspicture}

\end{center}
\item On constate que l'aire de la bande LKGJ est égale à l'aire de la bande IALJ.

L'aire de la bande LKGJ est la somme des aires de deux triangles rectangles de même aire de côtés 1 et 3. L'aire de cette bande est donc égale à $1 \times 3 = 3$~cm$^2$.

En réalité l'aire est égale à $3 \times 4 \times 4 = 48$~cm$^3$.
\end{enumerate}

\end{document}
