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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Martinique, 3 juillet 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

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\fancyhf{}
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\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
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\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
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\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Martinique, 3 juillet 2024}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Anne et Jean ont acheté $630 + 810 = \np{1440}$~dragées.
        \item La probabilité est $\dfrac{810}{\np{1440}} = \dfrac{9}{16} = \np{0,5625}$.
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $\dfrac{810}{21} = \dfrac{270}{7}$ n'est pas un entier : ils ne peuvent pas réaliser 21 ballotins identiques.
        \item $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ et $810 = 2 \times 3^4 \times 5$.
        \item Le PGCD de 630 et 810 est $2 \times 3^2 \times 5 = 90$.

On a $630 = 90 \times 7$ et $810 = 90 \times 9$.

Anne et Jean pourront faire 90 ballotins identiques de 7 dragées roses et 9 dragées blanches.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 18 points}}

\medskip

\textbf{Question 1} \quad $\np{13420} = 1{,}342 \times 10^4$ : réponse B.

\textbf{Question 2} \quad La médiane est la 6\up{e} valeur sur 11 : 85,74 ; réponse A.

\textbf{Question 3} \quad Le motif gris a pour symétrique le motif 5 : réponse C.

\textbf{Question 4} \quad Le motif gris a pour image le motif 12 : réponse B.

\textbf{Question 5} \quad $f(2) = 0$ : réponse A.

\textbf{Question 6} \quad Coefficient directeur : $\dfrac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ : réponse C.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Dans le triangle DLA rectangle en L, J appartient à [DA] et K à [DL].

\medskip

\begin{tabular}{l}
DL = 600~m ;\\
KJ = 200~m ;\\
DJ = 520 m ;\\
KL = 120 m.
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85,>=stealth]
    % arrows: D -> K -> J -> A
    \draw[line width=1.25pt,->] (1.5,0.5) -- (3.5,3.5);
    \draw[line width=1.25pt,->] (3.5,3.5) -- (5.2,2.3);
    \draw[line width=1.25pt,->] (5.2,2.3) -- (7.9,3.6);
    % point labels
    \node[below] at (1.5,0.5) {D};
    \node[above left] at (3.5,3.5) {K};
    \node[below right] at (5.2,2.3) {J};
    \node[right] at (7.9,3.6) {A};
    \node[above] at (5,5.8) {L};
    % right angle at L
    \begin{scope}[shift={(5,5.8)},rotate=-128]
        \draw (0,0) rectangle (0.3,0.3);
    \end{scope}
    % dashed lines K-L-A and D-J
    \draw[dashed] (3.5,3.5) -- (5,5.8) -- (7.9,3.6);
    \draw[dashed] (1.5,0.5) -- (5.2,2.3);
    % dimension line for DL (600 m)
    \draw[line width=0.6pt,<->] (0.5,1.3) -- (4,6.6);
    \node[rotate=55,font=\small] at (2.1,4.1) {600 m};
    \node[rotate=57,font=\small] at (4.5,4.65) {120 m};
    \node[rotate=-38,font=\small] at (4.55,3.1) {200 m};
    \node[rotate=28,font=\small] at (3.55,1.3) {520 m};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item DK $=$ DL $-$ KL $= 600 - 120 = 480$~(m).

\item $\text{DK}^2 + \text{KJ}^2 = 480^2 + 200^2 = \np{230400} + \np{40000} = \np{270400} = 520^2 = \text{DJ}^2$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DKJ est rectangle en K.

\item (LA) $\perp$ (DL) et (KJ) $\perp$ (DL) : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (LA) $\parallel$ (KJ).

\item Les droites (KJ) et (LA) sont parallèles, les points D, K, L sont alignés et D, J, A le sont aussi. Par le théorème de Thalès~:

$\dfrac{\text{DK}}{\text{DL}} = \dfrac{\text{DJ}}{\text{DA}}$, soit $\dfrac{480}{600} = \dfrac{520}{\text{DA}}$, d'où $\text{DA} = \dfrac{600 \times 520}{480} = 650$~(m).

\item Longueur du trajet $\text{DK} + \text{KJ} + \text{JA} = 480 + 200 + (650 - 520) = 810$~m.

\item $\cos \widehat{\text{LDA}} = \dfrac{\text{DL}}{\text{DA}} = \dfrac{600}{650} = \dfrac{12}{13}$, d'où $\widehat{\text{LDA}} \approx 22{,}6\degres$.

Cette valeur est inférieure à 25\degres{} : le photographe pourra tout filmer.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

On considère le programme de calcul~:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$\bullet~$Choisir un nombre\\
$\bullet~$Mettre ce nombre au carré\\
$\bullet~$Soustraire le triple du nombre de départ\\
$\bullet~$Soustraire 4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $5 \to 5^2 = 25 \to 25 - 3 \times 5 = 10 \to 10 - 4 = 6$.

\item $x \to x^2 \to x^2 - 3x \to x^2 - 3x - 4$.

\item $(x+1)(x-4) = x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4$. On a donc $x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4)$.

\item Il faut résoudre $(x+1)(x-4) = 0$, soit $x = -1$ ou $x = 4$.

Les deux nombres donnant le résultat 0 sont $-1$ et 4.

\item Juliette doit compléter les lignes 4 et 6~:

\begin{scratch}
\blockvariable{mettre \selectmenu{y} à \ovaloperator{\ovalnum{x}*\ovalnum{x}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{y}-\ovalnum{z} - 4}}
\end{scratch}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 22 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $\text{AB} = 2\,\text{AE} + \text{EF}$, soit $5 = 2\,\text{AE} + 2{,}2$, d'où $\text{AE} = \dfrac{2{,}8}{2} = 1{,}4$~(m).

        \item $\mathcal{A}(\text{AEL}) = \dfrac{1{,}4 \times 1{,}4}{2} = 0{,}98~\text{m}^2$.

        \item $\mathcal{A}(\text{EFGHIJKL}) = 5^2 - 4 \times 0{,}98 = 25 - 3{,}92 = 21{,}08~\text{m}^2$.
    \end{enumerate}

\item
    \begin{enumerate}
        \item $V = 21{,}08 \times \dfrac{3}{4} \times 1{,}5 = 23{,}715~\text{m}^3 \approx 24~\text{m}^3$.

        \item Volume en litres : $24 \times \np{1000} = \np{24000}$~L. Durée : $\dfrac{\np{24000}}{12} = \np{2000}$~min.

Or $\np{2000} = 60 \times 33 + 20$ : la durée de remplissage est de 33~h 20~min.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
