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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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\pagestyle{fancy}
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}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, juin 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2}
%On donne le programme de calcul suivant :&Choisir  un nombre.\\
%&\textbf{a.} Multiplier ce nombre par $3$.\\
%&\textbf{b.} Ajouter le carré du nombre choisi.\\
%&\textbf{c.} Multiplier par $2$.\\
%& Écrire le résultat.\\\cline{2-2}
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que, si on choisit le nombre $10$, le résultat obtenu est $260$.
$10 \to 3 \times 10 = 30 \to 30 + 10^2 = 130 \to 2 \times 130 = 260$.
\item  %Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] %le nombre choisi est $- 5$ ;
$- 5 \to - 15  \to - 15 + 25 = 10 \to 20$ ;
\item[$\bullet~$] %le nombre choisi est $\dfrac{2}{3}$ ;
$\dfrac{2}{3} \to \dfrac{2}{3}\times 3 = 2 \to 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{22}{9} \to \dfrac{44}{9}$ ;
\item[$\bullet~$] %le nombre choisi est $\sqrt{5}.$
$\sqrt{5} \to 3\sqrt{5} \to 3\sqrt{5} + 5 \to 6\sqrt{5} + 10$.
 \end{itemize}
\item %Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit $0$ ?
On a la suite :

$x \to 3x \to 3x + x^2 \to 2\left(3x + x^2\right) = 6x + 2x^2 = 0$.

Soit $2x(3 + x) = 0 $ ou $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
3 + x&=&0
\end{array}\right.$, soit finalement $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
x&=&- 3
\end{array}\right.$

Si l'on part de $0$ ou de $- 3$, on arrive à $0$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}
 
%2 est-il solution de l'équation $2a^2 - 3a - 5 = 1$ ? Justifier.
On calcule : $2 \times 2^2 - 3 \times 2 - 5 = 8 - 6 - 5 = - 3 \ne 1$.

2 n'est pas solution de l'équation $2a^2 - 3a - 5 = 1$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%Trois points A, B et C d'une droite graduée ont respectivement pour abscisse :
%
%\[\dfrac{1}{4} \quad ; \quad \dfrac{1}{3}\quad \text{et}~~\dfrac{5}{12}.\]
%
%Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée ? \\Justifier.
On a $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}$ ;

$\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{12}$.

Les distances entre les trois nombres sont les mêmes, les trois points sont régulièrement espacés sur la droite graduée.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
%Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie $95$~euros.
%
%Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire on paie $55,50$~euros.
%
%Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.
Soit $v$ le prix d'un kilo de vernis et $c$ le prix d'un kilo de cire ; on a :

$\left\{\begin{array}{l c l}
6v + 4c&=&95\\
3v + 3c&=&55,50
\end{array}\right.$ ou en simplifiant par 3 dans la deuxième équation :

$\left\{\begin{array}{l c l}
6v + 4c&=&95\\
v + c&=&18,50
\end{array}\right.$.

De la seconde équation on déduit que $c = 18,5 - v$ et en reportant cette valeur dans la première équation :

$6v + 4(18,5 - v) = 95$, soit $6v + 74 - 4v = 95$ ou $3v = 21$ et enfin $v = 7$ et par conséquent $c = 18,5 - v = 18,5 - 7 = 11,5$.

Un kilo de vernis coûte 7~\euro{} et un kilo de cire coûte 11,50~\euro.

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 : QCM}
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
% 
%Chaque réponse exacte rapporte 1~point.
%
%Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

%\medskip
%   
%\textbf{Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}
   
%\medskip
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No & Situation &	Proposition 1& Proposition 2&	Proposition 3\\ \hline
1&ABCD est un parallélogramme. Quelle égalité vectorielle peut-on en	déduire ?&$\vect{\text{AB}}=\vect{\text{CD}}$&$\vect{\text{AC}}=\vect{\text{DB}}$&\fbox{$\vect{\text{AD}}= \vect{\text{BC}}$}\\ \hline
2&On considère un cylindre de rayon 3~cm et de hauteur 6~cm. Quel est le volume de ce cylindre, exprime en cm$^3$ ?&$18\pi$&\fbox{$54\pi$}&$36\pi$\\ \hline
3&On considère dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc. L'angle au centre mesure $34\degres$. Combien l'angle inscrit mesure-t-il	 ?&$34\degres$&	\fbox{$17\degres$}&$68\degres$ \\ \hline
4&\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,5.5)
\pspolygon(0,0)(3.3,0)(5.1,2)(2.7,4.8)%ABCSA
\psline(3.3,0)(2.7,4.8)%BS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(1.8,2)(2.7,4.8)%ADS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.8,2)(5.1,2)%DC
\uput[dl](0,0){A}   \uput[dr](3.3,0){B}  \uput[u](5.1,2){C}  \uput[ur](1.8,2){D}  \uput[u](2.7,4.8){S}  
\end{pspicture} &
Ni rectangle, ni isocèle&	\fbox{Rectangle et isocèle} &	Isocèle mais non rectangle.\\
 & Le dessin ci-dessus représente en
perspective une pyramide à base
carrée de sommet S. Quelle est en
réalité la nature du triangle ABC ?&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
  
\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 2}
 
\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,6.5)
\psline(4.8,5.9)(1.1,1.3)(6.7,0.9)(1.1,6.05)
\psline(2,2.3)(5.4,2.15)%EF
\uput[r](3.3,4){A} \uput[dl](1.1,1.3){B} \uput[dr](6.7,0.9){C} \uput[ul](2,2.3){E} \uput[ur](5.4,2.15){F} \uput[r](4.2,5){G} 
\uput[l](2.3,5){K}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.25,5)(4.1,5)(3.3,4)(2,2.3)(5.4,2.15)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Sur la figure ci-contre :\hspace{4cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les points K, A, F, C sont alignés ;
\item[$\bullet~$] les points G, A, E, B sont alignés ;
\item[$\bullet~$] (EF) et (BC) sont parallèles ;
\item[$\bullet~$] AB = 5 et AC =  6,5 ;
\item[$\bullet~$] AE = 3 et EF = 4,8 ;
\item[$\bullet~$] AK = 2,6 et AG = 2.
\end{itemize} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que BC = 8.
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, donc d'après la propriété de Thalès, on peut écrire :

$\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BC}}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4,8}{\text{BC}}$, d'où $\text{BC} = \dfrac{4,8 \times 5}{3} = 8$.
\item  %Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre.
Voir ci-dessus.
\item  %Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier.
On a $\dfrac{\text{AE}}{\text{AG}} = \dfrac{3}{\text{2}} = 1,5$ et $\dfrac{\text{AF}}{\text{AK}} = \dfrac{4,8}{2,6} = \dfrac{24}{13} \approx 1,8$.

Donc $\dfrac{\text{AE}}{\text{AG}} \ne \dfrac{\text{AF}}{\text{AK}}$ : la réciproque de la propriété de Thalès n'est pas vérifiée donc les droites (KG) et (BC) ne sont pas parallèles.
\item  %Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
$\text{BC}^2 = 8^2 = 64$ ;

$\text{BA}^2 + \text{AC}^2 = 5^2 + 6,5^2 = 25 + 42,25 = 67,25$.

Donc $\text{BC}^2 \ne \text{BA}^2 + \text{AC}^2$, donc la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée : le triangle ABC n'est pas rectangle (une seule vérification suffit car seul le côté le plus long aurait pu être l'hypoténuse).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille.}

\medskip

\textbf{Partie 1 :}
Dans le graphique figurant en annexe on lit pour une taille comprise entre 150~cm et 200~cm ; 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en abscisse la taille exprimée en cm.
\item[$\bullet~$] en ordonnée le poids exprimé en kg.
\end{itemize}

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180~cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près.
On lit sur le graphique que le poids doit être compris entre 60 et 81 kg.
\item %Une personne mesure 165~cm et pèse 72~kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien ? Donner la valeur arrondie au kg près.
Elle dépasse son poids maximum de 4~kg.
\item %Une personne de 72~kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille.

%Quelle peut être sa taille ?
Sa taille peut aller de 169~cm à 197~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II :}
 
%Dans cette partie, $t$ représente la taille d'une personne, exprimée en cm. On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note $p$.

\[p,\:\text{exprimé en kg, est donné par la formule :}\:p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p_{160 \text{cm}} = 160 - 100 - \dfrac{160 - 150}{4} = 60 - 2,5 = 57,5$~kg
\item[$\bullet~$] $p_{165 \text{cm}} = 165 - 100 - \dfrac{165 - 150}{4} = 65 - 3,75 = 61,25$~kg
\item[$\bullet~$] $p_{180 \text{cm}} = 180 - 100 - \dfrac{180 - 150}{4} = 80 - 7,5 = 72,5$~kg
\end{itemize}

%Placer les points correspondants sur le graphique figurant en feuille annexe.
Voir les points ci-dessous
\item %Démontrer que la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite. Tracer cette droite sur le graphique figurant en feuille annexe.
On a : $p = \dfrac{4t - 400 - (t - 150)}{4} = \dfrac{3t - 250}{4} = \dfrac{3}{4}t - 62,5$.

On a donc $p$ fonction affine de $t$. Sa représentation est donc une droite contenant le point (0~;~62,5). Tracé ci-dessous.
\item %Une personne mesure 170~cm et son poids est égal au poids idéal augmenté de 10\:\%.
On a $p_{170 \text{cm}} = 170 - 100 - \dfrac{170 - 150}{4} = 70 - 5 = 65$~kg

Donc augmenté de 10\,\%, son poids effectif est : $65 \times 1,10 = 71,5$~kg.

Or graphiquement on voit que pour une personne de 170 cm le poids maximum est de 72,5~kg, donc la personne ne dépasse pas ce poids maximum conseillé.
%Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ?
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
 
\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.141cm,yunit=0.2cm} 
\begin{pspicture}(-5,-5)(80,70)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,Ox=140,Oy=40]{->}(0,0)(80,70)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,Ox=140,Oy=40](0,0)(80,70)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,70)}
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\multido{\n=40+10}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(80,\n)}
\psset{arrowsize=3pt 1}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](40,0)(40,20)(0,20)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](40,0)(40,41)(0,41)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,32)(29,32)(29,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,32)(57,32)(57,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](30,0)(30,32.5)(0,32.5)
\pscurve[linecolor=blue](10,01.8)(20,07.5)(30,13.7)(40,20)(50,27)(60,34)
\pscurve[linecolor=red](10,16.4)(20,24)(30,32.5)(40,41)(50,50.2)(60,60)
\psframe[fillstyle=solid](8,37)(32,48)
\rput(20,45){la courbe supérieure}
\rput(20,42){représente le poids}
\rput(20,39){maximum conseillé}
\psframe[fillstyle=solid](38,1.5)(62,13)
\rput(50,10){La courbe inférieure}
\rput(50,7){représente le poids}
\rput(50,4){minimum conseillé}
\psline[linewidth=1.2mm]{->}(50,13)(50,27)
\psline[linewidth=1.2mm]{->}(20,37)(20,24)
\rput(75,1){taille en cm}
\rput{90}(-8,35){poids en kg}
\psdots(25,32)(20,17.5)(25,61.25)(40,32.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
