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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, juin 2010}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Fonctionnement de l'algorithme:

(a)

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item choisir un nombre de départ : 2 
\item multiplier ce nombre par $(-2)$ : $(-2) \times 2 = -4$
\item ajouter 5 au produit : $- 4 + 5 = 1$
\item multiplier le résultat par 5 : $1 \times 5 = 5$.
\item écrire le résultat obtenu : 5
\end{itemize}

(b)

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item choisir un nombre de départ :\: 3
\item multiplier ce nombre par $(-2)$ :\: $ (-2) \times 3 = - 6$
\item ajouter 5 au produit : $- 6 + 5 = - 1$
\item multiplier le résultat par 5 : $-1 \times 5 = - 5$
\item écrire le résultat obtenu : $-5$.
\end{itemize}
\item Le résultat obtenu soit 0 :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item choisir un nombre de départ: $\dfrac52$ 
\item multiplier ce nombre par $(-2)$ : $(-2) \times \dfrac52 = -5$
\item ajouter 5 au produit : $- 5 + 5 = 0$
\item multiplier le résultat par 5 : $0 \times 5 = 0$
\item écrire le résultat obtenu: 0
\end{itemize}
\item x est le nombre de départ:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item choisir un nombre de départ: $x$ 
\item multiplier ce nombre par $(-2)$ : $(-2) \times x = -2x$
\item ajouter 5 au produit : $- 2x + 5$
\item multiplier le résultat par $5 \times (- 2x + 5) = - 10x + 5$
\item écrire le résultat obtenu: $- 10x + 25 = x^2 - 10x + 25 - x^2 = (x - 5)^2 - x^2$
\end{itemize}

Arthur a raison.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'eau en gelant augmente de volume.

Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litres) obtenu à partir d'un volume d'eau liquide (en litres).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique:
	\begin{enumerate}
		\item Le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide est d'environ $6,4$ litres.
		\item Le volume d'eau liquide à mettre à geler pour obtenir $10$ litres de glace est d'environ $9,3$ litres.
	\end{enumerate}
\item Le volume de glace est proportionnel au volume d'eau liquide, car la représentation graphique est une droite contenant l'origine.
\item Si 10 litres d'eau donnent $10,8$ litres de glace, alors $100$ litres d'eau donnent $108$~litres de glace, soit une augmentation de 8 litres pour 100 litres, autrement dit, une augmentation de $8\,\%$.
\end{enumerate}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.45cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(11,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](0,0)(11,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(11,15)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{11}{x 1.08 mul}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](6,0)(6,6.48)(0,6.48)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,10)(9.26,10)(9.26,0)
\uput[d](5.5,-1){\small volume de l'eau liquide (en L)}
\rput{90}(-1,7){\small volume de la glace  (en L)}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,10)
\psframe(9,9)
\pspolygon[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,6)(3,9)(6,9)(9,6)(9,3)(6,0)(3,0)(0,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1.5,9)(4.5,9)(7.5,9)(0,7.5)(9,7.5)(0,4.5)(9,4.5)(0,1.5)(9,1.5)(1.5,0)(4.5,0)(7.5,0)
\uput[ul](0,9){A} \uput[ur](9,9){B} \uput[dr](9,0){C} \uput[dl](0,0){D}
\uput[u](3,9){I} \uput[u](6,9){J} \uput[r](9,6){K} \uput[r](9,3){L}
\uput[d](6,0){M} \uput[d](3,0){N} \uput[l](0,3){O} \uput[l](0,6){P}\uput[l](4.5,4.5){S}
\pscircle(4.5,4.5){4.5}
\psline(9,9)\psline(0,9)(9,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item voir ci-dessus
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ABCD est un carré donc $\widehat{\text{ABC}} = 90\degres$ : le triangle JBC est un triangle rectangle en B et d'après le théorème de Pythagore :

JK$^2 = \text{JB}^2 + \text{BK}^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. On en déduit que 

JK $ = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt 2 = 3\sqrt 2$. (cm)
	\item On a IJ $ = 3$ et JK $ = 3\sqrt 2$ : deux côtés n'ont pas la même longueur : l'octogone n'est pas régulier.
	\item L'aire du triangle rectangle isocèle JBK est égale à $\dfrac{3 \times 3}{2} = \dfrac92$.
	
	L'aire de l'octogone est égale à celle du carré original moins l'aire de 4 triangles rectangles isocèles identiques, soit :
	
	$9^2 - 4 \times \dfrac92 = 81 - 2 \times 9 = 81 - 18 = 63~\left(\text{cm}^2\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Voir la figure
		\item L'aire du disque de centre S et de rayon $\dfrac92 = 4,5$~(cm) est en cm$^2$ : $4,5^2 \times \pi = 20,25\pi \approx 63,6$ (d'après la calculatrice).
		
		Conclusion : l'aire du disque est supérieure à celle de l'octogone.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe : on trace du même côté de [BC] les arcs de cercle de centre B et C de rayons respectifs 2 et 4,8 qui se coupent en A.
\item On a BC$^2 = 5,2^2 = 27,04$ et AB$^2 + \text{AC}^2 = 2^2 + 4,8^2 = 4 + 23,04 = 27,04$

On a donc $5,2^2  = 2^2 + 4,8^2$ soit encore BC$^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$ et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, la triangle ABC est rectangle en A.
\item Il manque la face SBC.

$\bullet~~$SAB est un triangle rectangle en A donc son hypoténuse [SB] est telle que, d'après le théorème de Pythagore :

SB$^2 = \text{AS}^2 + \text{AB}^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

De même SAC est triangle rectangle en A donc son hypoténuse [SC] est telle que, d'après le théorème de Pythagore :

SC$^2 = 3^2 + 4,8^2 = 9 + 23,04 = 32,04$.
\item On prend comme base le triangle rectangle ABC d'aire $\dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{2 \times 4,8}{2} = 4,8~\left(\text{cm}^2\right)$ et [AS] comme hauteur avec AS = 3.
On a donc $V_{\text{SABC}} = \dfrac{4,8 \times 3}{3} = 4,8~\left(\text{cm}^3\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Aire du plafond (ou du sol) = $6,4 \times 5,2 = 33,28~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item On a $\dfrac{33,28}{4} = 8,32$ : il faut donc 8,32~L de peinture 
\end{enumerate}
\item 
Il faut peindre :
	\begin{enumerate}
		\item 
%$\bullet~~$ le plafond soit 33,28~\left(\text{m}^2\right)$ ;

$\bullet~~$ deux murs de 6,4 sur 2,80, soit $2 \times 6,4 \times 2,8 = 35,84$ moins la porte avant de 2 sur 0,8 soit une aire de $1,6~\left(\text{m}^2\right)$ et la baie arrière de $2 \times 1,6  = 3,2~\left(\text{m}^2\right)$ soit finalement :

$35,84 - 1,6 - 3,2 = 31,04~\left(\text{m}^2\right)$ ;

$\bullet~~$deux murs de côté de 5,2 sur 2,8 soit une aire de $2 \times 5,2 \times 2,8 = 29,12~\left(\text{m}^2\right)$ moins l'aire des deux baies soit $2 \times 2 \times  1,6 = 6,4$ soit finalement :

$29,12 - 6,4 = 22,72~\left(\text{m}^2\right)$

L'aire totale des murs à peindre est donc égale à :

$31,04 + 22,72 = 53,76~\left(\text{m}^2\right)$ : il faut donc peindre 54 m$^2$ de murs environ.
\item Il faut $\dfrac{53,76}{4} = 13,44$~L de peinture pour peindre les murs.
	\end{enumerate}
\item En tout (plafond + murs) il faut :

$8,32 + 13,44 = 21,76$~L de peinture pour ce chantier.

4 bidons ne suffiront pas : il faudra acheter 5 pots de peinture.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Plus grand commun diviseur de 640 et 520 : on utilise l'algorithme d'Euclide :

$640 = 520 \times 1 + 120$ ;

$520 = 120 \times 4  + 40$ ;

$120 = 40 \times 3 + 0$ : le PGCD de 640 et 520 est 40.
\item Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension. L'entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm.
	\begin{enumerate}
		\item Pour que les dalles puissent être posées sans découpe, il faut que la longueur du côté soit un diviseur du PGCD de 640 et 520, soit parmi les nombres précédents 20 et 40.
		\item Dans chacun des cas trouvés, il faut utiliser:
		
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $640 \div 40 = 16$ dalles dans la longueur et $520 \div 40 = 13$ dalles dans la largeur, soit $16 \times 13 = 208$ dalles.
\item $640 \div 20 = 32$ dalles dans la longueur et $520 \div 20 = 26$ dalles dans la largeur, soit $32 \times 26 = 832$ dalles.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour une commande de 9 paquets le prix est :
	\begin{enumerate}
		\item $48 \times 9 = 432$~(\euro), avec le grossiste A ;
		\item $42 \times 9 + 45 = 423$~(\euro) avec le grossiste B
	\end{enumerate}
\item Avec $n$  paquets: 
	\begin{enumerate}
		\item PA $= 48n$ ;
		\item PB $= 42n + 45$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Voir ci-dessous.
		\item De 0 à 7 paquets, le grossiste A est le plus avantageux ; à partir de 8 paquets, il faut choisir le grossiste B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,yunit=0.02cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-30)(10,500)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+50}{11}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(10,500)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{48 x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{42 x mul 45 add}
\uput[d](8,-20){nombre de paquets}
\uput[r](0,490){Prix en euro}
\psline[linestyle=dashed](7.5,0)(7.5,360)(0,360)
\uput[d](7.5,0){\small 7,5}\uput[l](0,360){\small 360}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-6)(5,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(-3,0)(0,-2)(0,3)(4.8,0)(0,-2)(-3,0)(4.8,0)
\psframe(0.25,0.25)\psframe(-0.25,-0.25)
\pspolygon[linecolor=red](0,-2)(4.8,0)(2.08,-4.97)
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,-2){3.6055}
\psarc[linestyle=dashed,linecolor=blue](4.8,0){5.66}{140}{250}
\uput[ul](0,0){A} \uput[d](0,-2){B} \uput[r](4.8,0){C} \uput[ul](0,3){S$_1$}
\uput[d](2.08,-4.97){S$_2$} \uput[l](-3,0){S$_3$} \uput[l](0,1.5){3} \uput[u](-1.5,0){3}
\uput[l](0,-1){2} \uput[u](2.4,0){4,8} \rput{30}(2.4,-0.75){5,2}
%\uput[](){5,2}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
