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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Métropole – Antilles-Guyane, 26 juin 2014}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-metropole-juin-2014}
\newcommand{\codefiche}{DNBMET14}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
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\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
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}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\exercice{1}{5}

Dans un octogone régulier inscrit dans un cercle, les huit angles au centre ont la même mesure :
\[
\frac{360\degres}{8}=45\degres.
\]

\begin{enumerate}
  \item On trace un cercle de centre $O$ et de rayon 3 cm, puis huit rayons séparés par des angles
  de $45\degres$. Les extrémités de ces rayons sont les sommets de l'octogone.

  \item Les sommets $D$ et $H$ sont séparés par quatre côtés. Ainsi :
  \[
  \widehat{DOH}=4\times45\degres=180\degres.
  \]
  Le segment $[DH]$ est donc un diamètre du cercle. Comme $A$ appartient au cercle, le triangle
  $DAH$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Thalès dans le cercle.

  \item L'angle au centre $\widehat{BOH}$ et l'angle inscrit $\widehat{BEH}$ interceptent le même
  arc $BH$. Or :
  \[
  \widehat{BOH}=2\times45\degres=90\degres.
  \]
  Un angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre associé, donc :
  \[
  \boxed{\widehat{BEH}=45\degres}.
  \]
\end{enumerate}

\exercice{2}{6}

On note $p$ le prix initial d'un cahier.

\begin{enumerate}
  \item Pour un cahier, les magasins A et B demandent $p$, tandis que le magasin C demande :
  \[
  p\times(1-0{,}30)=0{,}70p.
  \]
  Le magasin C est donc le plus intéressant.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Pour deux cahiers :
    \[
    A:2p,\qquad B:p+0{,}5p=1{,}5p,\qquad C:2\times0{,}7p=1{,}4p.
    \]
    Il faut choisir le \textbf{magasin C}.

    \item Pour trois cahiers :
    \[
    A:2p,\qquad B:1{,}5p+p=2{,}5p,\qquad C:3\times0{,}7p=2{,}1p.
    \]
    Il faut choisir le \textbf{magasin A}.
  \end{enumerate}

  \item Après la première réduction, le cahier coûte $0{,}70p$. La carte de fidélité donne ensuite
  une réduction de 10\,\% :
  \[
  0{,}70p\times0{,}90=0{,}63p.
  \]
  Léa paie 63\,\% du prix initial. La réduction totale est donc :
  \[
  \boxed{100\,\%-63\,\%=37\,\%}.
  \]
\end{enumerate}

\exercice{3}{5}

Pour un nombre de départ $x$, le résultat du programme est :
\[
(x-6)(x-2)=x^2-8x+12.
\]

\begin{enumerate}
  \item Pour $x=8$ :
  \[
  (8-6)(8-2)=2\times6=12.
  \]

  \item
  \begin{description}[leftmargin=0pt,labelindent=0pt]
    \item[Proposition 1 : vraie.] Par exemple, pour $x=4$ :
    \[
    (4-6)(4-2)=(-2)\times2=-4.
    \]

    \item[Proposition 2 : vraie.] Pour $x=\dfrac12$ :
    \[
    \left(\frac12-6\right)\left(\frac12-2\right)
    =\left(-\frac{11}{2}\right)\left(-\frac32\right)=\frac{33}{4}.
    \]

    \item[Proposition 3 : vraie.] Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
    \[
    x-6=0\quad\text{ou}\quad x-2=0.
    \]
    Les deux nombres cherchés sont donc $6$ et $2$.

    \item[Proposition 4 : fausse.] L'expression $x^2-8x+12$ contient un terme en $x^2$ : elle
    définit une fonction du second degré et non une fonction linéaire. De plus, l'image de 0 est 12,
    alors qu'une fonction linéaire doit envoyer 0 sur 0.
  \end{description}
\end{enumerate}

\exercice{4 (modifié)}{3}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item La fréquence la plus élevée se stabilise autour de $0{,}50$ : la couleur la plus présente
    est donc le \textbf{jaune}.

    \item La fréquence est le quotient du nombre d'apparitions par le nombre de tirages. Dans C2,
    le professeur a donc saisi :
    \[
    \boxed{\texttt{=B2/A2}}.
    \]
  \end{enumerate}

  \item Le nombre de jetons rouges vaut :
  \[
  20\times\frac15=4.
  \]
  Le sac contient donc \boxed{4\text{ jetons rouges}}.
\end{enumerate}

\exercice{5}{4}

\begin{enumerate}
  \item Le volume d'une boule est proportionnel au cube de son rayon. Si le rayon est doublé, le
  volume est multiplié par $2^3=8$. Réponse : \boxed{\text{d. }8}.

  \item
  \[
  36\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}=\frac{36\times1000}{3600}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}
  =10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
  \]
  Réponse : \boxed{\text{a. }10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}.

  \item
  \[
  \frac{\sqrt{525}}5=\frac{\sqrt{25\times21}}5=\frac{5\sqrt{21}}5=\sqrt{21}.
  \]
  Réponse : \boxed{\text{c. }\sqrt{21}}.

  \item
  \[
  \frac{1{,}5\times10^{12}}{60\times10^9}
  =\frac{1{,}5}{60}\times10^3=25.
  \]
  Réponse : \boxed{\text{a. }25}.
\end{enumerate}

\exercice{6}{6}

On a $QC=PA=0{,}65$ m, puisque $APQC$ est un rectangle. Ainsi :
\[
QK=QC-CK=0{,}65-0{,}58=0{,}07\ \text{m}.
\]

\begin{enumerate}
  \item L'inclinaison vaut :
  \[
  \frac{QK}{QP}=\frac{0{,}07}{5}=0{,}014.
  \]
  Cette valeur est comprise entre $0{,}01$ et $0{,}015$ : les feux sont correctement réglés.

  \item Dans le triangle $PQK$ rectangle en $Q$ :
  \[
  \tan\left(\widehat{QPK}\right)=\frac{QK}{QP}=0{,}014.
  \]
  Donc :
  \[
  \widehat{QPK}=\arctan(0{,}014)\approx0{,}8\degres.
  \]

  \item Les triangles $PQK$ et $PAS$ sont semblables. On a donc :
  \[
  \frac{PA}{AS}=\frac{QK}{QP}=0{,}014.
  \]
  D'où :
  \[
  AS=\frac{0{,}65}{0{,}014}\approx46{,}43\ \text{m}.
  \]
  Arrondie au mètre près, la distance d'éclairage est \boxed{46\ \text{m}}.
\end{enumerate}

\exercice{7}{7}

\begin{enumerate}
  \item Convertissons les dimensions de la botte en mètres :
  \[
  90\ \text{cm}=0{,}90\ \text{m},\quad
  45\ \text{cm}=0{,}45\ \text{m},\quad
  35\ \text{cm}=0{,}35\ \text{m}.
  \]
  Son volume est :
  \[
  V=0{,}90\times0{,}45\times0{,}35=0{,}14175\ \text{m}^3.
  \]
  Sa masse vaut :
  \[
  0{,}14175\times90=12{,}7575\ \text{kg}=0{,}0127575\ \text{t}.
  \]
  Son prix est donc :
  \[
  0{,}0127575\times40=0{,}5103\ \text{\euro}.
  \]
  Arrondi au centime, le prix d'une botte est bien \boxed{0{,}51\ \text{\euro}}.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item La face $BCGF$ est un rectangle, donc $BF=CG=5$ m. Comme $AIFB$ est également un
    rectangle, $AI=BF=5$ m. Ainsi :
    \[
    IJ=AJ-AI=7{,}7-5=2{,}7\ \text{m}.
    \]
    Dans le triangle $IJF$ rectangle en $I$, le théorème de Pythagore donne :
    \[
    JF^2=IJ^2+IF^2=2{,}7^2+3{,}6^2=7{,}29+12{,}96=20{,}25.
    \]
    Donc $JF=4{,}5$ m.

    La toiture est un rectangle de dimensions $15{,}3$ m et $4{,}5$ m. Les bottes sont posées avec
    une épaisseur de 35 cm : chacune couvre donc un rectangle de $0{,}90$ m sur $0{,}45$ m.

    Dans la longueur :
    \[
    \frac{15{,}3}{0{,}90}=17,
    \]
    et dans la largeur :
    \[
    \frac{4{,}5}{0{,}45}=10.
    \]
    Marc doit commander :
    \[
    \boxed{17\times10=170\text{ bottes}}.
    \]

    \item En utilisant le prix arrondi obtenu à la question 1 :
    \[
    170\times0{,}51=86{,}70\ \text{\euro}.
    \]
    Le coût de la paille nécessaire est donc \boxed{86{,}70\ \text{\euro}}.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}