\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta,positioning,shapes.geometric}
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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Métropole Antilles-Guyane, 30 juin 2022}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-metropole-juin-2022}
\newcommand{\codefiche}{DNBMET22}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Métropole Antilles-Guyane, 30 juin 2022
%  Redessinées en TikZ d'après le sujet officiel. Le schéma de la
%  rivière et la vasque étaient des photographies : ils sont remplacés
%  par des schémas, ce qui ne retire aucune donnée de l'énoncé et
%  garde la source LaTeX autonome (pas d'archive à télécharger).
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1 : la largeur de la rivière ───────────────────────────
% Configuration « papillon » : A, E, B alignés et C, E, D alignés,
% avec (AC) et (BD) toutes deux perpendiculaires à (AB).
% AE = 20 pas, BE = 5 pas, BD = 1 pas.
% Échelle du dessin volontairement libre : « le schéma n'est pas à
% l'échelle », comme dans le sujet.
\newcommand{\schemariviere}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round,>=stealth]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (E) at (5.4,0);
  \coordinate (B) at (7.9,0);
  \coordinate (C) at (0,2.4);
  \coordinate (D) at (7.9,-0.9);

  % la rivière, entre les deux berges
  \fill[black!8] (-1.1,0) rectangle (8.8,2.4);
  \draw[thick] (-1.1,0) -- (8.8,0);
  \draw[thick] (-1.1,2.4) -- (8.8,2.4);
  \node[anchor=west] at (-1.05,1.2) {\footnotesize la rivière};

  % les alignements
  \draw[thick] (C) -- (D);
  \draw[thick] (A) -- (B);
  \draw[thick] (A) -- (C);
  \draw[thick] (B) -- (D);

  % angles droits en A et en B
  \draw (0.22,0) -- (0.22,0.22) -- (0,0.22);
  \draw (7.9,-0.22) -- (7.68,-0.22) -- (7.68,0);

  % longueurs
  \draw[<->] (0,-1.35) -- (5.4,-1.35);
  \node[fill=white,inner sep=1pt] at (2.7,-1.35) {\footnotesize 20 pas};
  \draw[<->] (5.4,-0.62) -- (7.9,-0.62);
  \node[fill=white,inner sep=1pt] at (6.65,-0.62) {\footnotesize 5 pas};
  \draw[<->] (8.28,0) -- (8.28,-0.9);
  \node[anchor=west,inner sep=2pt] at (8.32,-0.45) {\footnotesize 1 pas};

  \foreach \p/\pos in {A/below left, B/above right, C/above left, D/below right}{
    \fill (\p) circle (1.6pt);
    \node[\pos=2pt] at (\p) {\footnotesize $\p$};
  }
  \fill (E) circle (1.6pt);
  \node[fill=white,inner sep=1pt,anchor=south east] at (5.36,0.06) {\footnotesize $E$};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2, question 1 : figure 1 et son image ──────────────────
% Repère du quadrillage : 5 colonnes, 3 lignes, origine en bas à gauche.
% Figure 1 : carré (0,3)-(1,2) et parallélogramme (0,2),(2,2),(2,1),(1,1).
% Figure 2 : la même, translatée du vecteur (3 ; -1).
%   B(1,3) -> B'(4,2)    A(1,2) -> A'(4,1)    E(1,1) -> E'(4,0)
\newcommand{\figuretranslation}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.60,line join=round]
  \draw[black!35] (0,0) grid (5,3);
  % figure 1
  \fill[black!25] (0,3) rectangle (1,2);
  \fill[black!25] (0,2) -- (2,2) -- (2,1) -- (1,1) -- cycle;
  \draw[black!55] (0,3) rectangle (1,2);
  \draw[very thick] (0,2) -- (1,1);
  \draw[very thick] (1,2) -- (2,1);
  \node at (0.5,2.5) {\small\textcircled{\scriptsize 1}};
  % figure 2
  \fill[black!25] (3,2) rectangle (4,1);
  \fill[black!25] (3,1) -- (5,1) -- (5,0) -- (4,0) -- cycle;
  \draw[black!55] (3,2) rectangle (4,1);
  \draw[very thick] (3,1) -- (4,0);
  \draw[very thick] (4,1) -- (5,0);
  \node at (3.5,1.5) {\small\textcircled{\scriptsize 2}};
  % étiquettes
  \node[above right=0pt] at (1,3) {\footnotesize B};
  \node[above right=0pt] at (1,2) {\footnotesize A};
  \node[below right=0pt] at (1,1) {\footnotesize E};
  \node[above right=0pt] at (4,2) {\footnotesize B$'$};
  \node[above right=0pt] at (4,1) {\footnotesize A$'$};
  \node[below right=0pt] at (4,0) {\footnotesize E$'$};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2, question 2 : la représentation graphique de g ───────
% La droite passe par l'origine et par le point (1 ; 2).
\newcommand{\graphiqueg}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,>=stealth]
  \draw[black!30] (-1,-1) grid (3.6,4.4);
  \draw[->,thick] (-1.4,0) -- (4.0,0);
  \draw[->,thick] (0,-1.4) -- (0,4.8);
  \foreach \x in {-1,1,2,3}{
    \draw[thick] (\x,-0.12) -- (\x,0.12);
    \node[below=1pt] at (\x,-0.15) {\footnotesize $\x$};
  }
  \foreach \y in {-1,1,2,3,4}{
    \draw[thick] (-0.12,\y) -- (0.12,\y);
    \node[left=1pt] at (-0.15,\y) {\footnotesize $\y$};
  }
  \node[below left=1pt] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \draw[blue,very thick] (-0.7,-1.4) -- (2.4,4.8);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2, question 5 : deux triangles semblables ─────────────
% LAC : LA = 2,1 ; AC = 2,4 ; LC = 2,5   (en cm)
% BUT : BU = 6,3 ; UT = 7,2 ; BT = 7,5   soit exactement le triple.
\newcommand{\trianglessemblables}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.50,line join=round]
  % LAC, dessiné à l'échelle 1 (2,1 / 2,4 / 2,5)
  \coordinate (L) at (0,0);
  \coordinate (Cc) at (2.5,0);
  \coordinate (Aa) at (0.588,2.016);
  \draw[thick] (L) -- (Cc) -- (Aa) -- cycle;
  \node[left=1pt]  at (L)  {\footnotesize L};
  \node[right=1pt] at (Cc) {\footnotesize C};
  \node[above=1pt] at (Aa) {\footnotesize A};
  \node[anchor=east,inner sep=2pt] at (0.29,1.01) {\footnotesize 2,1\,cm};
  \node[anchor=west,inner sep=2pt] at (1.55,1.01) {\footnotesize 2,4\,cm};
  \node[below=1pt] at (1.25,0) {\footnotesize 2,5\,cm};
  % BUT, le triple, posé plus à droite
  \begin{scope}[xshift=4.6cm,yshift=-0.6cm]
    \coordinate (Bb) at (0,0);
    \coordinate (Tt) at (7.5,0);
    \coordinate (Uu) at (1.764,6.048);
    \draw[thick] (Bb) -- (Tt) -- (Uu) -- cycle;
    \node[below left=1pt]  at (Bb) {\footnotesize B};
    \node[below right=1pt] at (Tt) {\footnotesize T};
    \node[above=1pt] at (Uu) {\footnotesize U};
    \node[anchor=east,inner sep=2pt] at (0.88,3.02) {\footnotesize 6,3\,cm};
    \node[anchor=west,inner sep=2pt] at (4.63,3.02) {\footnotesize 7,2\,cm};
    \node[below=1pt] at (3.75,0) {\footnotesize 7,5\,cm};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4 : le rectangle et le carré ──────────────────────────
\newcommand{\rectangleetcarre}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round]
  % rectangle de côtés x-3 et x+7
  \draw[thick] (0,0) rectangle (4.6,1.7);
  \node[below] at (2.3,0) {$x+7$};
  \node[left]  at (0,0.85) {$x-3$};
  % carré de côté x
  \begin{scope}[xshift=6.4cm,yshift=-0.5cm]
    \draw[thick] (0,0) rectangle (2.8,2.8);
    \node[below] at (1.4,0) {$x$};
    \node[left]  at (0,1.4) {$x$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : la vasque cylindrique ─────────────────────────────
% La photographie du sujet est remplacée par un schéma : les seules
% données utiles sont dans l'encadré (diamètre 40 cm, hauteur 15 cm).
\newcommand{\schemavasque}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round,>=stealth]
  \def\rx{2.0} \def\ry{0.62} \def\h{1.5}
  % plan de travail
  \fill[black!10] (-3.0,-0.15) rectangle (3.0,0);
  \draw[thick] (-3.0,0) -- (3.0,0);
  % corps du cylindre
  \fill[black!6] (-\rx,0) -- (-\rx,\h) arc[start angle=180,end angle=360,x radius=\rx,y radius=\ry] -- (\rx,0)
        arc[start angle=0,end angle=-180,x radius=\rx,y radius=\ry];
  \draw[thick] (-\rx,\h) -- (-\rx,0);
  \draw[thick] ( \rx,\h) -- ( \rx,0);
  \draw[thick] (-\rx,0) arc[start angle=180,end angle=360,x radius=\rx,y radius=\ry];
  \draw[thick,dashed] (-\rx,0) arc[start angle=180,end angle=0,x radius=\rx,y radius=\ry];
  % ouverture
  \draw[thick] (0,\h) ellipse [x radius=\rx, y radius=\ry];
  % robinet
  \draw[thick] (-2.62,0) -- (-2.62,2.30) -- (-1.30,2.30);
  \draw[thick] (-1.30,2.30) -- (-1.30,2.02);
  \draw[thick,densely dotted] (-1.30,1.94) -- (-1.30,1.70);
  % cotes
  \draw[<->] (-\rx,\h+1.55) -- (\rx,\h+1.55);
  \node[above=0pt] at (0,\h+1.53) {\footnotesize diamètre intérieur : 40 cm};
  \draw[densely dotted] (-\rx,\h+0.10) -- (-\rx,\h+1.55);
  \draw[densely dotted] ( \rx,\h+0.10) -- ( \rx,\h+1.55);
  \draw[<->] (\rx+0.75,0) -- (\rx+0.75,\h);
  \node[anchor=west,align=left] at (\rx+0.82,\h/2) {\footnotesize hauteur\\[-1pt]\footnotesize intérieure :\\[-1pt]\footnotesize 15 cm};
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{20}

\begin{enumerate}
  \item Le schéma indique deux angles droits : en A, entre (AC) et (AB) ; en B, entre (BD) et
  (AB). Or les points A, E et B sont alignés, donc ces deux angles droits sont pris par rapport à
  la \emph{même} droite (AB).

  \conclusion{$(\mathrm{AC})$ et $(\mathrm{BD})$ sont perpendiculaires à une même droite, donc
  \boxed{(\mathrm{AC})\parallel(\mathrm{BD})}.}

  \item Les points A, E, B sont alignés, les points C, E, D sont alignés, et
  $(\mathrm{AC})\parallel(\mathrm{BD})$ d'après la question 1. On est dans la configuration de
  Thalès (dite « papillon »), avec les triangles EAC et EBD.

  \smallskip
  D'après le théorème de Thalès :
  \[
  \frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}} .
  \]
  L'énoncé donne $\mathrm{EA}=20$ pas, $\mathrm{EB}=5$ pas et $\mathrm{BD}=1$ pas. On utilise donc
  le premier et le dernier rapport :
  \[
  \frac{20}{5}=\frac{\mathrm{AC}}{1},\qquad\text{d'où}\qquad \mathrm{AC}=\frac{20\times1}{5}=4 .
  \]
  \conclusion{la rivière mesure $\boxed{4\ \text{pas}}$ de large.}

  \item Le triangle AEC est rectangle en A, avec $\mathrm{AE}=20$ pas et $\mathrm{AC}=4$ pas.
  D'après le théorème de Pythagore :
  \[
  \mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=20^{2}+4^{2}=400+16=416 ,
  \]
  donc $\mathrm{CE}=\sqrt{416}\approx20{,}396$ pas.

  \smallskip
  Un pas valant 65 cm, c'est-à-dire 0,65 m :
  \[
  \mathrm{CE}\approx20{,}396\times0{,}65\approx13{,}26\ \text{m}.
  \]
  \conclusion{arrondie au décimètre près, $\boxed{\mathrm{CE}\approx13{,}3\ \text{m}}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Le bâton parcourt la distance CE, soit environ 13,3 m, en 5 secondes. La vitesse est le
    quotient de la distance par la durée :
    \[
    v=\frac{13{,}3}{5}=2{,}66 .
    \]
    \conclusion{la vitesse du bâton est d'environ $\boxed{2{,}66\ \text{m/s}}$.}

    \item On convertit cette vitesse en kilomètres par heure. En une heure, soit 3\,600 s, le
    bâton parcourt :
    \[
    2{,}66\times3\,600=9\,576\ \text{m},\qquad\text{soit } 9{,}576\ \text{km}.
    \]
    Autrement dit $v\approx9{,}6$ km/h, et $9{,}6<10$.

    \conclusion{oui, l'affirmation est \textbf{vraie} : le bâton se déplace à environ 9,6 km/h,
    donc à moins de 10 km/h.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{20}

Aucune justification n'était demandée ; les explications ci-dessous sont là pour comprendre.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.9cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
\hline
\textbf{1.} & \textbf{A} &
Les deux figures ont exactement la même forme, la même taille et le même sens : ce ne peut être
ni une homothétie (qui agrandirait ou réduirait), ni une symétrie axiale (qui inverserait le
sens). En lisant le quadrillage, on passe de B à B$'$, de A à A$'$ et de E à E$'$ par le même
déplacement : 3 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas. C'est une translation.\\
\hline
\textbf{2.} & \textbf{B} &
On cherche le nombre dont l'image vaut 2, c'est-à-dire l'abscisse du point de la droite dont
l'ordonnée est 2. En lisant le graphique, ce point est $(1\,;\,2)$ : l'antécédent de 2 est 1.
Attention à ne pas confondre avec l'image de 2, qui vaut 4.\\
\hline
\textbf{3.} & \textbf{B} &
$f(3)=3\times3^{2}-7=3\times9-7=27-7=20$ : l'affirmation B est correcte. L'affirmation A est
fausse car $f(2)=3\times2^{2}-7=12-7=5$, et non 29. L'affirmation C est fausse : à cause du
terme $3x^{2}$, $f$ n'est pas une fonction affine.\\
\hline
\textbf{4.} & \textbf{B} &
La série compte 13 valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur de rang
$\dfrac{13+1}{2}=7$, c'est-à-dire la septième une fois les valeurs rangées. Dans l'ordre
croissant : 3,41 ; 3,7 ; 4,01 ; 4,28 ; 4,3 ; 4,62 ; \textbf{4,91} ; 5,15 ; 5,25 ; 5,42 ; 5,82 ;
6,07 ; 6,11. La médiane vaut donc 4,91 m. Le nombre 7 proposé en A est le \emph{rang} de la
médiane, pas la médiane.\\
\hline
\textbf{5.} & \textbf{C} &
Les longueurs de BUT sont le triple de celles de LAC :
$\dfrac{6{,}3}{2{,}1}=\dfrac{7{,}2}{2{,}4}=\dfrac{7{,}5}{2{,}5}=3$. Le rapport de similitude est
donc $k=3$. Or les aires sont multipliées par $k^{2}$, et $3^{2}=9$.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{20}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres
    premiers. La proposition 1 contient 9, qui n'est pas premier ($9=3\times3$) ; la proposition 2
    contient 21, qui n'est pas premier ($21=3\times7$).

    \conclusion{c'est la \boxed{\text{proposition 3}} :
    $252=2^{2}\times3^{2}\times7$.}

    \item On divise successivement 156 par les nombres premiers :
    \[
    156=2\times78=2\times2\times39=2\times2\times3\times13 .
    \]
    \conclusion{$\boxed{156=2^{2}\times3\times13}$.}
  \end{enumerate}

  \item Pour que les paquets soient identiques et qu'il ne reste aucune carte, le nombre de
  paquets doit diviser à la fois 252 et 156.

  \begin{enumerate}
    \item On teste 36 : $252\div36=7$, ce qui tombe juste, mais $156\div36\approx4{,}33$, ce qui
    ne tombe pas juste. Le nombre 36 ne divise donc pas 156.

    \conclusion{non, elle ne peut pas faire 36 paquets : les cartes «~terre~» ne se
    répartiraient pas également.}

    \item Le nombre maximum de paquets est le \textbf{PGCD} de 252 et de 156. On le lit sur les
    décompositions trouvées à la question 1, en gardant les facteurs communs avec leur plus petit
    exposant :
    \[
    252=2^{2}\times3^{2}\times7,\qquad 156=2^{2}\times3\times13,
    \]
    \[
    \mathrm{PGCD}(252\,;156)=2^{2}\times3=12 .
    \]
    \conclusion{elle peut réaliser au maximum $\boxed{12\ \text{paquets}}$.}

    \item On répartit alors toutes les cartes dans ces 12 paquets :
    \[
    252\div12=21\qquad\text{et}\qquad 156\div12=13 .
    \]
    \conclusion{chaque paquet contient $\boxed{21}$ cartes «~feu~» et $\boxed{13}$ cartes
    «~terre~».}
  \end{enumerate}

  \item La collectionneuse possède en tout $252+156=408$ cartes, dont 156 de type «~terre~». Les
  cartes étant indiscernables au toucher, tous les tirages sont équiprobables :
  \[
  p=\frac{156}{408}=\frac{13}{34}\approx0{,}38 .
  \]
  \conclusion{la probabilité d'obtenir une carte «~terre~» est
  $\boxed{\dfrac{13}{34}}$, soit environ 38 \%.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{20}

\begin{enumerate}
  \item L'aire d'un carré est le produit de son côté par lui-même.

  \conclusion{l'aire du carré est $\boxed{x^{2}}$.}

  \item L'aire du rectangle est le produit de ses deux dimensions, $x-3$ et $x+7$. On développe :
  \[
  (x-3)(x+7)=x^{2}+7x-3x-21=x^{2}+4x-21 .
  \]

  \item On suit le script. La ligne 4 place $x\times x$, c'est-à-dire $x^{2}$, dans la variable R.
  Il reste à obtenir $x^{2}+4x-21$ : il faut donc ajouter $4x$, puis $-21$. Enfin la ligne 7 doit
  afficher le contenu de R.

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
  \begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{9.6cm}|}
  \hline
  \textbf{Ligne} & \textbf{Contenu de la case} & \textbf{Pourquoi}\\
  \hline
  5 & $4$ & la ligne dit « ajouter $\square\times x$ à R » : elle ajoute le terme $4x$.\\
  \hline
  6 & $-21$ & la ligne ajoute le terme constant de $x^{2}+4x-21$.\\
  \hline
  7 & R & c'est la variable qui contient l'aire calculée ; c'est elle qu'on affiche.\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  \item On applique le programme à $x=8$, autrement dit on calcule l'aire du rectangle pour
  $x=8$ :
  \[
  8^{2}+4\times8-21=64+32-21=75 .
  \]
  \conclusion{le programme affiche «~L'aire du rectangle est $\boxed{75}$~».}

  \smallskip
  On peut vérifier directement sur les dimensions : le rectangle mesure alors $8-3=5$ et
  $8+7=15$, et $5\times15=75$.

  \item On cherche $x$ tel que l'aire du rectangle soit égale à l'aire du carré :
  \[
  x^{2}+4x-21=x^{2} .
  \]
  On soustrait $x^{2}$ aux deux membres — c'est ce qui fait disparaître le carré et rend
  l'équation facile :
  \[
  4x-21=0,\qquad 4x=21,\qquad x=\frac{21}{4}=5{,}25 .
  \]
  Cette valeur convient bien, car $5{,}25>3$ comme l'exige l'énoncé.

  \conclusion{il faut choisir $\boxed{x=5{,}25}$. On vérifie : le rectangle mesure alors
  $2{,}25\times12{,}25=27{,}5625$ et le carré $5{,}25^{2}=27{,}5625$.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{20}

\begin{enumerate}
  \item Le robinet laisse tomber une goutte par seconde. On compte le nombre de secondes que
  contient une journée :
  \[
  60\times60\times24=\np{86400}\ \text{secondes}.
  \]
  À raison d'une goutte par seconde, il tombe donc bien \np{86400} gouttes en une journée
  complète.

  \item En une semaine, il tombe $\np{86400}\times7=\np{604800}$ gouttes. Comme 20 gouttes
  représentent 1 mL :
  \[
  \np{604800}\div20=\np{30240}\ \text{mL}.
  \]
  Or $1$ L $=\np{1000}$ mL, donc $\np{30240}$ mL $=30{,}24$ L.

  \conclusion{il tombe $\boxed{30{,}24\ \text{L}}$ d'eau en une semaine.}

  \item La vasque est un cylindre de hauteur intérieure 15 cm et de diamètre intérieur 40 cm, donc
  de rayon $40\div2=20$ cm. D'après la formule rappelée :
  \[
  V=\pi\times20^{2}\times15=\pi\times400\times15=\np{6000}\pi\approx\np{18849}{,}56\ \text{cm}^{3}.
  \]
  Il reste à convertir. Comme $1$ dm$^{3}=\np{1000}$ cm$^{3}$ et que $1$ dm$^{3}=1$ L :
  \[
  \np{18849}{,}56\ \text{cm}^{3}=18{,}84956\ \text{dm}^{3}=18{,}84956\ \text{L}.
  \]
  \conclusion{arrondi au centilitre près, le volume de la vasque est bien
  $\boxed{18{,}85\ \text{L}}$.}

  \item En une semaine il tombe 30,24 L d'eau, alors que la vasque n'en contient que 18,85 L.
  Comme l'évacuation est fermée, rien ne s'écoule. Or :
  \[
  30{,}24>18{,}85 .
  \]
  \conclusion{oui, \textbf{l'eau va déborder}. La vasque est même pleine avant la fin de la
  semaine : elle déborde dès que 18,85 L sont tombés.}

  \smallskip
  On peut préciser quand : il tombe $30{,}24\div7=4{,}32$ L par jour, et
  $18{,}85\div4{,}32\approx4{,}4$ : le débordement commence au cours du cinquième jour.

  \item La consommation passe de 165 L à 148 L par jour. La diminution est de
  $165-148=17$ L. Pour obtenir un pourcentage, on compare cette baisse à la valeur de
  \emph{départ}, c'est-à-dire à 165 :
  \[
  \frac{17}{165}\approx0{,}103=10{,}3\ \% .
  \]
  \conclusion{arrondie à l'unité, la diminution est de $\boxed{10\ \%}$ entre 2004 et 2018.}

  \smallskip
  La valeur de 17 litres par jour donnée pour le \textsc{xix}\up{e} siècle ne sert pas ici : elle
  n'est là que pour situer l'évolution sur le long terme.
\end{enumerate}

\end{document}
