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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
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            -- cycle;
    \end{scope}
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}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Métropole -- Antilles-Guyane, 26 juin 2025}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées~: 7~;~10~;~12~;~15~;~24~;~30 et d'une urne B contenant 9 boules numérotées~: 2~;~5~;~6~;~8~;~17~;~18~;~21~;~22~;~25. Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il y a 4 nombres pairs sur 6 nombres : la probabilité est donc égale à $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
\item Les nombres premiers sont : 2~;~5~;~17 : la probabilité est donc égale à $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
\item Dans l'urne A, $12 = 6 \times 2$, $24 = 6 \times 4$ et $30 = 6 \times 5$ sont des multiples de 6.

Dans l'urne B, $6 = 6 \times 1$ et $18 = 6 \times 3$ sont des multiples de 6.

C'est donc l'urne A qui contient le plus grand nombre de multiples de 6.
\item Dans l'urne A il y a 2 nombres supérieurs ou égaux à 20 : la probabilité est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Dans l'urne B, il y a 3 nombres supérieurs ou égaux à 20 : la probabilité est égale à $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ : les deux probabilités sont égales.
\item Le tirage dans l'urne A a une probabilité de $\dfrac{3}{7}$, celui dans l'urne B aura une probabilité de $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$.

Or $\dfrac{3}{7} \approx 0{,}428$, les probabilités ne sont plus égales.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 23 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : La Course à pied}

\begin{enumerate}
\item On a $\text{AD} = \text{AE} - \text{DE} = 250 - 50 = 200$~(m).

\item Dans le triangle ADC rectangle en A, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

$\text{DC}^2 = \text{DA}^2 + \text{AC}^2 = 200^2 + 480^2 = \np{40000} + \np{230400} = \np{270400} = 520^2$.

Donc $\text{DC} = 520$~(m).

\item
    \begin{enumerate}
        \item Si les droites (CD) et (BE) sont parallèles, les points A, C, B étant alignés dans cet ordre et A, D, E dans cet ordre, on vérifie l'égalité des rapports :

$\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{480}{480 + 120} = \dfrac{480}{600} = \dfrac{4}{5}$ \quad et \quad $\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{200}{250} = \dfrac{4}{5}$.

Ces deux quotients sont égaux : les droites (CD) et (BE) sont donc parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

        \item Dans le triangle ACD rectangle en A :

$\tan \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AC}} = \dfrac{200}{480} = \dfrac{5}{12}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{ACD}} \approx 22{,}6\degres$.

Conclusion : les droites (CD) et (BE) sont parallèles et l'angle $\widehat{\text{ACD}}$ a une mesure supérieure à $20\degres$, donc le parcours sera validé.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : La natation}

\begin{enumerate}
\item Il y a 9 temps rangés dans l'ordre croissant. Comme $\dfrac{9-1}{2} = 4$, le 5\up{e} temps (6~min) partage l'effectif en deux séries de quatre temps : ce temps de 6~min est la médiane de la série.

\item L'élève le plus rapide parcourt 200~m en $5~\text{min}~30~\text{s} = 330~\text{s}$.

Sa vitesse est $\dfrac{200}{330} = \dfrac{20}{33}$~(m/s) soit $\dfrac{20}{33} \times 3600 \approx 2182$~(m/h) $\approx 2{,}2$~(km/h). Le poisson rouge nage plus de deux fois plus vite que l'élève le plus rapide.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 18 points}}

\medskip

\textbf{Question 1}

$8{,}4 = 3 \times 2{,}8$, donc un melon coûte 2,80~\euro{} et 5 melons coûtent $5 \times 2{,}80 = 14$~\euro.

\medskip

\textbf{Question 2}

Une symétrie autour de la droite perpendiculaire au segment reliant les deux points les plus proches, perpendiculaire en son milieu. Réponse~D.

\medskip

\textbf{Question 3}

Augmenter de 20\,\% c'est multiplier par $1{,}20$.

Donc $350 \times 1{,}2 = 420$~\euro.

\medskip

\textbf{Question 4}

En prenant [AB] comme base et [BC] comme hauteur :
\[\dfrac{6 \times 4{,}5}{2} = 13{,}5~\text{cm}^2.\]

\medskip

\textbf{Question 5}

$(2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$.

\medskip

\textbf{Question 6}

Avec la base rectangulaire d'aire $\mathcal{B} = 7 \times 4 = 28~\text{cm}^2$ et la hauteur $h = 12$~cm :
\[V = \dfrac{28 \times 12}{3} = 112~\text{cm}^3.\]

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}}

\medskip

\textbf{Partie A :} Le programme de Zoé

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$\bullet~$Choisir un nombre\\
$\bullet~$Soustraire 4\\
$\bullet~$Multiplier par 2\\
$\bullet~$Ajouter 8.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $10 \longmapsto 6 \longmapsto 12 \longmapsto 20$.
\item De même en partant de $-7$ : $-7 \longmapsto -11 \longmapsto -22 \longmapsto -14$.
\item En partant du nombre $a$ : $a \longmapsto a-4 \longmapsto 2(a-4) = 2a-8 \longmapsto 2a$ : on obtient effectivement le double du nombre de départ.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Le programme de Fred}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item On obtient $x \longmapsto 4x \longmapsto 4x+10 \longmapsto 5(4x+10) = 20x+50$.

\item Il faut trouver $x$ tel que $20x + 50 = 75$, soit $20x = 25$, d'où $x = \dfrac{25}{20} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$.

\item Il faut écrire :
\begin{scratch}\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
    \ovaloperator{\ovalvariable{résultat} - \ovalnum{50}}}
\end{scratch}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 19 points}}

\medskip

Un garage propose 2 options au client :

\begin{itemize}
\item Option \emph{Achat} : prix d'achat \np{22400}~\euro. Assurance obligatoire 75~\euro{} par mois.
\item Option \emph{Location} : 425~\euro{} par mois, assurance comprise.
\end{itemize}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \np{22400}~\euro{} pour l'achat plus $12 \times 75 = 900$~\euro{} d'assurance, soit un total de
\[\np{22400} + 900 = \np{23300}~\text{(\euro)}.\]

\item L'option \emph{Achat} reviendra à $\np{22400} + 36 \times 75 = \np{22400} + \np{2700} = \np{25100}$~\euro.

L'option \emph{Location} reviendra à $36 \times 425 = \np{15300}$~\euro.

Donc sur 36 mois, la location coûte $\np{25100} - \np{15300} = \np{9800}$~\euro{} de moins que l'achat.

\item Dans la cellule il faut écrire \texttt{=425*B1}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\[g(x) = 425x\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Au bout de $x$ mois on aura dépensé \np{22400}~\euro{} et $75x$~\euro{} d'assurance, soit :
\[f(x) = \np{22400} + 75x.\]
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.1cm, y=0.2cm]
  % thin vertical grid (every 2)
  \foreach \n in {0,2,...,130} {\draw[line width=0.2pt,gray!30] (\n,0) -- (\n,45);}
  % bold vertical grid (every 10)
  \foreach \n in {0,10,...,130} {\draw[line width=0.4pt,gray!50] (\n,0) -- (\n,45);}
  % thin horizontal grid (every 1 = every 1000 euros)
  \foreach \n in {0,1,...,45} {\draw[line width=0.2pt,gray!30] (0,\n) -- (130,\n);}
  % bold horizontal grid (every 5 = every 5000 euros)
  \foreach \n in {0,5,...,45} {\draw[line width=0.4pt,gray!50] (0,\n) -- (130,\n);}
  % axes
  \draw[line width=1.25pt,->] (-2,0) -- (131,0);
  \draw[line width=1.25pt,->] (0,-3) -- (0,46);
  % x ticks and labels
  \foreach \n in {10,20,...,130} {
    \draw[line width=0.8pt] (\n,-0.5) -- (\n,0.5);
    \node[below,font=\scriptsize] at (\n,-0.5) {\n};
  }
  % y ticks and labels (rescaled: coord * 1000 = actual value)
  \foreach \n/\lbl in {5/{\np{5000}},10/{\np{10000}},15/{\np{15000}},20/{\np{20000}},25/{\np{25000}},30/{\np{30000}},35/{\np{35000}},40/{\np{40000}},45/{\np{45000}}} {
    \draw[line width=0.8pt] (-1,\n) -- (1,\n);
    \node[left,font=\scriptsize] at (-1,\n) {\lbl};
  }
  % C_g: y = 425x  ->  y/1000 = 0.425*x  (red)
  \draw[red,line width=1.25pt] plot[domain=0:130,samples=50] (\x,{0.425*\x});
  % C_f: y = 75x + 22400  ->  y/1000 = 0.075*x + 22.4  (blue)
  \draw[blue,line width=1.25pt] plot[domain=0:130,samples=50] (\x,{0.075*\x+22.4});
  % curve labels
  \node[blue,above,font=\scriptsize] at (125,32) {$\mathcal{C}_f$};
  \node[red,above,font=\scriptsize] at (95,42) {$\mathcal{C}_g$};
  % dashed arrows from intersection (64 ; 27200) -> rescaled (64 ; 27.2)
  \draw[line width=1.25pt,dashed,->] (64,27.2) -- (64,0);
  \draw[line width=1.25pt,dashed,->] (64,27.2) -- (0,27.2);
  \node[below,font=\scriptsize] at (64,0) {64};
  \node[left,font=\scriptsize] at (0,27.2) {$\approx \np{27000}$};
  % axis labels
  \node[right,font=\small] at (131,0) {durée en mois};
  \node[above,font=\small] at (0,46) {dépense en \euro};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On lit sur le graphique que les deux droites se croisent au point d'abscisse 64 : donc à partir de 65 mois il est préférable, financièrement, de choisir l'option \emph{Achat}.

\medskip

\emph{Remarque} : on peut s'interroger sur la pertinence de cette comparaison entre achat et location :

$\bullet~$ tout d'abord on laisse entendre qu'une voiture louée ne coûte rien en assurance, alors que celle-ci est obligatoire ;

$\bullet~$ la plupart des locations sont proposées sur 3 ou 4 ans ;

$\bullet~$ à la fin de la location, le locataire se retrouve sans véhicule ;

$\bullet~$ la même chose arrive en cas de vol ou d'accident grave du véhicule.

En conclusion il est très difficile de comparer location et achat.

\end{document}
