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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Metropole Secours -- juin 2022}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            -- cycle;
    \end{scope}
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\fancyhf{}
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\fancyhead[C]{%
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}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Metropole Secours, juin 2022}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\setlength\parskip{5pt}


\medskip

%\vspace{0,5cm}
%\framebox[16cm]{
%\begin{minipage}{15cm}
%
%Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la 
%recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.
%\end{minipage}
%}
\vspace{0.75cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 20 points}

\medskip

%Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.\index{Vrai-Faux}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Lors d'une fête foraine, un stand propose de faire tourner une roue pour gagner un lot (porte-clés, ballon ou peluche). Les 8 secteurs angulaires sont de même mesure.\index{probabilité}

\textbf{Affirmation 1 :} La probabilité de l'évènement \og gagner une peluche \fg{} est égale à $\dfrac12$.

\smallskip

Il y a 8 secteurs identiques dont 4 correspondent à \og gagner une peluche \fg{}; donc la probabilité de l'évènement \og gagner une peluche \fg{} est égale à $\dfrac{4}{8}$ soit $\dfrac12$. 

\hfill
\textbf{\blue{}Affirmation 1 vraie}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
{\scriptsize
\begin{pspicture}(-2.8,-2.6)(2.8,3.3)
\pscircle(0,0){2.6}
\multido{\n=0+45}{8}{\psline(2.6;\n)}
\rput(1.6;22.5){Porte-clés}
\rput(1.6;67.5){Peluche}
\rput(1.9;112.5){Porte-clés}
\rput(1.8;157.5){Ballon}
\rput(1.8;202.5){Peluche}
\rput(1.9;247.5){Porte-clés}
\rput(1.6;-22.5){Peluche}
\rput(1.6;-67.5){Peluche}
\pspolygon*(-0.15,3.3)(-0.15,2.9)(-0.2,2.9)(0,2.7)(0.2,2.9)(0.15,2.9)(0.15,3.3)
\end{pspicture}
}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=2]
\item \textbf{Affirmation 2 :} Le triangle ABC ci-dessous est un triangle rectangle.\index{Pythagore}

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,4.3)
\pspolygon(0.6,0.3)(5.1,0.3)(0.6,3.8)%%ACB
\uput[dl](0.6,0.3){A} \uput[ul](0.6,3.8){B} \uput[dr](5.1,0.3){C}
\uput[d](2.85,0.3){6} \uput[l](0.6,2.05){4,5} \uput[ur](2.85,2.05){7,5}
\end{pspicture}
}
\end{center}

$7,5^2=56,25$ et $6^2+4,5^2=36+20,25=56,25$ donc
$\text{BC}^2 = \text{AC}^2 + \text{AB}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

\hfill\textbf{\blue{}Affirmation 2 vraie}

\item Pour son anniversaire, Chloé invite deux de ses amis, Hakim et Manon.

Quand arrive l'heure du gâteau, les trois enfants indiquent:

$\bullet~~$Hakim : \og Je souhaite en manger les $\dfrac37$ \fg{} ;

$\bullet~~$Manon: \og Cela me fait plaisir d'en manger les $\dfrac25$ \fg{} ;

$\bullet~~$Chloé: \og $\dfrac17$ du gâteau me convient parfaitement \fg.

\textbf{Affirmation 3 :}  Les trois amis ont mangé la totalité du gâteau.

$\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{35}+\dfrac{14}{35}+\dfrac{5}{35}=\dfrac{34}{35}\neq 1$

\hfill \textbf{\blue{}Affirmation 3 fausse}

\item \textbf{Affirmation 4 :}
$(2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2) = 10x^2 - 8x - 2$

$(2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2)
= (10x^2 - 8x + 15x -12) - (15x -10)
= 10x^2 +7x -12 - 15x +10\\
\phantom{(2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2)}
= 10x^2 -8x -2$

\hfill  \textbf{\blue{}Affirmation 4 vraie}

\item Les angles d'un triangle DEF sont tels que :

$\bullet~~$ $\widehat{\text{DFE}} = 30\degres$

$\bullet~~$ La mesure de l'angle $\widehat{\text{DEF}}$ est le quadruple de celle de l'angle $\widehat{\text{FDE}}$.

\textbf{Affirmation 5 :} Le triangle DEF est un triangle isocèle.\index{calcul d'angle}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La somme des angles d'un triangle vaut 180\degres;
donc $\widehat{\text{DFE}} + \widehat{\text{DEF}} + \widehat{\text{FDE}} = 180$.

Or $\widehat{\text{DFE}} = 30$ donc $\widehat{\text{DEF}} + \widehat{\text{FDE}} = 150$.

\item La mesure de l'angle $\widehat{\text{DEF}}$ est le quadruple de celle de l'angle $\widehat{\text{FDE}}$ donc $\widehat{\text{DEF}} = 4\widehat{\text{FDE}}$.
\end{list}

On déduit donc que $4\widehat{\text{FDE}} + \widehat{\text{FDE}} = 150$ donc $5\widehat{\text{FDE}} = 150$ et donc $\widehat{\text{FDE}} = 30$.

Le triangle DEF a deux angles de même mesure, 30\degres, donc il est isocèle.

\hfill  \textbf{\blue{}Affirmation 5 vraie}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 20 points}

\medskip

L'artiste français Jean Lurçat a produit dix tapisseries de surfaces différentes, exposées dans la ville d'Angers.
La surface approximative de chacune de ces tapisseries a été saisie dans la feuille de calcul ci-dessous. (source: https://musees.angers.fr)

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}
\hline
 & A & B\\ \hline
1&\textbf{Nom de la tapisserie}			&\textbf{Surface (en m$^2$)}\\ \hline
2&La Grande Menace				&$39,2$\\ \hline
3&L'homme d'Hiroshima			&$12,8$\\ \hline
4&Le Grand charnier				&$32,4$\\ \hline
5&La Fin de tout				&$10,2$\\ \hline
6&L'Homme en gloire dans la paix&$57,5$\\ \hline
7&L'eau et le feu				&$27,2$\\ \hline
8&Champagne						&$30,9$\\ \hline
9&La Conquête de l'espace		&$45,9$\\ \hline
10&La Poésie					&$45,4$\\ \hline
11&Ornamentos sagrados			&$45,4$\\ \hline
12&\textbf{Total}				&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La tapisserie qui  a la surface maximale est \og L'Homme en gloire dans la paix \fg{} ($57,5$ m$^2$).

\item% Vérifier que la surface médiane de ces tapisseries est égale à 35,8~m$^2$.
On range les 10 surfaces en ordre croissant:

\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$10,2$& $12,8$& $27,2$& $30,9$& $\blue 32,4$& $\blue 39,2$& $45,4$& $45,4$& $45,9$& $57,5$\\
\hline
\end{tabularx}

Il y a 10 valeurs donc la médiane est la moyenne arithmétique des 5\ieme{} et 6\ieme{} valeurs donc 

$\dfrac{32,4+39,2}{2}= \dfrac{71,6}{2}=35,8$.

\item Pour calculer la surface totale de ces dix tapisseries, la formule à saisir dans la cellule \texttt{B12} est : \fbox{\texttt{= SOMME(B2 : B11)}} 

%On ne demande pas de justifier.

\item 
$\dfrac{10,2+12,8+27,2+30,9+32,4+39,2+45,4+45,4+45,9+57,5}{10} = \dfrac{346,9}{10} = 34,69$

La surface moyenne de ces tapisseries est de $34,69$ m$^2$.

\item Sara affirme: \og 40\% de ces tapisseries ont une surface supérieure à 45 m$^2$ \fg.

Il y a 4 tapisseries sur 10 qui ont une surface supérieure à 45 m$^2$, soit 40\,\%, donc Sara a raison.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 20 points}

\medskip

Un club de sport propose une nouvelle formule annuelle pour ses adhérents :\\
\og Achat d'une carte d'adhésion à 32~\euro{} donnant droit à un tarif de 4,50~\euro{} par séance \fg.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item $4,50\times 10+32= 77$ donc le coût à payer pour dix séances dans l'année est de 77\,\euro.

\item Noé a un budget annuel de $95$~\euro{} pour se rendre dans cette salle de sport.

Le nombre $n$ de séances que Noé peut effectuer vérifie $4,50n+32=95$ soit $n=\dfrac{95-32}{4,50}=14$.

Avec 95\,\euro, Noé pourra effectuer 14 séances.

\item On note $p$ la fonction qui, au nombre $x$ de séances pratiquées, associe le prix à payer pour $x$ séances pratiquées dans l'année.

	\begin{enumerate}
		\item $p(x) = 4,5x+32$
		\item $p(27) = 4,5\times 27+32 = 121,5+32 = 153,5$
		\item Le coût de 27 séances est de $153,50$\,\euro.
\end{enumerate}

\item On s'intéresse au programme qui permet de donner le prix à payer en fonction du nombre de séances pratiquées dans cette salle de sport.

On complète  les lignes 4 et 5 pour que ce script corresponde au programme souhaité.

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\renewcommand*\numblock[1]{\black #1}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \ovalnum{Choisir un nombre de séances} et attendre}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{nombre de séances} à \ovaloperator{\ovalvariable{réponse}}}
\renewcommand*\numblock[1]{\red $\longrightarrow$ #1}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre de séances}*\ovalnum{$\red 4,50$}}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{$\red 32$}+\ovalvariable{resultat}}}
\renewcommand*\numblock[1]{\black #1}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{le prix à payer est} et \ovalvariable{résultat}} pendant \ovalnum{2} secondes}
\end{scratch}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 18 points}

\medskip

Le Tour de France 2021 est une compétition de cyclisme s'étant déroulée du 26 juin au 18 juillet 2021.
L'étape 5 était un contre-la-montre individuel de $27,2$~km. Le graphique ci-dessous indique le temps effectué par Tadej Pogacar en fonction de la distance parcourue sur son trajet (source : https://www.letour.fr).

%\medskip
%
%On répondra aux questions  à l'aide du graphique.

%On laissera les traits de construction éventuels sur le graphique de l'annexe.

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.2cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-5)(32,43)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(32,43)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,43)}
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,43)}
\multido{\n=0+1}{44}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(32,\n)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(32,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](27.2,32)
\uput[u](27,0){distance (en km)}\uput[r](0,42){durée (en minutes)}
%%% 
{\psset{linestyle=dashed,linewidth=1.3pt,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2}
\psline[linecolor=red](0,20)(17,20)(17,0)\uput[d](17,0){\red\bf 17}
\psline[linecolor=red](27.2,0)(27.2,32)(0,32)\uput[l](0,32){\red\bf 32}}
%%%
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{27.2}{1.4 x mul} \uput[ul](25,35){$\mathcal{D}_f$}
\psdots(0,0)(20,28)
\end{pspicture}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item En 20 minutes,  Tadej POGACAR a parcouru environ 17 kilomètres.

\item Tadej POGACAR a effectué les $27,2$ km du parcours en environ 32 minutes.

\item Le cycliste Bryan Coquard a lui aussi effectué ce contre-la-montre.

Le temps, en minutes, mis par Bryan Coquard pour parcourir la distance $x$, exprimée en km, peut être représenté par la fonction linéaire $f$ d'expression algébrique: $f(x) = 1,4x.$

	\begin{enumerate}
		\item Pour représenter la fonction $f$, on détermine deux points.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c| *{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & $0$ & $20$\\
\hline
$f(x)$ & $0$ & $28$\\
\hline
Point & $(0\,;\,0)$ & $(20\,;\,28)$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La représentation graphique de $f$ est la droite $\mathcal{D}_f$.

		\item Pogacar a mis 32 min, et Coquard plus de 35 min; donc Pogacar  a été classé avant Coquard.
	\end{enumerate}	

\item %Est-il vrai que la vitesse moyenne de Tadej Pogacar sur l'ensemble du parcours est supérieure à $50$ km/h ? Justifier.
Pogacar parcourt 17 kilomètres en 20 minutes, ce qui fait une moyenne, en multipliant par 3, de 51 kilomètres en 60 minutes, soit 51~km/h.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 22 points}

\medskip

La tour de la Vade est un monument de Carcassonne de forme cylindrique.

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%Représentation schématique de la tour de la Vade (sans le toit).
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.38\linewidth} 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-2.3)(1,0.4)
%\psellipse(0,0)(1,0.4)
%\psline(-1,0)(-1,-1.8)\psline(1,0)(1,-1.8)
%\psellipticarc(0,-1.8)(1,0.4){180}{360}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.8)(1,0.4){0}{180}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Afin de déterminer la hauteur de cette tour, Romane et Maël se sont positionnés comme indiqué sur la figure ci-dessous, et ont effectué plusieurs mesures.
 
L'\oe il de Maël est au point M ; le segment [FG] représente Romane.

La figure n'est pas à l'échelle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.3)
\pspolygon(1,0.4)(8.4,0.4)(8.4,3.1)(7.1,3.1)%MCDA
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.1,0.4)(8.4,3.1)
\psline[linewidth=1.5pt](3.3,0.4)(3.3,1.45)%GF
\uput[u](7.1,3.1){A} \uput[d](7.1,0.4){B} \uput[dr](8.4,0.4){C} \uput[u](8.4,3.1){D}
\uput[ul](3.3,1.45){F} \uput[d](3.3,0.4){G} \uput[ul](1,0.4){M}
\uput[d](1,0.4){Maël}\rput{90}(3.5,0.95){\scriptsize Romane}\rput(7.75,1.75){Tour}
\psframe(3.3,0.4)(3.1,0.6)\psframe(7.1,0.4)(6.9,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

Les points M, F et A ainsi que les points M, G et B sont alignés.

Romane et Maël ont mesuré : MG $= 3$~m, FG $= 1,4$ m et GB $= 51$ m.

	\begin{enumerate}
		\item Les droites (FG) et (AB) sont toutes deux perpendiculaires à une même droite (MC), donc elles sont parallèles.
		\item %Vérifier que la hauteur AB de la tour est de $25,2$~m.
$\text{MB} = \text{MG} + \text{GB} = 3+51=54$
		
On applique le théorème de Thalès dans les triangles MGF et MBA:

$\dfrac{\text{MG}}{\text{MB}}  = \dfrac{\text{FG}}{\text{AB}}$ donc
$\dfrac{3}{54}  = \dfrac{1,4}{\text{AB}}$ et donc
$\text{AB} = \dfrac{54\times 1,4}{3}= 25,2$

La hauteur AB de la tour est donc de $25,2$~m.
		
		
	\end{enumerate}	
\item La tour de la Vade a une base circulaire de diamètre proche de $14$~m donc son rayon est d'environ $R= 7$~m.

Volume d'un cylindre $= \text{aire de la base} \times  \text{hauteur}$ donc
$V=\pi\times R^2\times \text{AB} = \pi\times 7^2\times 25,2 \approx \np{3879,24}$

Donc son volume est d'environ \np{3880}~m$^3$.

\item Romane a acheté une maquette de cette tour à l'échelle $\dfrac{1}{20}$.

Chaque longueur est divisée par 20, donc le volume est divisé par $20\times 20\times 20=\np{8000}$.

$\dfrac{\np{3880}}{\np{8000}}=0,485$

Le volume de cette maquette, réduction de la tour de la Vade, est donc de $0,485$~m$^3$.

\item La tour doit être entretenue ; il faut passer un traitement contre la moisissure sur toute sa surface. Le coût du traitement est de $39$~\euro{} par m$^2$.

La surface latérale est un rectangle de longueur $2\pi R = 2\times \pi \times 7 \approx 44$ et de largeur $25,2$; son aire est de $44\times 25,2$ soit environ \np{1109}~m$^2$.

$39\times \np{1109}= \np{43251}$ donc  le traitement de la tour va coûter \np{43251}~\euro.

\textbf{\emph{Remarque du correcteur}}

Le sujet ne précise pas si la tour est fermée en haut; si c'est le cas, il faut prendre en compte le disque supérieur.

\begin{list}{\textbullet}{Calculs des aires}
\item Aire du toit

Le toit est un disque de rayon $R=7$~m donc son aire vaut $\pi R^2$ soit environ 154~m$^2$.

\item Surface latérale

La surface latérale est un rectangle de longueur $2\pi R = 2\times \pi \times 7 \approx 44$ et de largeur $25,2$; son aire est de $44\times 25,2$ soit environ \np{1109}~m$^2$.

\item Aire totale

$154+\np{1109}=\np{1263}$ donc l'aire totale à traiter est de \np{1263}~m$^2$.

\end{list}

$39\times \np{1263}= \np{49257}$ donc  le traitement de la tour va coûter \np{49257}~\euro.

%On rappelle que :
%
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%Aire latérale d'un cylindre $= 2 \times \pi \times \text{rayon} \times \text{hauteur}$\\
%Volume d'un cylindre $= \text{aire de la base} \times  \text{hauteur}$\\ \hline
%\end{tabular}
\end{enumerate}

\end{document}
