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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
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            (0,-0.10)
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, septembre 2010}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Aucune justification n'est demandée.
% 
%Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
%
%Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
% 
%Recopier le numéro de chaque question et la réponse exacte correspondante.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{2}$  est \'egal \`a&$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$ \dfrac{1}{8}$ \\ \hline
%2&L'écriture scientifique de \np{0,0000549} est &5,49& $549 \times 10^7$& 
%$5,49 \times 10^{-5}$\\ \hline 
%3&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\left(5\sqrt{2}\right)^2$ est égal à& 10 &50 &100\\ \hline 
%4&Une voiture parcourt 230~km en 2~h~30~min. Sa vitesse moyenne est&
%100 km/h &60 km/h &92 km/h\\ \hline 
%5& $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. L'image de $- 3$ par $f$ est&36& 
%$- 36$ &$-6$\\ \hline
%\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{1}{8}$.
\item $\np{0,0000549} = 5,49 \times 10^{-5}$.
\item $\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 5^2 \times \left(\sqrt{2} \right)^2 = 25 \times 2 = 50$.
\item 230km en 150 min soit 23 km en 15 min (table de 10), donc 92 km en 60 min  ou 1 h (table de 4).
\item $f(- 3) = 2 \times (- 3)^2 - 5 \times (- 3) + 3 = 18 + 15 + 3 = 36$.
\end{enumerate}

\medskip 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

%\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(9,2)
%\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](0,0)(1,2)
%\uput[u](3.6,1){234~\euro}
%\psframe[fillstyle=vlines](1,0)(2,1)
%\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](2,0)(3,2)
%\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,1)
%\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](5,0)(6,2)
%\psframe[fillstyle=vlines](6,0)(7,1)
%\psframe[fillstyle=vlines](7,0)(8,1)
%\psframe[fillstyle=vlines](8,0)(9,1)
%\uput[u](7.5,1){162~\euro}
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.33\linewidth}{Deux compositions de meubles sont exposées en magasin, la première au prix de 234~\euro{} et la deuxième au prix de 162~\euro.}
%
%\medskip 
% 
%Quel est le prix de la composition ci-dessous ? Expliquer la démarche suivie. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,2)
%\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](0,0)(1,2)
%\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](1,0)(2,2)
%\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](2,0)(3,2)
%\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,1)
%\psframe[fillstyle=vlines](4,0)(5,1)
%\end{pspicture}
%\end{center} 
Par exemple : de la première composition on peut déduire qu'un rectangle et un carré valent 117~\euro.

En retranchant cette composition de la deuxième on en déduit que 2 carrés valent : $162 - 117 = 45$~\euro. Un meuble carré coute donc 22,50~\euro.

Le meuble rectangle vaut donc $117 - 22,50 = 94,50$~\euro.

Conclusion : deux rectangles et trois carrés valent :

$3 \times 94,50 + 2\times 22,50 = 328,50$~\euro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|p{7cm}}\cline{1-2} 
%
%A& B&On a calculé, en colonne B, les valeurs prises\\ \cline{1-2}
%$x$& $x^2 + x - 2$& par l'expression $x^2 + x - 2$ pour\\ \cline{1-2} 
%$-5$& 18&  les valeurs de $x$ inscrites en colonne A.\\ \cline{1-2} 
%$-4,5$ &13,75& \\ \cline{1-2}
%$-4$ &10& \\ \cline{1-2}
%$-3,5$ &6,75&On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x$ :\\ \cline{1-2} 
%$-3$ &4& \\ \cline{1-2}
%$-2,5$ &1,75 &\multicolumn{1}{c}{$x^2 + x - 2 = 4$}\\ \cline{1-2}
%$-2$ &0 &\\ \cline{1-2}
%$-1,5$ &$-1,25$ &\\ \cline{1-2}
%$-1$ &$-2$& \textbf{1.} Margot dit que le nombre 2 est solution.\\ \cline{1-2}
%$-0,5$ &$-2,25$ &\\ \cline{1-2}
%0 &-2 & A-t-elle raison? Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
%0,5 &$-1,25$&\\ \cline{1-2}
%1 &0 & \textbf{2.} Léo pense que le nombre 18 est solution.\\ \cline{1-2}
%1,5 &1,75& \\ \cline{1-2}
%2 &4&  A-t-il raison ? Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
%2,5 &6,75&\\ \cline{1-2} 
%3 &10&   \textbf{3.} Peut-on trouver une autre solution ?\\ \cline{1-2}
%3,5 &13,75& \\ \cline{1-2}
%4 &18& Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
%4,5 &22,75& \\ \cline{1-2} 
%5 &28&\\ \cline{1-2}
%\end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item Margot a raison : le tableur donne $f(2) = 4$ ; de plus $f(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 + 0 = 4$.
\item 18 n'est pas dans la colonne de gauche ; calculons :

$f(18) = 18^2 + 18 - 2 = 340$ Léo a tort.
\item On voit sur le tableau que $f(- 3) = 4$ ; de plus $f(- 3) = (- 3)^2 + (- 3) - 2 = 9 - 5 = 4$, donc $- 3$ est une autre solution de l'équation.
\end{enumerate}

 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\pspolygon(5,0.5)(0.6,0.5)(6.7,5.2)(5,5.2)%ABEDA
%\psframe(5,5.2)(5.2,5)
%\uput[d](5,0.5){A} \uput[d](0.6,0.5){B} \uput[dr](5,4.){C} \uput[u](5,5.2){D} \uput[u](6.7,5.2){E}
%\uput[l](5,4.6){10}\uput[dr](5.8,4.5){14}
%\uput[ul](3.2,2.6){42}\uput[r](5,2.5){30} 
%\end{pspicture}} \hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{Les droites (AD) et (BE) se coupent en C.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles. 
%\item En déduire que le triangle ABC est rectangle.
%\end{enumerate}}
\begin{enumerate}
\item On a $\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$ et 
$\dfrac{\text{CE}}{\text{CB}} = \dfrac{14}{42} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$.

On a donc $\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CB}}$ ce qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
\item (DE) et (AB) sont parallèles ; or (DE) est perpendiculaire à (AD), donc (AB) et (AD) sont perpendiculaires : le triangle ABC est rectangle en A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(9,7)
%\pspolygon(0,0)(5.85,0)(8.7,2.6)(4.4,6.7)%DABS
%\uput[d](0,0){D} \uput[d](5.85,0){A} \uput[ur](8.7,2.6){B} \uput[u](4.4,6.7){S} 
%\psline(4.4,6.7)(5.85,0)%SA
%\uput[ul](2.9,2.6){C}\uput[d](4.4,1.3){H}
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](4.4,6.7)(2.9,2.6)(0,0)(8.7,2.6)(2.9,2.6)(5.85,0)%SCDBCA
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](4.4,6.7)(4.4,1.3)%SH
%\end{pspicture}} \hfill 
%\parbox{0.38\linewidth}{Un fabricant de cheminées contemporaines propose une cheminée pyramidale de base le carré ABCD, de côté 120 cm.
% 
%H est le centre du carré.
% 
%La hauteur [SH] de la pyramide mesure 80 cm.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le fabricant place sous la cheminée une plaque de fonte. Cette plaque a la forme d'un pavé droit de base ABCD et d'épaisseur 1~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que son volume est \np{14400}~cm$^3$.
Le volume est égal à $120 \times 120 \times 1 = \np{14400}$~cm$^3$. 
		\item %La masse volumique de la fonte est 6,8~g/cm$^3$. Quelle est la masse de cette plaque de fonte ?
La masse est égale à $\np{14400} \times 6,8 = \np{97920}$~g soit 97,92~kg.  
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, on ne demande aucune justification géométrique.
 
%On désigne par I le milieu du segment [AB]. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Dessiner à l'échelle $\dfrac{1}{10}$ le triangle SHI puis le triangle SAB représentant une des faces latérales  de la pyramide.
On a HI = 6~cm.

Le triangle SHI est rectangle en H ; d'après le théorème dePythagore :

$\text{SI}^2 = \text{SH}^2 + \text{HI}^2 = 80^2 + 60^2 = \np{6400} + \np{3600} = \np{10000} = 100^2$, donc 

SI $ = 100$~cm.

La pyramide est supposée régulière (ce qui n'est pas précisé dans l'énoncé) ; on a donc SA = SB, donc le triangle SAB est isocèle.
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(7,9)
\pspolygon(0.5,0.5)(6.5,0.5)(0.5,8.5)%HIS
\uput[u](0.5,8.5){S} \uput[dl](0.5,0.5){H} \uput[dr](6.5,0.5){I} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(13,11)
\pspolygon(0.5,0.5)(12.5,0.5)(6.5,10.5)%ABS
\uput[u](6.5,10.5){S} \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](12.5,0.5){B}\uput[d](6.5,0.5){I}
\psline(6.5,10.5)(6.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Ces faces latérales sont en verre. Quelle est l'aire totale de la surface de verre de cette cheminée ?
L'aire d'une face est égale à $\dfrac{120 \times 100}{2} = \np{6000}$~cm$^2$.

Donc l'aire des quatre faces est égale à $4 \times \np{6000} = \np{24000}$~cm$^2$ ou 24~dm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm} 

%Une commune étudie l'implantation d'une éolienne dans le but de produire de l'électricité.

%\bigskip
 
\textbf{Partie 1 : Courbe de puissance d'une éolienne}

%\medskip 
%
%La puissance fournie par l'éolienne dépend de la vitesse du vent.
%
%Lorsque la vitesse du vent est trop faible, l'éolienne ne fonctionne pas.
% 
%Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité, on arrête volontairement son fonctionnement. 

%\medskip
%
%Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent en m/s. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.015cm}
%\begin{pspicture}(-1,0)(26,650)
%\psaxes[linewidth=0pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(25,600)
%\psline(0,0)(26,0)
%\multido{\n=0+100}{7}{\psline(0,\n)(26,\n)}
%\uput[l](1,650){kW}\uput[d](26.5,0){m/s}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](4,0)(5,20)(7.8,100)(9.5,200)(10.8,300)(12,400)(13,500)(14.8,600)(16,615)(17,620)(19.5,615)(21,600)(26,575)
%\uput[d](13,-50){Source : www.WINDPOWER.org}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\vspace{0.75cm} 

\begin{enumerate}
\item %Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle vitesse le vent doit-il atteindre pour que l'éolienne fonctionne ?
Il faut un vent au minimum de 4~m/s. 
		\item %Indiquer une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l'éolienne est au moins 200~kW. 
La puissance dépasse 200~kW pour une vitesse d'au moins 10~m/s.
		\item %La puissance fournie par cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? Justifier la réponse.
Il n'y a pas proportionnalité car sinon la représentation graphique serait une droite contenant l'origine. Ce n'est pas le cas.
	\end{enumerate} 
\item  %On arrête l'éolienne lorsque le vent souffle à plus de 25 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h.
25~m en 1~s ou $60 \times 25 = \np{1500}$~m en 60~s ou 1~min ou encore $60 \times  \np{1500} = \np{90000}$~m en 60 min ou 90~km en une heure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2 : Étude de la vitesse du vent}

\medskip
 
%On a relevé la vitesse du vent en m/s toutes les minutes pendant une année de 365 jours.
% 
%Le nombre de relevés étant trop important, la série est présentée par les éléments suivants :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%minimum& 1\up{er} quartile& médiane &3\up{e} quartile& maximum\\ \hline 
%0 m/s& 4 m/s &6,2 m/s& 14,6 m/s& 28,4 m/s\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pendant combien de temps peut-on estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2~ m/s durant l'année ?
Le vent a soufflé à moins de 6,2~ m/s durant $\dfrac{365}{2} = 182,5$ soit à peu près 182 jours. 
\item %Expliquer pourquoi on peut considérer que l'éolienne n'a pu fonctionner faute de vent suffisant pendant une durée totale de trois mois.
Le vent a soufflé à moins de 4~m/s pendant 25\,\% de l'année soit $\dfrac{365}{4} = 91,25$ soit environ 90 jours ou à peu près trois mois. 
\item  %Combien la série contient-elle de relevés ?
En une année il y a $365 \times 24 \times 60$~minutes soit \np{525600}~min donc  \np{525600}~relevés.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie 3 : Puissance et longueur de pales}

\medskip

%\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(2.8,5)
%\pspolygon*(1.3,0)(1.5,0)(1.45,2.75)(1.35,2.75)
%\pscircle[linestyle=dashed](1.4,2.8){1.45}
%\psellipse*(2.2,2.8)(0.65,0.1)
%\rput{120}(1.0,3.5){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
%\rput{240}(1.0,2.15){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
%\rput(2,4.5){Pale} \psline{->}(2,4.4)(1.1,3.5)\rput(0.5,2.4){44 m}
%\pscircle(1.4,2.85){0.15}
%\end{pspicture}
%} 
%\hfill
%\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=1.221cm}
%\begin{pspicture}(2.8,4.5)
%\pspolygon*(1.3,0)(1.5,0)(1.45,2.75)(1.35,2.75)
%\pscircle[linestyle=dashed](1.4,2.8){1.45}
%\psellipse*(2.2,2.8)(0.65,0.1)
%\rput{120}(1.0,3.5){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
%\rput{240}(1.0,2.15){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
%\rput(0.5,2.4){66 m}
%\pscircle(1.4,2.85){0.15}
%\end{pspicture}
%}\hfill
%\parbox{0.35\linewidth}{Les trois pales d'une éolienne décrivent un disque en tournant. 
%
%On considère que la longueur des pales est le rayon de ce disque. }
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'aire de ce disque avec des pales de 44~m.
On a $\mathcal{A}_{44} = \pi \times 44^2 = \np{1936}\pi$~m$^2$. 
		\item %Même question avec des pales de 66~m.
De même $\mathcal{A}_{66} = \pi \times 66^2 = \np{4356}\pi$~m$^2$.
	\end{enumerate} 
\item %On admet que la puissance de l'éolienne est proportionnelle à l'aire du disque décrit par les pales. 

%Par quel nombre va-t-on multiplier la puissance fournie si on utilise des pales de 66~m au lieu de 44~m ? 
On a $\dfrac{66}{44} = \dfrac{6\times 11}{4 \times 11} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.

Comme le rayon intervient deux fois dans le calcul de l'aire, en passant d'un rayon de 44~m à un rayon de 66~m, l'aire (donc la puissance) va être multipliée par $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} = 2,25$.

En prenant un rayon 1,5 fois plus grand la puissance est multipliée par $1,5^2 = 2,25$.
\end{enumerate}

\end{document}
