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% -------- PARAMÈTRES --------
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                    line cap=round,line join=round]
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, septembre 2012}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm} 

\textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip

%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip 

%\parbox{0.4\linewidth}{Voici les réponses proposées par un élève à un exercice. Pour chacune de ces réponses, expliquer pourquoi elle est exacte ou inexacte.}\hfill  
%\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
%\item $2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{3}$
%\item $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 5$
%\item Le PGCD de 52 et 39 est 13
%\item Pour $b = \dfrac{1}{2}$,\:$4b^2 + 1 = 2$
%\item Vrai ou faux ?
%
%Pour toute valeur de $b$, \: $4b^2 + 1 = 2$\quad Vrai
%\end{enumerate}
%} 
\begin{enumerate}
\item $2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{10}{3}$. Réponse fausse.
\item $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$. Réponse fausse.
\item $52 = 13 \times4$ ; $39 = 13 \times 3$ et 4 et 3 sont premiers entre eux. Réponse exacte.
\item $4b^2 + 1 = 4\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 1 = 4 \times \dfrac{1}{4}+ 1 = 1 + 1 = 2$. Réponse exacte.
\item Si $b = 0$, alors $4b^2 + 1 = 1$. Énoncé faux.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

%Un cybercafé est ouvert depuis une semaine. Dans ce cybercafé, on peut choisir entre deux moteurs de recherche : Youpi et Hourra. Le tableau ci-dessous donne les moteurs de recherche utilisés par les $992$ premiers utilisateurs lors de la semaine d'ouverture.
%
%\begin{center}
% 
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Nombre d'utilisateurs	&Moteur Youpi	&Moteur Hourra\\ \hline
%992 					&789 			&203\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
% 
%La probabilité pour qu'un utilisateur pris au hasard dans ce cybercafé choisisse le moteur Youpi est-elle proche de $0,4$ ; de $0,6$ ou de $0,8$ ? 
La probabilité pour qu'un utilisateur pris au hasard dans ce cybercafé choisisse le moteur Youpi est égale à $\dfrac{789}{992} = \approx 0,795$. Elle donc proche de 0,8.
\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip 

%La copie d'écran ci-dessous montre le travail qu'a effectué Camille à l'aide d'un tableur à propos des fonctions $g$ et $h$ définies par : 
%
%\[g(x) = 5x^2 + x - 7 \quad  \text{et}\quad  h(x) = 2x - 7.\]
% 
%Elle a recopié vers la droite les formules qu'elle avait saisies dans les cellules B2 et B3. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{3}{|c|}{B2}	&\multicolumn{4}{|l|}{=$5*$B1$*$B1+B1$-$7}\\ \hline
%		&A	&B	&C	&D	&E	&F\\ \hline
%1		&$x$					&$- 2$	&$- 1$&0	&1		&2\\ \hline
%2		&$g(x) = 5x^2 + x - 7$	&11		&$- 3$&$- 7$&$- 1$	&15\\ \hline
%3		&$h(x)=2x-7$			&$- 11$	&$- 9$&$- 7$&$- 5$	&$- 3$\\ \hline
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner un nombre qui a pour image $-1$ par la fonction $g$.
D'après le tableur $g(1) = - 1$. (Effectivement : $g(1) = 5 \times 1 + 1 - 7 = 6 - 7 = - 1$). 
\item %Écrire les calculs montrant que: $g(- 2) = 11$.
$g(- 2) = 5 \times (- 2)^2 - 2 - 7 = 5 \times 4 - 9 = 20 - 9 = 11$. 
\item %Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
=$5*$B1$*$B1+B1$-$7 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déduire du tableau une solution de l'équation $5x^2 + x - 7 = 2x -7$.
D'après le tableur $g(0) = h(0) = - 7$. Donc $0$ est une solution de l'ésuztion. 
		\item %Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?
		Soit l'équation $5x^2 + x - 7 = 2x - 7$ ou $5x^2 - x = 0$ ou encore $x(5x - 1) = 0$ d'où $x = 0$ ou $5x - 1 = 0$ et enfin $x = \dfrac{1}{5} = 0,2$. Il y a bien une autre solution. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points}

\medskip
 
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}
%
%\medskip
%
\textbf{Exercice 1 :}
%
%\medskip 
%
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,6)
%\psline(0,0)(6,6) \psline(0,6)(6,0)
%\psline(0,1.2)(6,0.2)\psline(0,5.8)(6,4.8)
%\rput{-8}(3,0.4){3,5~cm}\rput{44}(2,2.2){1,5~cm}
%\rput{44}(4.3,4.){2,1~cm}\rput{-46}(1.4,4.2){3,2~cm}
%\uput[u](3,3){A} \uput[ur](0.2,5.75){B} \uput[ul](4.95,5){C} \uput[dr](1,1){D} \uput[ur](5.8,0.2){E} 
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{Dans la figure ci-contre, qui n'est pas à l'échelle, on sait que :
% 
%(BC) // (DE)
% 
%B, A et E sont alignés 
%
%C, A et D sont alignés.}
%
%\medskip
% 
%Démontrer que la longueur du segment [BC] est 4,9~cm.
 
Les conditions d'application du théorème de Thalès sont remplies, d'où :

$\dfrac{\text{BA}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{CA}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}$. On a donc :

$\dfrac{\text{3,2}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{2,1}}{\text{1,5}} = \dfrac{\text{BC}}{3,5}$. De la dernière égalité on en déduit que $2,1 \times 3,5 = 1,5\text{BC}$, soit BC $ = \dfrac{2,1 \times 3,5}{1,5} =  \dfrac{3 \times 0,7 \times 5 \times 0,7}{3 \times 5 \times 0,1} = \dfrac{0,49}{0,1} = 4,9$.~(cm).

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip 

%\parbox{0.45\linewidth}{JGIH est un parallélogramme,
%
%$\widehat{\text{JGI}} = 110$\degres et $\widehat{\text{GIJ}} = 30$\degres. 
% 
%Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{JIH}}$.}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5.5,4.4)
%%\psgrid
%\psarc(0.7,4){4mm}{-102}{0}\psarc(5.3,4){4mm}{180}{213}\psarc(5.3,4){3mm}{213}{256}
%\pspolygon(0.2,0.2)(4.8,0.2)(5.3,4)(0.7,4)
%\psline(0.2,0.2)(5.3,4)
%\uput[l](0.2,0.2){J}\uput[ul](0.7,4){G}\uput[ur](5.3,4){I}\uput[r](4.8,0.2){H}\uput[dr](0.85,3.7){110\degres}\uput[ul](5.,3.6){30\degres}\uput[dl](5.2,3.7){?}
%\end{pspicture}} 
JGIH est un parallélogramme donc (IH) et (GJ) sont parallèles, donc $\widehat{\text{HIJ}} = \widehat{\text{IJG}}$ (angles alternes-internes).

Or dans le triangle IJG, on a $\widehat{\text{IJG}} = 180 - (110 + 30) = 180 - 140 = 40$\degres.
\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip
  
%\parbox{0.4\linewidth}{On veut réaliser un tipi qui aura la forme d'une pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [SH] (voir le schéma ci-contre).
% 
%Le tipi aura les dimensions suivantes : 
%
%AD = 1,60 m, CD = 1,20 m et 
%
%SH = 2,40 m.}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,6)
%\pspolygon(0,0)(4.8,0)(6.8,1.55)(3.4,5.1)
%\uput[l](0,0){A} \uput[dr](4.8,0){D} \uput[ur](6.8,1.55){C} \uput[u](3.4,5.1){S}
%\psline(0,0)(1.95,1.55)(4.4,1.55)
%\psline[linestyle=dashed](4.4,1.55)(6.8,1.55)
%\psline(1.3,2)(4.25,2)
%\uput[l](1.3,2){E}\uput[ul](2,1.55){B}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,2)(3.4,5.1)(6.8,1.55)(4.8,0)(4.25,2)(1.3,2)
%\psline[linestyle=dashed](1.95,1.55)(3.4,5.1)(3.4,1.55)
%\psline[linestyle=dashed](4.4,1.55)(6.8,1.55)
%\psline(4.25,2)(3.4,5.1)
%\uput[r](4.25,2){F}
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item %Calculer le volume $V$ de cette pyramide, en m$^3$.
 	 
%On rappelle que $V = B \times h$ où $h$ désigne la hauteur et $B$ l'aire de la base. 
Aire de la base : $1,6 \times 1,2 = 1,92$~m$^2$.

Donc $V = \dfrac{1,95 \times 2,4}{3} = 1,95 \times 0,8 = 1,56$~m$^3$.
\item %Calculer la longueur BD.

[BD] est la diagonale du rectangle ABCD ; en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BAD :

BD$^2 = \text{BA}^2 + \text{AD}^2 = 1,6^2 + 1,2^2 = 4 = 2^2$, donc BD = 2~m.
\item %L'armature du tipi, constituée du cadre rectangulaire ABCD et des quatre arêtes latérales issues de S, est faite de baguettes de bambou.
 
%Dans cette question on n'attend pas de démonstration rédigée. Citer une propriété et présenter clairement un calcul suffit. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que : SD = 2,60~m.
Le triangle SHD est rectangle en H et H centre du rectangle est le milieu de [BD], donc HD = 1~(m).
		
Le théorème de Pythagore dans SHD donne :
		
SD$^2 = \text{SH}^2 + \text{HD}^2 = 2,4^2 + 1^2 = 5,76 + 1 = 6,76 = 2,6^2$, donc SD = 2,60~(m). 
		\item %On ajoute à l'armature une baguette [EF] comme indiqué sur le dessin de sorte que (EF) // (AD) et SF = 1,95 m.
		 
%Calculer EF.
On a (EF) parallèle à (AD) ; S, E, A d'une part, S, F, D de l'autre alignés dans cet ordre : les conditions d'application du théorème de Thal§s sont réunies ; on peut donc écrire :

$\dfrac{\text{SF}}{\text{SD}}  = \dfrac{\text{EF}}{\text{AD}}$, soit $\dfrac{1,95}{2,6}  = \dfrac{\text{EF}}{1,6}$, d'où EF $ = 1,6 \times \dfrac{1,95}{2,6} = 1,20$~(m).
	\end{enumerate} 
\item %On a trouvé dans un magasin des tiges de bambou de 3~m. Une tige peut être coupée pour obtenir deux baguettes mais une baguette ne peut être fabriquée par collage de deux morceaux de bambou.
 
%Combien faut-il acheter de tiges de bambou, au minimum, pour réaliser les neuf baguettes de l'armature du tipi ?
Pour les côtés [AD] et [BC] du rectangle il faut deux baguettes.

Pour les arêtes de la pyramide il faut quatre baguettes.

Pour les deux côtés du rectangle [AB] et [CD] une baguette suffit (on peut la couper en deux).

Pour [EF] il faut une baguette soit en tout 8 baguettes. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\large  Problème \hfill 12 points}

\medskip

%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}
%
%\medskip
% 
%Rémi s'est inscrit à son premier triathlon \og distance olympique \fg.
% 
%Il devra effectuer : 1,5 km de natation, puis 40 km de cyclisme, puis 10 km de course à pied. 
%
%Il a reçu les informations suivantes.
% 
%Les deux schémas ne sont pas à l'échelle.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|} \hline
%\parbox{0.12\linewidth}{\textbf{Natation}}\hfill
%\parbox{0.43\linewidth}{Partir du point D, rejoindre la bouée A à 250 m du départ, la contourner à 900 sur la gauche, aller jusqu'à la bouée B, la contourner encore à gauche et rejoindre le point de départ D qui est à 650 m de la bouée B.}\hfill
%\parbox{0.41\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.5,3)
%\pspolygon(0.4,2.5)(4.2,2.5)(4.2,0.3)
%\uput[u](0.4,2.5){B} \uput[ur](4.2,2.5){A} \uput[dr](4.2,0.3){D}
%\psline{->}(4.4,1)(4.4,2)\psline{->}(3.4,2.6)(1.8,2.6)\psline{->}(1.6,1.6)(2.7,0.97)
%\rput{90}(4.6,1.5){250~m}\rput(2.6,2.8){500~m}\rput{-28}(2.1,1.05){650~m} 
%\end{pspicture}}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
%\parbox{0.12\linewidth}{\textbf{Cyclisme}}\hfill 
%\parbox{0.43\linewidth}{Départ au point P au pied du col, montée régulière de 20 km jusqu'au sommet S du col avec un dénivelé de 800 m, puis descente par la même route et retour au point P.}
%\hfill 
%\parbox{0.43\linewidth}{
%\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(5.5,2)
%\psline(0.4,0.4)(4.1,1.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(4.1,0.4)(4.1,1.5)
%\psframe(3.9,0.4)(4.1,0.6)
%\uput[u](0.4,0.4){P} \uput[dr](4.1,0.4){H} \uput[ur](4.1,1.5){S}
%\psline{<->}(4.3,0.4)(4.3,1.5)
%\rput(5,1.2){\footnotesize 800~m de}\rput(5,0.8){\footnotesize dénivelé}
%\rput{15}(2.1,1.2){20~km} 
%\end{pspicture}}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip 
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|} \hline
%\textbf{Course à pied}&Circuit de 5 km à parcourir 2 fois.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : Préparation du triathlon}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Partie natation
 
%Rémi prévoit de parcourir 1~km toutes les 20~minutes. 
%Expliquer pourquoi, s'il nage régulièrement, il devrait mettre 30minutes pour la partie natation.
Remi doit parcourir à la nage $250 + 600 + 650 = \np{1500}$~(m).

Il fait en moyenne 1 km en 20 minutes soit 100 m en 2 minutes.

Il lui faut donc : $15 \times 2 = 30$~min. 
\item Partie cyclisme 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier par un calcul que la valeur arrondie au mètre près de PH est 19 984 mètres.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle SPH rectangle en H donne :
		
SP$^2 = \text{SH}^2 + \text{HP}^2$, soit  $\text{HP}^2 = \text{SP}^2 - \text{SH}^2 = 20^2 - 0,8^2 = 399,36$, d'où $\text{HP} \approx 19,984$~(km) soit \np{19984}~(m).
		\item %Rémi sait qu'avec une telle pente il peut prévoir 1 h 30 min pour cette partie du triathlon.
		
%\begin{tabular}{|m{5.cm}| c|}\hline 
%La pente moyenne $p$ d'une route est un pourcentage qui se calcule de la façon suivante : 

%\[p = \dfrac{d}{t} \times 100\]
%
% où $d$ et $l$ sont exprimées dans la même unité.&
%\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(5.8,2.5)
%\psline(0.4,0.4)(4.1,1.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(4.1,0.4)(4.1,1.5)
%\psframe(3.9,0.4)(4.1,0.6)
%\psline{<->}(4.3,0.4)(4.3,1.5)
%\rput(5.1,1.){\footnotesize $d$ (dénivelé)}\rput(2.3,0.2){\footnotesize $l$ longueur horizontale}
%\rput{14}(2.1,1.1){route}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabular}
% 
%Calculer la pente moyenne du col que doit escalader Rémi. 
$p = \dfrac{0,8}{19,984}\times 100 \approx 4,0032$ soit à peu près 4\,\%.
	\end{enumerate} 
\item Partie course à pied
 
%Pour la dernière partie de son triathlon, Rémi prévoit de mettre 20~minutes pour chacun des deux tours du circuit de 5~km.
% 
%Déterminer en km/h sa vitesse moyenne pour la course à pied s'il respecte ses prévisions.
%\item Totalité du triathlon
Remi mettra $2 \times 20 = 40$~min pour faire les 10~km, soit une vitesse de $\dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4} = 0,25$~km/min soit $60 \times 0,25 = 15$~km/h.  
%Remplir le tableau récapitulatif figurant en ANNEXE  (\emph{les temps seront donnés en heures et minutes}).
Voir le tableau à la fin.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Après le triathlon}

\medskip
 
%Pendant la course, Rémi portait à la cheville une puce électronique qui a enregistré ses différents temps de passage.
% 
%Le soir même il a reçu par internet ses résultats. Ceux-ci sont présentés sous la forme d'un graphique (voir en ANNEXE) où figurent trois points R$_{1}$ (\emph{fin de la natation}), R$_{2}$ (\emph{fin du cyclisme}) et R$_{3}$ (\emph{fin du triathlon}) qui décomposent son parcours en trois parties.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Marquer sur le graphique en ANNEXE les trois points correspondant à ce qu'il avait prévu de réaliser.
Voir le graphique 
\item Dans cette question aucune justification n'est attendue. 
	\begin{enumerate}
		\item %Rémi a-t-il respecté ses prévisions au niveau du temps total ? 
Non il a mis 30 min de plus.
		\item %Sur quelle(s) partie(s) du parcours a-t-il fait mieux que prévu ? 
		Il a fait mieux que prévu sur la partie  cyclisme 1 h 25 min au lieu de 1 h 30 min. 
	\end{enumerate}
\item %Au cours du deuxième tour à pied Rémi a failli abandonner et il a fini son triathlon très affaibli, déshydraté par la chaleur. Alors qu'il pesait 75~kg avant la course il ne pesait plus que 71~kg à l'arrivée.

\medskip
 
%\parbox{0.4\linewidth}{En cherchant des explications à sa défaillance, il a trouvé le tableau ci-contre.}\hfill
%\parbox{0.59\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
%Perte de poids en \,\%&Effet sur la performance\\ \hline 
%Jusqu'à 2\,\%& Perte d'endurance \\ \hline
%2\,\% à 4\,\%& Perte de puissance \\ \hline
%Plus de 4\,\% &Risque de malaise\\ \hline
%\end{tabularx}}
% 
%Rémi était-il proche du malaise à la fin de son triathlon ? 
Il a perdu $75 - 71 = 4$~kg soit en pourcentage $\dfrac{4}{75} \times 100 \approx 5,33\,\% > 4\,\%$. Il risquait bien un malaise.
\end{enumerate}

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\end{document}
