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                    line cap=round,line join=round]
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        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, septembre 2013}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Indications concernant l'ensemble du sujet}}\\ 
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}\\ 
%\textbf{Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\vspace{0,25cm} 

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

%Lorsqu'on absorbe un médicament, la quantité de principe actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure en milligrammes par litre de sang.
% 
%Le graphique ci-dessous représente la quantité de principe actif d'un médicament dans le sang, en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.25cm}
%\begin{pspicture*}(-0.8,-2.5)(7.5,31)
%\multido{\n=0.0+0.2}{38}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,30)}
%\multido{\n=0+2}{16}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](0,\n)(7.5,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(0,0)(7.5,30.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(7.5,30)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{73.3936 x mul 2.71828 x exp div}
%\uput[r](0,30.3){Quantité de principe actif (en mg/L)}
%\uput[d](6.75,-2){Temps écoulé (en h)}
%\end{pspicture*} 
% 
%\end{center}
% 
%Répondre aux questions suivantes à partir de lectures graphiques. \textbf{Aucune justification n'est demandée dans cet exercice.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item %Au bout de combien de temps la quantité de principe actif de médicament dans le sang est-elle maximale ?
Le maximum est obtenu au bout d'une heure. 
\item %Quelle est la quantité de principe actif de médicament dans le sang au bout de 2~h~30~min ?
Pour une abscisse de 2 h 30 min on lit une ordonnée d'environ 15~mg/L. 
\item %Pour que le médicament soit efficace, la quantité de principe actif de médicament dans le sang doit être supérieure à 5~mg/L.
 
%Pendant combien de temps le médicament est-il efficace ?
On a une quantité de produit actif supérieure à 5 de 6~min à 4~h6 min, soit pendant  quatre heures.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

%Tom lance cinquante fois deux dés à six faces parfaitement équilibrés. Il note dans une feuille de calcul les sommes obtenues à chaque lancer. Il obtient le tableau suivant : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{B3}&\multicolumn{13}{l|}{=B2/M2}\\ \hline
%&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N\\ \hline
%1 &somme obtenue 			&2 		&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12 &total	&\\ \hline 
%2 &nombre d'apparitions 	&3 		&1 	&4 	&6 	&9 	&9 	&7 	&3 	&5 	&3 	&0 	&50		&\\ \hline 
%3 &fréquence d'apparition	&0,06	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule M2 pour vérifier qu'il a bien relevé 50 résultats ? 
=SOMME(B2:L2)
\item %Tom a saisi dans la cellule B3 la formule $\fbox{=B2/M2}$. Il obtient un message d'erreur quand il la tire dans la cellule C3. Pourquoi ? 
Il devrait avoir dans C3 : B3/M3 ; or il y a 0 dans M3 et la division par 0 n'existe pas.
\item %Tom déduit de la lecture de ce tableau que s'il lance ces deux dés, il n'a aucune chance d'obtenir la somme 12. A-t-il tort ou raison ?
Il a tort car la sortie d'un double 6 est tout à fait possible. Il se trouve que sur les 50 lancers il n'y a pas eu ce tirage.
\end{enumerate}
 
\bigskip  

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

%ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm et BC = 24 cm.
% 
%On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l'on colorie en noir. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.2)(4.8,4)
%\psframe(4.8,3.8)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,3.8)(1.1,2.7)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.1)(1.1,0)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,3.8)(4.8,2.7)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,1.1)(4.8,0)
%\psframe*(1.1,2.7)(3.7,1.1)
%\uput[ul](0,3.8){A}\uput[ur](4.8,3.8){B}
%\uput[ur](4.8,0){C}\uput[dl](0,0){B}
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Dans cette question, les quatre carrés gris ont tous 7 cm de côté. Dans ce cas : 
	\begin{enumerate}
		\item %quel est le périmètre d'un carré gris ?
		Périmètre d'un carré gris : $4 \times 7 = 28$~cm. 
		\item %quel est le périmètre du rectangle noir ? 
Longueur du rectangle noir : $30 - 2\times 7 = 30 - 14 = 16$ ;

Largeur du rectangle noir : $24 - 2\times 7 = 24 - 14 = 10$.

Le périmètre du rectangle noir est donc : $2 \times (16 + 10) = 2 \times 26 = 52$~cm.
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, la longueur du côté des quatre carrés gris peut varier. Par conséquent, les dimensions du rectangle noir varient aussi.
 
%Est-il possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris ?
Si $x$ est la longueur des côtés du carré gris, le périmètre des quatre carrés gris est égal à $4 \times 4 \times x = 16x$.

Le rectangle noir a pour longueur $30 - 2x$ et pour largeur $24 - 2x$. Le périmètre du rectangle noir est donc égal à $2[(30 - 2x) + (24 - 2x)] = 108 - 8x$.

Il y a égalité de ces deux périmètres si :

$16x = 108 - 8x$  soit $24x = 108$ ou $8x = 36$ ou $2x = 9$ et enfin $x = 4,5$~cm(les périmètres valent alors 72~cm).
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 4 points}

\medskip
 
%Un stage de voile pour enfant est proposé pendant les vacances. Le prix affiché d'un stage pour un enfant est de $115$~\euro. 
%Lorsqu'une famille inscrit deux enfants ou plus, elle bénéficie d'une réduction qui dépend du nombre d'enfants inscrits.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Une famille qui inscrit trois enfants paie 310,50~\euro. Pour cette famille, quel est, par enfant, le prix de revient d'un stage ?
Le prix par enfant est égal à $\dfrac{310,5}{3} = 103,50$~(\euro) 
\item %Compléter les deux factures données sur la feuille annexe. Aucune justification n'est attendue dans cette question.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 5 points}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{Voici une figure codée réalisée à main levée :
% 
%On sait que
%\begin{itemize}
%\item La droite (AC) est perpendiculaire à la droite (AB).
%\item La droite (EB) est perpendiculaire à la droite (AB).
%\item Les droites (AE) et (BC) se coupent en D.
%\item AC = 2,4 cm ; AB = 3,2 cm ; \mbox{BD = 2,5~cm} et DC = 1,5 cm.\end{itemize}} \hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,3) 
%\pscurve(0.2,2.6)(2.55,1.43)(4.9,0.2)
%\pscurve(4.9,0.2)(2.55,0.24)(0.2,0.2)
%\pscurve(0.2,0.2)(0.17,1.4)(0.2,2.6)
%\pscurve(0.2,2.6)(1.65,2.57)(3.1,2.6)
%\pscurve(3.1,2.6)(1.65,1.37)(0.2,0.2)%AEBACDB
%\uput[ul](0.2,2.6){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[ur](3.1,2.6){C}\uput[d](2,1.5){D}\uput[dr](4.9,0.2){E}
%\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4) \psframe(0.2,2.6)(0.4,2.4)
%\end{pspicture}} 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Réaliser la figure en vraie grandeur sur la copie.
~
\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
%\psgrid 
\psline(0.2,2.6)(3.1,2.6)(0.2,0.2)
(4.9,0.2)(4.9,0.2)(0.2,2.6)(0.2,0.2)%ACBEAB
\uput[ul](0.2,2.6){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[ur](3.1,2.6){C}\uput[d](2,1.5){D}\uput[dr](4.9,0.2){E}
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4) \psframe(0.2,2.6)(0.4,2.4)
\end{pspicture} 
\end{center}
\item %Déterminer l'aire du triangle ABE. 
Les droites (AC) et (BE) sont parallèles car perpendiculaires à la même droite (AB).

Les points A, D, E d’une part, C, D, B de l’autre sont alignés dans cet ordre ; le théorème de Thalès permet d’écrire :

$\dfrac{\text{CD}}{\text{DB}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BE}}$ soit BE $ = \dfrac{\text{AC} \times \text{DB}}{\text{CD}} = \dfrac{2,4 \times 2,5}{1,5} = 4$~(cm).

L’aire du triangle ABE rectangle en B est égale à $\dfrac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{BE} = \dfrac{3,2 \times 4}{2} = 6,4~\left(\text{cm}^2\right)$.
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{\large Exercice 6 \hfill 6,5 points}

\medskip

%On souhaite construire une structure pour un skatepark, constituée d'un escalier de six marches identiques permettant d'accéder à un plan incliné dont la hauteur est égale à 96 cm. 
%Le projet de cette structure est présenté ci-dessous. 
%Schéma
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.75cm,arrowsize=4pt 2}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(16,3.5)
%\pspolygon(0,0)(0,1.8)(2.2,3.1)(3.3,3.1)(7.1,1.4)(4.9,0)
%\psline(0,1.8)(1.1,1.8)(3.3,3.1)
%\psline(2.2,2.4)(5.95,0.65)
%\psline(3.4,0)(3.4,0.3)(2.9,0.3)(2.9,0.6)(2.4,0.6)(2.4,0.9)(2,0.9)(2,1.2)(1.5,1.2)(1.5,1.5)(1.1,1.5)(1.1,1.8)
%\psline(3.4,0)(4.5,0.7)(4.5,1)(3.4,0.3)
%\psline(2.9,0.3)(4,1)(4,1.3)(2.9,0.6)
%\psline(2.4,0.6)(3.5,1.3)(3.5,1.6)(2.4,0.9)
%\psline(2,0.9)(3.1,1.6)(3.1,1.9)(2,1.2)
%\psline(1.5,1.2)(2.6,1.9)(2.6,2.2)(1.5,1.5)
%\psline(4.5,1)(4,1)(4,1.3)(3.5,1.3)(3.5,1.6)(3.1,1.6)(3.1,1.9)(2.6,1.9)(2.6,2.2)(2.2,2.2)(2.2,2.4)
%\psline(1.1,1.5)(2.2,2.2)
%\psline(4.5,0.7)(6,0.7)
%\pspolygon(7.3,0.1)(7.3,2.8)(9,2.8)(14.6,0.1)
%\psline[linestyle=dashed](9,2.8)(9,0.1)
%\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(8.8,2.8)(8.8,0.1)
%\rput{90}(8.5,1.45){96 cm}
%\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(9,-0.4)(12.3,-0.4)
%\uput[d](10.65,-0.4){55 cm}
%\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(12.3,-0.4)(14.6,-0.4)
%\uput[d](13.45,-0.4){150 cm}
%\psline(9,2.4)(9.68,2.4)(9.68,1.96)(10.36,1.96)(10.36,1.52)(11.04,1.52)(11.04,1.08)(11.72,1.08)(11.72,0.64)(12.4,0.64)(12.4,0.1)
%\psline[linestyle=dotted](11.04,1.52)(11.04,2.6)
%\psline[linestyle=dotted](11.72,1.08)(11.72,2.6)
%\psline[linestyle=dotted](11.04,1.52)(14.2,1.52)
%\psline[linestyle=dotted](11.72,1.08)(14.2,1.08)
%\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(11.04,2.6)(11.72,2.6)
%\psline[linewidth=0.4pt]{>-<}(14.2,1.78)(14.2,0.82)
%\uput[u](11.38,2.8){\footnotesize profondeur}
%\uput[u](11.38,2.6){\footnotesize d'une marche}
%\rput(15.2,1.6){\footnotesize hauteur}
%\rput(15.2,1.1){\footnotesize d'une marche}
%\uput[ur](9,2.8){A}\uput[dl](9,0.1){B}
%\uput[d](12.4,0.1){C}\uput[dr](14.6,0.1){D}
%\rput(8,3.4){Schéma}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%Normes de construction de l'escalier :\\ 
%$60 \leqslant 2 h + p \leqslant 65$ où $h$ est la hauteur d'une marche et $p$ la profondeur d'une marche, en cm.\\
% ~\\
%Demandes des habitués du skate park :\\ 
%Longueur du plan incliné (c'est-à-dire la longueur AD) comprise entre $2,20$~m et $2,50$~m. \\
% Angle formé par le plan incliné avec le sol (ici l'angle $\widehat{\text{BDA}}$) compris entre 20\degres{} et 30\degres.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Les normes de construction de l'escalier sont-elles respectées ?
On a $6h = 96$, soit $h = 16$~cm.

D’autre part $5p = 150$, soit $p = 30$~cm.

On a donc $2h + p =  32 + 30 = 62$, donc les normes de construction de l'escalier sont respectées.


\item %Les demandes des habitués du skatepark pour le plan incliné sont-elles satisfaites ?
Dans le triangle ABD rectangle en B, le théorème de Pythagore permet d’écrire 

AD$^2 = \text{AB}^2 + \text{BD}^2 = 96^2 + 205^2 = \np{9216} + \np{42025} = \np{51241}$.

Donc AD $ = \sqrt{\np{51241}} \approx 226,4$~cm soit environ 2,26~m. La première demande est respectée.

Enfin on a $\tan \widehat{\text{BDA}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BD}} = \dfrac{96}{205}$ ; la calculatrice donne $\widehat{\text{BDA}}  \approx 25,1$\degres. Or $20 < 25,1 < 30$.

La deuxième demande est aussi respectée.
\end{enumerate}
 
\bigskip  

\textbf{\large Exercice 7 \hfill 4,5 points}

\medskip
 
%Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 
%
%\textbf{Rappel : toutes les réponses doivent être justifiées.}
%
%\medskip
 
Affirmation 1 : %\og La vitesse moyenne d'un coureur qui parcourt 18 km en une heure est strictement supérieure à celle d'une voiture télécommandée qui parcourt 5 m par seconde. \fg
Le coureur parcourt \np{18000}~m en \np{3600}~s soit $\dfrac{\np{18000}}{\np{3600}} = 5$~(m/s). Affirmation fausse.

Affirmation 2 : %\og Pour tout nombre $x$, on a l'égalité : $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 25$. \fg
 $(3x - 5)^2 = 9x^2 + 25 - 30x $. Affirmation fausse.
 
Affirmation 3 : %\og Dans une série de données numériques, la médiane de la série est toujours strictement supérieure à la moyenne. \fg 
Soit la série 1 ; 2; 3 ; 9 ; 10.

La médiane est 3 et la moyenne 5. Affirmation fausse.
\bigskip  

\textbf{\large Exercice 8 \hfill 5 points}

\medskip

%Flora fait des bracelets avec de la pâte à modeler. Ils sont tous constitués de 8 perles rondes et de 4 perles longues.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.55\linewidth}{ Cette pâte à modeler s'achète par blocs qui ont tous la forme d'un pavé droit dont les dimensions sont précisées ci-contre.
% 
%La pâte peut se pétrir à volonté et durcit ensuite à la cuisson.}\hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,2.2)
%\psframe(1.3,0.4)(3.9,1.2)
%\psline(3.9,0.4)(4.6,1.4)(4.6,2.1)(3.9,1.2)
%\psline(4.6,2.1)(2,2.1)(1.3,1.2)
%\psline[linestyle=dotted](1.3,0.4)(2,1.4)(2,2.1)
%\psline[linestyle=dotted](2,1.4)(4.6,1.4)
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.1,0.4)(1.1,1.2)
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.3,0.3)(3.9,0.3)
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.1,0.4)(4.8,1.4)
%\rput{90}(0.7,0.8){\footnotesize 2 cm}\uput[d](2.6,0.4){\footnotesize 6 cm}
%\rput{60}(4.6,0.8){\footnotesize 6 cm}
%\end{pspicture}\end{center}}
%
%\textbf{Information sur les perles :}
% 
%\medskip
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Une perle ronde &Une perle longue\\
%\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1)(0.5,1)
%\pscircle(0,0){0.3cm}
%\scalebox{1}[0.3]{\psarc(0,0){0.3}{180}{0}}%
%\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){0.32}{0}{180}}%
%\end{pspicture}&\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(0.5,0.5)
%\scalebox{1}[0.3]{\psarc(0,-0.7){0.3}{180}{0}}%
%\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,-0.7){0.32}{0}{180}}%
%\psellipse(0,0.7)(0.3,0.12)
%\psline(-0.3,-0.26)(-0.3,0.7)
%\psline(0.3,-0.26)(0.3,0.7)
%\end{pspicture}\\ 
% Boule de diamètre 8mm& Cylindre de hauteur 16 mm et de diamètre 8 mm\\ \hline
% \end{tabularx}
% \end{center}
%  
%Flora achète deux blocs de pâte à modeler: un bloc de pâte à modeler bleue pour faire les perles rondes et un bloc de pâte à modeler blanche pour faire les perles longues.
% 
%Combien de bracelets peut-elle ainsi espérer réaliser ?
% 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|}\hline
%On rappelle les formules suivantes :\\ 
%Volume d'un cylindre : $V = \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}$\\ 
%Volume d'une sphère : $V = \dfrac{4}{3}\times  \pi \times \text{rayon}^3$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}  

Le volume d’un bloc est $6 \times 6 \times 2 = 72~\left(\text{cm}^3\right)$.

Le volume d’une perle ronde est : $\dfrac{4}{3}\pi \times 4^3 = \dfrac{256\pi}{3} \approx 268,1~\left(\text{mm}^3\right)$.

Le volume d’une perle longue est : $\pi \times 4^2 \times 16 = 256\pi \approx 804,2~\left(\text{mm}^3\right)$.

On peut donc fabriquer $\dfrac{\np{72000}}{268,1} \approx 268$ perles rondes avec un bloc et on peut donc fabriquer $\dfrac{\np{72000}}{804,2} \approx 89$ perles longues avec un bloc.

Avec 89 perles longues on peut faire $\dfrac{89}{4} \approx 22$ bracelets. Il faudra $22 \times 8 = 196$ perles rondes  : on les a largement.

\newpage
\begin{center}
ANNEXE \textbf{à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} 
Exercice 4
\end{flushleft}

\vspace{1cm}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1.75cm}|c|X|m{1.75cm}|} 
\multicolumn{2}{c}{\textbf{Facture 1}}&\multicolumn{1}{c}{\quad}&\multicolumn{2}{c}{\textbf{Facture 2}}\\
\multicolumn{2}{c}{\quad}	&\multicolumn{1}{c}{\quad}&\multicolumn{2}{c}{\quad}\\  \cline{1-2}\cline{4-5} 
Prix d'un stage 				&115~\euro& &Prix d'un stage&115~\euro\\ \cline{1-2}\cline{4-5}  
Nombre d'enfants inscrits 		&2&\qquad&Nombre d'enfants inscrits &3\\   \cline{1-2}\cline{4-5}
Prix total avant réduction 		&230~\euro& &Prix total avant réduction&345~\euro\\  \cline{1-2}\cline{4-5} 
Montant de la réduction (5\,\% 
du prix total avant réduction) 	&11,50~\euro& &Montant de la réduction (10\,\% du prix total avant réduction)						&34,50~\euro\\  \cline{1-2}\cline{4-5} 
Prix à payer 					&218,50& & Prix à payer &310,50~\euro\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
\end{tabularx} 
\end{center}

\end{document}
