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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, septembre 2014}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\bigskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\emph{Indication portant sur l'ensemble du sujet.}} 
%\\ 
%\emph{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}\\ 
%\emph{Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
%\end{tabularx} 
%\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

%Cédric s’entraîne pour l’épreuve de vélo d’un triathlon.
%
%La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes.
%
%
%
%Pour les trois premières questions, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune justification n'est attendue sur la copie.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle distance Cédric a-t-il parcourue au bout de 20 minutes?
Cédric a parcouru 10 km en 20 minutes. 
\item %Combien de temps a mis Cédric pour faire les 30 premiers kilomètres?
Cédric a mis 50 minutes pour faire les 30 premiers kilomètres. 
\item %Le circuit de Cédric comprend une montée, une descente et deux portions plates. 
%Reconstituer dans l'ordre le trajet parcouru par Cédric.

La pente la plus forte correspond à la descente, la pente la plus faible à la montée. 

Il y a donc une portion plate, puis la descente, une portion plate et la montée. 
\item %Calculer la vitesse moyenne de Cédric (exprimée en km/h) sur la première des quatre parties du trajet.
Au début Cédric a parcouru 10 km en 20 min soit 30 km en 60 min soit une heure. Sa vitess moyenne a été de 30~km/h. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip
 
%Dans cet exercice, les figures codées ne sont pas en vraie grandeur. 
%
%Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
%\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Affirmation 1 :}
%
%Le volume de ce solide est 56 cm$^3$.} \hfill 
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.4)(8.2,4)
%\pspolygon(1.4,0.6)(4.7,0.6)(1.4,2.25)
%\psline(4.7,0.6)(8,2.2)(4.7,3.9)(1.4,2.25)
%\psline[linestyle=dotted](1.4,0.6)(4.7,2.2)(8,2.2)
%\psline[linestyle=dotted](4.7,2.2)(4.7,3.9)
%\psframe(4.7,2.2)(4.9,2.4)
%\psframe(1.4,0.6)(1.6,0.8)
%\psline{<->}(1.4,0.4)(4.7,0.4)
%\psline{<->}(1.2,0.6)(1.2,2.25)
%\psline{<->}(4.8,0.45)(8.3,2.2)
%\uput[d](3.05,0.4){4 cm}
%\uput[l](1.2,1.425){2 cm}
%\rput{27}(6.55,1.1){7 cm}
%\end{pspicture}}\\ \hline
%\parbox{0.4\linewidth}{Dans ce dessin, les points sont placés sur les sommets d'un quadrillage à maille carrée.
%
%\textbf{Affirmation 2 :} Les droites (ML) et (NO) sont parallèles.}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.4,-0.6)(7.6,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=cyan]
%\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(7,0)(7,4)
%\psline[linewidth=1.25pt](5,0)(7,1)
%\uput[dl](0,0){N} \uput[ur](7,4){O} \uput[dr](7,0){K} 
%\uput[r](7,1){M} \uput[dl](5,0){L} 
%\end{pspicture*}}\\ \hline
%~\\ 
%\textbf{Affirmation 3 :} La diagonale d'un carré d'aire 36 cm$^2$ a pour longueur $6\sqrt{2}$ cm.\\ 
%~\\ \hline
%~\\  
%\textbf{Affirmation 4 :} 0 a un seul antécédent par la fonction qui à tout nombre $x$ associe $3x + 5$.\\ 
%~\\ \hline
%\end{tabularx}
\textbf{Affirmation 1 :}  En doublant ce solide on obtient un pavé de dimensions 4, 7 et 2, donc de volume $4 \times 7 \times 2 = 56$, donc le volume du solide est égal à 28~cm$^3$. L'affirmation est fausse.

\textbf{Affirmation 2 :} $\dfrac{\text{KL}}{\text{KN}} = \dfrac{2}{7}$ et $\dfrac{\text{KM}}{\text{KO}} = \dfrac{1}{4}$. L'affirmation est fausse.

Si les droites étaient parallèles, on aurait d'après le théorème de Thalès  : 

$\dfrac{\text{KL}}{\text{KN}} = \dfrac{\text{KM}}{\text{KO}}$, or $\dfrac{2}{7} \ne \dfrac{1}{4}$.

\textbf{Affirmation 3 :} La mesure de chaque côté est égale à 6~cm ; d'après le théorème de Pythagore, la mesure d'une diagonale, $d$ vérifie :

$d^2 + 6^2 + 6^2 = 2 \times 6^2$, donc $d = 6\sqrt{2}$. L'affirmation est vraie.

\textbf{Affirmation 4 :}  $0$ a pour antécédent le ou les nombres tels que :

$3x + 5 = 0$, soit $3x = - 5$ et donc $x = - \dfrac{5}{3}$.  L'affirmation est vraie. 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

%Dans une classe de collège, après la visite médicale, on a dressé le tableau suivant : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Porte des lunettes& Ne porte pas de lunettes\\ \hline 
%Fille &3 &15\\ \hline 
%Garçon &7 &5\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\end{center} 
%
%Les fiches individuelles de renseignements tombent par terre et s'éparpillent.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Si l'infirmière en ramasse une au hasard, quelle est la probabilité que cette fiche soit :
	\begin{enumerate}
		\item %celle d'une fille qui porte des lunettes ?
Il y a $3 + 15 + 7 + 5 = 30$ élèves  et parmi ceux-ci 3 filles qui portent des lunettes ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10} = 0,1 = 10\,\%$. 
		\item %celle d'un garçon ? 
		Il y a 12 garçons, donc la probabilité est égale à $\dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 0,4 = 40$\,\%.
	\end{enumerate} 
\item %Les élèves qui portent des lunettes dans cette classe représentent 12,5\,\% de ceux qui en portent dans tout le collège. Combien y a-t-il d'élèves qui portent des lunettes dans le collège ?
12,5\:\% correspondent à 10 élèves, donc 1\,\% correspond à $\dfrac{10}{12,5}$ et 100\,\% correspondent à $\dfrac{10}{12,5} \times 100 = 80$.

Il y a 80 élèves dans le collège qui portent des lunettes. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip
 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(12,7)
%%\psgrid
%\psline(0,0.5)(12,0.5)
%\psline(7.3,0.5)(7.3,7)\rput(9.5,4){Immeuble}
%\psline(0.5,0.5)(3.1,3.85)(5.8,0.5)
%\psline(4.5,0.5)(7.3,5.2)
%\pspolygon*(2.8,3.5)(3.1,3.85)(3.4,3.5)
%\psline(3.1,0.6)(3.1,0.4)\uput[d](3.1,0.4){P}
%\psline(4.5,0.6)(4.5,0.4)\uput[d](4.5,0.4){M}
%\psline(5.85,0.6)(5.85,0.4)\uput[d](5.85,0.4){L}
%\psline(7.3,0.6)(7.3,0.4)\uput[d](7.3,0.4){C}
%\uput[ul](7.3,5.2){F}
%\pspolygon*(7.3,5.2)(7.3,4.8)(7.04,4.8)
%\psarc[linewidth=1.5pt](2.95,3.8){0.175}{0}{180}
%\psline[linewidth=1.5pt](2.77,3.8)(2.77,3.4)
%\psline[linewidth=3pt](2.7,3.7)(2.7,0.5)
%\pspolygon*(2.5,0.5)(2.7,1)(2.9,0.5)
%\pspolygon[fillstyle=hlines](4.5,0.5)(5.04,1.42)(5.85,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%On s'intéresse à la zone au sol qui est éclairée la nuit par deux sources de lumière : le lampadaire de la rue et le spot fixé en F sur la façade de l'immeuble.
%
%\parbox{0.45\linewidth}{On réalise le croquis ci-contre qui n'est pas à l'échelle, pour modéliser la situation: 
%
%On dispose des données suivantes : 
% 
%PC = 5,5~m ; CF = 5~m ; HP = 4~m ;
%
%$\widehat{\text{MFC}} = 33~\degres$ ; $\widehat{\text{PHL}} = 40~\degres$}
%\hfill 
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6.2,6.4)
%\pspolygon(0.2,4.6)(0.2,0.4)(6.1,0.4)(6.1,5.9)(2.5,0.4)(3.8,0.4)%HPCFMLH
%\uput[u](0.2,4.6){H} \uput[d](0.2,0.4){P} \uput[d](2.5,0.4){M} 
%\uput[d](3.8,0.4){L} \uput[d](6.1,0.4){C} \uput[u](6.1,5.9){F}
%\psframe(0.2,0.4)(0.5,0.7)\psframe(6.1,0.4)(5.8,0.7)
%\psarc(0.2,4.6){0.7}{-90}{-50}
%\psarc(6.1,5.9){0.7}{-123}{-90} 
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que l'arrondi au décimètre de la longueur PL est égal à 3,4~m. 
Dans le triangle HPL rectangle en P, on a $\tan \widehat{\text{PHL}} = \dfrac{\text{PL}}{\text{HP}}$, soit $\tan 40 = \dfrac{\text{PL}}{4}$, donc PL $ = 4\tan 40 \approx 3,3564 \approx 3,4$~m au décimètre près.
\item %Calculer la longueur LM correspondant à la zone éclairée par les deux sources de lumière. On arrondira la réponse au décimètre.
De la même façon dans le triangle MFC rectangle en C, on a $\tan \widehat{\text{MFC}} = \dfrac{\text{MC}}{\text{FC}}$, soit $\tan 33 = \dfrac{\text{MC}}{5}$, donc CM $ = 5\tan 33 \approx 3,247 \approx 3,2$~m au décimètre près.

Or PC = PL + LC = PL + (CM - ML), donc 

ML = PL + CM - PC $\approx 3,4 + 3,2 - 5,5 = 6,6 - 5,5 = 1,1$. 
\item %On effectue des réglages du spot situé en F afin que M et L soient confondus. 

%Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CFM}}$. On arrondira la réponse au degré.
On a donc CL = CM = PC $- PL = 5,5 - 3,4 = 2,1$.

On a donc  $\tan \widehat{\text{MFC}} = \dfrac{\text{LC}}{\text{FC}}$ soit $\tan \widehat{\text{MFC}} = \dfrac{2,1}{5} = \dfrac{4,2}{10} = 0,42$.

La calculatrice donne  $\widehat{\text{MFC}} \approx 22,7$ soit 23\degres{} au degré près.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 6 points}

\medskip
 
%Léa pense qu'en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude d'un exemple :
 
%5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $5 \times 7 + 1$. 
$5 \times 7 + 1 = 35 + 1 = 36 = 4 \times 9$.
		\item %Léa a-t-elle raison pour cet exemple ?
		Oui	
	\end{enumerate} 
\item %Le tableau ci-dessous montre le travail qu'elle a réalisé dans une feuille de calcul. 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E\\ \hline
%1&&Nombre impair&Nombre impair suivant&Produit de ces nombres impairs consécutifs&Résultat obtenu\\ \hline
%2&$x$&$2x + 1$&$2x + 3$&$(2x + 1)(2x + 3)$&$(2x + 1)(2x + 3) + 1$\\ \hline
%3	&0	&1	&3	&3	&4\\ \hline
%4	&1	&3	&5	&15	&16\\ \hline
%5	&2	&5	&7	&35	&36\\ \hline
%6	&3	&7	&9	&63	&64\\ \hline
%7	&4	&9	&11	&99	&100\\ \hline
%8	&5	&11	&13	&143&144\\ \hline
%9	&6	&13	&15	&195&196\\ \hline
%10	&7	&15	&17	&255&256\\ \hline
%11	&8	&17	&19	&323&324\\ \hline
%12	&9	&19	&21	&399&400\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %D'après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17 ?
		$17 \times 19 + 1 = 324$. 
		\item %Montrer que cet entier est un multiple de 4. 
$324 = 320 + 4 = 4 \times 80 + 4\times 1 = 4 \times (80 + 1) = 4 \times 81$.
		\item %Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3. Lesquelles ? Aucune justification n'est attendue.

%\setlength\parindent{12mm}
%\begin{description}
%\item[ ] Formule 1 : \fbox{ =(2*A3+1)*(2*A3+3)} 
%\item[ ] Formule 2 :  \fbox{= (2*B3 + 1)*(2*C3 + 3)} 
%\item[ ] Formule 3 :  \fbox{= B3*C3} 
%\item[ ] Formule 4 :  \fbox{= (2*D3+1)*(2*D3+3)}
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
Les formules 2 et 3 donnent le bon produit.
	\end{enumerate} 
\item Étude algébrique : 
	\begin{enumerate}
		\item %Développer et réduire l'expression $(2x + 1)(2x + 3) + 1$.
$(2x + 1)(2x + 3) + 1 = 4x^2 + 6x + 2x + 3 + 1 = 4x^2 + 8x + 4$.		 
		\item %Montrer que Léa avait raison: le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
$4x^2 + 8x + 4 = 4 \left(x^2 + 2x + 1\right)$. On a même $(2x + 1)(2x + 3) + 1 = 4(x + 1)^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 5 points}

\medskip 

%Julien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous.  
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(14,8)
%%\psgrid
%\psframe*(0,0)(14,0.2)
%\psframe*(2.4,0.2)(2.7,7)
%\pscurve*(2.4,2.5)(2,2)(1.5,2.7)(1,2.9)(0.5,4.4)(1,4.9)(1.5,6)(2,6.6)(2.4,7.4)(2.7,7.3)(2.9,7.2)(3,7)(3.5,4.5)(4,4)(4.2,3)(2.4,2.5)
%\psframe*(10.7,5.3)(10.9,7.6)
%\psframe*(10.9,6.1)(13.9,6.3)
%\psline(2.6,0.2)(10.8,2.5)(2.6,7.4)
%\psline(10.8,2.5)(2.4,2.5)
%\psframe*(9.2,2.1)(9.35,3.42)
%\psframe*(9.35,2.5)(10.8,2.65)
%\psframe(9.35,2.65)(9.55,2.85)
%\uput[u](9.35,3.42){D} \uput[d](9.35,2.1){E} \uput[ul](9.2,2.5){F}
%\uput[ur](10.6,2.6){O}
%\psarc(11.4,1.5){1.}{90}{120}
%\psarc(11.4,3.6){1.}{-120}{-90}
%\psellipse*(11.05,2.55)(0.05,0.1)
%\rput(12,3.2){\footnotesize {\oe}il de l'observateur}
%\rput(12.6,6.6){\footnotesize croix du bûcheron}
%\psline[linestyle=dashed](10.8,2.5)(10.8,0.2) 
%\psframe(10.8,0.2)(10.6,0.4)
%\uput[ur](10.8,0.2){C}
%\uput[dr](2.7,0){B}\uput[u](2.6,7.4){A}
%\psframe(2.7,0.2)(3,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%Il place la croix de sorte que O, D et A d'une part et O, E et B d'autre part soient alignés. 
%
%Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement. 
%
%Il mesure au sol BC = 7,7 m. 
%
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d'agrandissement est 22.
Le coefficient d'agrandissement est égal à $\dfrac{\text{CB}}{\text{OF}} =  \dfrac{770}{35} = 22$.
\item %Calculer la hauteur de l'arbre en mètres.
(DE) et (AB) étant verticales sont parallèle ; en utilisant le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{CB}}{\text{OF}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{DE}} $ soit $22 = \dfrac{\text{AB}}{\text{0,2}}$, d'où AB $ = 22 \times 0,2 = 4,4$~(m).
\item %Certaines croix du bûcheron sont telles que DE = OF. 
%Quel avantage apporte ce type de croix ? 
Avec une telle croix la distance CB est égale à la hauteur de l'arbre. Il suffit de se placer de telle sorte que D et E coïncident avec la cime et le pied de l'arbre : la distance à l'arbre donne sa hauteur. 
\item %Julien enroule une corde autour du tronc de l'arbre à 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonférence de 138~cm. 

%Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur? Donner un arrondi au centimètre près.
On a avec des notations évidentes : 

$L = \pi D$ ou $D  = \dfrac{L}{\pi} = \dfrac{138}{\pi} \approx43,92$ soit environ 44~cm au centimètre près. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 8 points}

\medskip 

%Pour préparer un séjour d'une semaine à Naples, un couple habitant Nantes a constaté que le tarif des billets d'avion aller-retour Nantes-Naples était beaucoup plus élevé que celui des billets Paris-Naples. Il étudie donc quel serait le coût d'un trajet aller-retour Nantes-Paris pour savoir s'il doit effectuer son voyage en 
%avion à partir de Nantes ou à partir de Paris.
% 
%Voici les informations que ce couple a relevées :
%
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% 
%\textbf{Information 1 :}  Prix et horaires des billets d'avion.
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%
%\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
%\multicolumn{2}{|l|}{\emph{Vol aller-retour au départ de Nantes}}\\
%Départ de Nantes le 23/11/2014 :&06 h 35\\ 
%Arrivée à Naples le 23/11/2014 :&09 h 50\\
%~& ~\\
%Départ de Naples le 30/1112014 :&12 h 50\\ 
%Arrivée à Nantes le 30/1112014 :& 16 h 25\\
%~&~\\ 
%\multicolumn{2}{|l|}{Prix par personne du vol aller-retour: 530~\euro}\\ \hline
%\end{tabular}} \hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabular}{|l l|}\hline  
%\multicolumn{2}{|l|}{Vol aller-retour au départ de Paris}\\
%Départ de Paris le 23/11/2014 :&11 h 55\\ 
%Arrivée à Naples le 23/11/2014 :&14 h 10 \\
%~&~\\ 
%Départ de Naples le 30/11/2014 :&13 h 10\\ 
%Arrivée à Paris le 30/11/2014 : & 15 h 30\\ 
%~&~\\
%\multicolumn{2}{|l|}{Prix par personne du vol aller-retour: 350~\euro}\\ \hline
%\end{tabular}} 
%
%\medskip

%\emph{Les passagers doivent être présents 2 heures avant le décollage pour procéder à l'embarquement.}
%
%\rule{\linewidth}{.5pt}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Information 2 : Prix et horaires des trains pour un passager}
%
% 
%\rule{\linewidth}{.5pt}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{Information 3 : Trajet en voiture}&\textbf{Information 4 : Parking de l'aéroport de Paris} \\
%Consommation moyenne : 6 litres aux 100 km&Tarif: 58~\euro{} pour une semaine\\
%Péage Nantes-Paris: 35,90~\euro&\\ 
%Distance domicile-aéroport de Paris : 409 km&\\
%Carburant : 1,30~\euro{} par litre&\\ 
%Temps estimé : 4 h 24 min&\\
%\end{tabularx}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi la différence entre les prix des 2 billets d'avion s'élève à 360~\euro{} pour ce couple.
Différence de prix entre les billets de Nantes et les billets de Paris :

$2\times 530 - 2\times 350 = \np{1060} - 700 = 360$~(\euro). 
\item %Si le couple prend la voiture pour aller à l'aéroport de Paris: 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'heure avant laquelle il doit partir de Nantes.
Le couple doit partir au moins à :

11 h 55 - 4 h 24 = 7 h 31 heure à laquelle il faut retrancher les frux heures pour l'embarquement.

Le couple doit partir au plus tard à 5 h 31. 
		\item %Montrer que le coût du carburant pour cet aller est de 31,90~\euro.
Quantité de carburant nécessaire pour l'aller : $\dfrac{409}{100}\times 6 = 24,54~\ell$.

Coût du carburant pour l'aller : $24,54 \times 1,30 = 31,902 \approx 31,90$~(\euro).
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est l'organisation de voyage la plus économique ?
$\bullet~~$En prenant l'avion à Nantes : $2 \times 530 = \np{1060}$~(\euro).

$\bullet~~$En prenant le train pour Paris et le retour de Paris en train : 

$2 \times 350 + 2 \times 51 + 2 \times 42 = 886$~(\euro).

$\bullet~~$En prenant la voiture :

$2 \times 2 \times 350 + 2 \times 35,90 +  2 \times 31,90 + 58 = 893,60$~(\euro).

La solution la plus économique est le train pour aller prendre l'avion à Paris.  
\end{enumerate}

\end{document}
