\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta,positioning,shapes.geometric}
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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Métropole La Réunion, 13 septembre 2021}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-metropole-sept-2021}
\newcommand{\codefiche}{DNBMETS21}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Métropole La Réunion, 13 septembre 2021
%  Toutes redessinées en TikZ d'après le sujet officiel.
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1, question 3 : flèche et son image par une rotation ────
% Flèche pleine dessinée pointe vers la droite, queue à l'origine.
\tikzset{
  fleche/.pic={
    \draw[thick,fill=white]
      (0,-0.13) -- (0.62,-0.13) -- (0.62,-0.28) -- (1.00,0)
      -- (0.62,0.28) -- (0.62,0.13) -- (0,0.13) -- cycle;
  },
  centreO/.pic={
    \draw[thick] (-0.09,0) -- (0.09,0);
    \draw[thick] (0,-0.09) -- (0,0.09);
  }
}

% Réponse A : symétrie centrale (rotation d'angle 180\degres).
\newcommand{\flechesA}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.92,baseline=(current bounding box.center)]
  \path (0.18,0.48) pic[rotate=0]{fleche};
  \path (-0.18,-0.48) pic[rotate=180]{fleche};
  \path (0,0) pic{centreO};
  \node[right=1pt] at (0.06,-0.13) {\small O};
\end{tikzpicture}}

% Réponse B : rotation d'angle 90\degres (la bonne réponse).
% La flèche de queue (-1.15 ; 0.13) dirigée vers le haut a pour image,
% par la rotation de centre O et d'angle 90\degres dans le sens des
% aiguilles d'une montre, la flèche de queue (0.13 ; 1.15) dirigée vers
% la droite : (x ; y) devient (y ; -x).
\newcommand{\flechesB}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.92,baseline=(current bounding box.center)]
  \path (-1.15,0.13) pic[rotate=90]{fleche};
  \path (0.13,1.15) pic[rotate=0]{fleche};
  \path (0,0) pic{centreO};
  \node[below=1pt] at (0,-0.04) {\small O};
\end{tikzpicture}}

% Réponse C : rotation d'angle 45\degres.
\newcommand{\flechesC}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.92,baseline=(current bounding box.center)]
  \path (0.21,0.21) pic[rotate=45]{fleche};
  \path (0.30,0) pic[rotate=0]{fleche};
  \path (0,0) pic{centreO};
  \node[anchor=east] at (-0.10,-0.02) {\small O};
\end{tikzpicture}}

\newcommand{\fleches}[1]{\csname fleches#1\endcsname}

% ── Exercice 4 : les trois figures ──────────────────────────────────
% Unité : 1 = 100 pas. Triangle équilatéral de côté 100 pas, carré de
% côté 100 pas. Les trois programmes ne diffèrent que par ce qui sépare
% le triangle du carré :
%   programme 1 « avancer de 50 pas »   → carré au milieu d'un côté
%   programme 2 « avancer de 100 pas »  → carré au sommet suivant
%   programme 3 « tourner de 60 degrés » → carré au même sommet, incliné
\newcommand{\triangleeq}{\draw[thick] (0,0) -- (1,0) -- (0.5,0.866) -- cycle;}

\newcommand{\figA}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1.35]
  \path[use as bounding box] (-1.0,-0.12) rectangle (1.12,1.5);
  \triangleeq
  \draw[thick] (0,0) -- (0.5,0.866) -- (-0.366,1.366) -- (-0.866,0.5) -- cycle;
\end{tikzpicture}}

\newcommand{\figB}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1.35]
  \path[use as bounding box] (-0.12,-0.12) rectangle (1.62,1.1);
  \triangleeq
  \draw[thick] (0.5,0) -- (1.5,0) -- (1.5,1) -- (0.5,1) -- cycle;
\end{tikzpicture}}

\newcommand{\figC}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1.20]
  \path[use as bounding box] (-0.12,-0.12) rectangle (2.12,1.1);
  \triangleeq
  \draw[thick] (1,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (1,1) -- cycle;
\end{tikzpicture}}

% ── Corrigé, exercice 4 question 2.b : figure A à la nouvelle valeur ─
% Échelle 1 cm pour 25 pas : triangle de côté 100 pas = 4 cm, carré de
% côté 75 pas = 3 cm. Le carré est incliné de 60\degres, comme en figure A.
\newcommand{\figAbis}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round]
  \draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (2,3.464) -- cycle;
  \draw[thick] (0,0) -- (1.5,2.598) -- (-1.098,4.098) -- (-2.598,1.5) -- cycle;
  \fill (0,0) circle (1.4pt);
  \node[below right=1pt] at (0,0) {\footnotesize A};
  \node[below] at (2,0) {\footnotesize 4 cm};
  \node[rotate=-30] at (-1.60,0.25) {\footnotesize 3 cm};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5, question 2 : l'étagère qu'on relève ─────────────────
% Repère : A à l'origine, sol en y = 0, plafond en y = 2,40.
% Position 2 (contre le mur) : B' = (0,80 ; 0) et C' = (0,80 ; 2,25).
% Position 1 (à plat) : C sur le sol à la distance AC = racine(0,80^2 +
% 2,25^2) = 2,388 m, et B tel que ABC soit rectangle en B.
% Le point le plus haut atteint par C au cours de la rotation est E,
% à la verticale de A, à la hauteur AC.
\newcommand{\schemaetagere}{%
\begin{tikzpicture}[scale=2.05,line join=round]
  \def\ac{2.388}
  \coordinate (A)  at (0,0);
  \coordinate (B)  at (-0.268,0.754);
  \coordinate (C)  at (-\ac,0);
  \coordinate (Bp) at (0.80,0);
  \coordinate (Cp) at (0.80,2.25);
  \coordinate (E)  at (0,\ac);
  \coordinate (D)  at ({\ac*cos(140)},{\ac*sin(140)});
  \coordinate (BD) at ({0.80*cos(69.6)},{0.80*sin(69.6)});
  \coordinate (BE) at ({0.80*cos(19.6)},{0.80*sin(19.6)});

  % sol et plafond
  \draw[thick] (-3.45,0) -- (1.50,0);
  \draw[thick] (-3.45,2.40) -- (1.50,2.40);
  \draw[thick] (-3.45,2.54) -- (1.50,2.54);
  \node[above] at (-1.35,2.55) {\scriptsize Plafond};
  \node[below] at (-1.45,-0.04) {\scriptsize Sol de la pièce};

  % mur
  \fill[pattern=bricks,pattern color=black!55] (0.80,0) rectangle (0.98,2.40);
  \draw[thick] (0.80,0) -- (0.80,2.40);
  \draw[thick] (0.98,0) -- (0.98,2.40);
  \node[rotate=90] at (1.10,1.55) {\scriptsize Mur};

  % cote 2,40 m
  \draw[<->,>=stealth] (1.34,0) -- (1.34,2.40);
  \node[fill=white,inner sep=1pt] at (1.34,1.05) {\scriptsize 2,40 m};

  % arc décrit par le sommet C
  \draw[dotted,thick] (C) arc[start angle=180,end angle=70.4,radius=\ac];

  % positions intermédiaires
  \draw[dashed] (A) -- (BD) -- (D) -- cycle;
  \draw[dashed] (A) -- (BE) -- (E) -- cycle;

  % position 1 et position 2
  \fill[black!12] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \fill[black!22] (A) -- (Bp) -- (Cp) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (Bp) -- (Cp) -- cycle;

  % angle droit en B (sommets calculés à la main : le calc imbriqué échoue ici)
  \draw (-0.2278,0.6409) -- (-0.3409,0.6007) -- (-0.3811,0.7138);

  % flèches de rotation
  \draw[->,>=stealth,thick] (-1.95,0.92) arc[start angle=155,end angle=125,radius=1.55];
  \draw[->,>=stealth,thick] (-1.02,1.72) arc[start angle=120,end angle=95,radius=1.95];
  \draw[->,>=stealth,thick] (0.34,1.95) arc[start angle=80,end angle=58,radius=1.95];

  % étiquettes
  \node[below left=-2pt] at (C)  {\scriptsize C};
  \node[right=1pt] at (B) {\scriptsize B};
  \node[below] at (A)  {\scriptsize A};
  \node[below left=0pt] at (D) {\scriptsize D};
  \node[anchor=east] at (-0.06,2.28) {\scriptsize E};
  \node[anchor=east] at (0.72,2.25) {\scriptsize C$'$};
  \node[below] at (Bp) {\scriptsize B$'$};
  \node at (-1.16,0.17) {\scriptsize Position 1};
  \node[rotate=90] at (0.60,0.72) {\scriptsize Position 2};

  % longueurs portées sur le schéma
  \node[rotate=19.6,anchor=south,inner sep=1pt] at (-1.328,0.377) {\scriptsize 2,25 m};
  \node[rotate=70,anchor=south,inner sep=1pt] at (-0.134,0.377) {\scriptsize 0,80 m};
  \node[align=left,anchor=north west] at (-3.42,2.30)
    {\scriptsize AB $=$ AB$'=0{,}80$ m\\[2pt]\scriptsize BC $=$ B$'$C$'=2{,}25$ m};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5, question 3 : les quatre tablettes ───────────────────
% Triangle AB'C' rectangle en B', avec AB' = 0,80 m et B'C' = 2,25 m.
% [B'C'] est partagé en cinq segments de même longueur par K, I, G, E.
% Les quatre tablettes sont parallèles à (AB').
\newcommand{\schematablettes}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1.95,line join=round]
  \coordinate (A)  at (0,0);
  \coordinate (Bp) at (0.80,0);
  \coordinate (Cp) at (0.80,2.25);
  % hauteurs des quatre tablettes et abscisses sur [AC']
  \foreach \h/\x/\ptg/\ptd in {1.80/0.64/D/E, 1.35/0.48/F/G, 0.90/0.32/H/I, 0.45/0.16/J/K}{
    \coordinate (\ptg) at (\x,\h);
    \coordinate (\ptd) at (0.80,\h);
    \draw[thick] (\ptg) -- (\ptd);
    \node[left=1pt]  at (\ptg) {\scriptsize \ptg};
    \node[right=1pt] at (\ptd) {\scriptsize \ptd};
  }
  \draw[thick] (A) -- (Cp);
  \draw[thick] (A) -- (Bp);
  \draw[thick] (Bp) -- (Cp);
  % graduations : cinq segments de même longueur sur [B'C']
  \foreach \y in {0.225,0.675,1.125,1.575,2.025}{
    \draw[thick] (0.86,\y-0.035) -- (0.94,\y-0.035);
    \draw[thick] (0.86,\y+0.035) -- (0.94,\y+0.035);
  }
  % angle droit en B'
  \draw (0.80,0.10) -- (0.70,0.10) -- (0.70,0);
  \node[above] at (Cp) {\scriptsize C$'$};
  \node[below] at (A)  {\scriptsize A};
  \node[below] at (Bp) {\scriptsize B$'$};
  \node[below] at (0.40,-0.20) {\scriptsize Sol de la pièce};
\end{tikzpicture}}

% ── Annexe : planisphère ────────────────────────────────────────────
\newcommand{\planisphere}{%
\includegraphics[width=0.86\linewidth]{planisphere_dnb_metropole_sept_2021.jpg}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{20}

Aucune justification n'était demandée ; les explications ci-dessous sont là pour comprendre.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{12.2cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
\hline
\textbf{1.} & \textbf{C} &
On réduit au même dénominateur : $\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{21}$, donc
$\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}=\dfrac{12}{21}+\dfrac{5}{21}=\dfrac{17}{21}$.\\
\hline
\textbf{2.} & \textbf{B} &
L'urne contient $3+2+4=9$ boules, dont 4 vertes. Les boules étant indiscernables au toucher,
les 9 tirages sont équiprobables et $p=\dfrac{4}{9}$.\\
\hline
\textbf{3.} & \textbf{B} &
Les deux flèches de la réponse B se déduisent l'une de l'autre par un quart de tour autour de O.
Sur la réponse A les deux flèches sont de sens contraires : c'est un demi-tour, donc une rotation
d'angle 180\degres. Sur la réponse C l'angle vaut 45\degres.\\
\hline
\textbf{4.} & \textbf{A} &
$117=9\times13=3\times3\times13$, et 3 et 13 sont premiers. La réponse B n'est pas une
décomposition en facteurs premiers, car 9 n'est pas premier ; quant à la réponse C,
$3\times7\times7=147$.\\
\hline
\textbf{5.} & \textbf{A} &
$(-2)\times(-2)\times(-2)=(-2)^{3}$, et l'inverse de $(-2)^{3}$ est $(-2)^{-3}$.
On peut vérifier : $(-2)^{3}=-8$ et $(-2)^{-3}=-\dfrac{1}{8}$, alors que
$2^{-3}=\dfrac{1}{8}$.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{20}

\begin{enumerate}
  \item L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite des masses :
  \[
  125-87=38.
  \]
  \conclusion{l'étendue de cette série est $\boxed{38\ \text{kg}}$.}

  \item La masse moyenne est la somme des sept masses divisée par 7 :
  \[
  \frac{113+96+125+87+117+104+101}{7}=\frac{743}{7}\approx106{,}1.
  \]
  \conclusion{la masse moyenne est d'environ $\boxed{106\ \text{kg}}$.}

  \item On range les sept masses dans l'ordre croissant :
  \[
  87\ ;\ 96\ ;\ 101\ ;\ \mathbf{104}\ ;\ 113\ ;\ 117\ ;\ 125.
  \]
  L'effectif total est 7, un nombre impair : la médiane est la valeur de rang
  $\dfrac{7+1}{2}=4$, c'est-à-dire la quatrième.

  \conclusion{la médiane est $\boxed{104\ \text{kg}}$. Cela signifie qu'au moins la moitié des
  tortues pesées ont une masse inférieure ou égale à 104 kg, et qu'au moins la moitié ont une
  masse supérieure ou égale à 104 kg.}

  \item L'échantillon compte 2 mâles (A-001 et A-005) sur 7 tortues. Leur proportion est
  \[
  \frac{2}{7}\approx0{,}286=28{,}6\ \%.
  \]
  Or $28{,}6\ \%>20\ \%$.

  \conclusion{non, c'est faux : les mâles représentent environ 29 \% de l'échantillon, donc
  \emph{plus} de 20 \%.}

  \item Madagascar a pour coordonnées (20 Sud ; 45 Est) : la croix se place à l'intersection du
  parallèle 20\degres{} \emph{sous} l'équateur et du méridien 45\degres{} \emph{à droite} du
  méridien de Greenwich (0\degres), c'est-à-dire sur la grande île située à l'est de l'Afrique
  australe.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{20}

\begin{enumerate}
  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item On part de 2 :
    \[
    2+2=4,\qquad 4^{2}=16,\qquad 16-2^{2}=16-4=12.
    \]
    On obtient bien 12.

    \item On part de $-8$ :
    \[
    -8+2=-6,\qquad (-6)^{2}=36,\qquad 36-(-8)^{2}=36-64=-28.
    \]
    \conclusion{on obtient $\boxed{-28}$.}
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item La cellule B5 traduit la dernière ligne du programme : « soustraire le carré du nombre de
  départ au résultat précédent ». Le résultat précédent est en B4 et le nombre de départ en B2.

  \conclusion{la formule saisie est $\boxed{\texttt{=B4 - B2 * B2}}$.}

  \smallskip
  Les deux autres ne conviennent pas : \mbox{\texttt{=B2 + 2}} donnerait 7, ce qui est le contenu de B3,
  et \mbox{\texttt{= B3 * B3}} donnerait 49, ce qui est le contenu de B4.

  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item On suit le programme avec $x$ pour nombre de départ : on obtient successivement $x+2$,
    puis $(x+2)^{2}$, puis $(x+2)^{2}-x^{2}$.

    \conclusion{le résultat final est $\boxed{(x+2)^{2}-x^{2}}$.}

    \item On développe $(x+2)^{2}$ avec l'identité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ :
    \[
    (x+2)^{2}-x^{2}=\bigl(x^{2}+4x+4\bigr)-x^{2}=4x+4.
    \]
  \end{enumerate}
  \end{minipage}

  \item D'après la question 3.b, le résultat du programme s'écrit $4x+4$, que l'on peut
  factoriser :
  \[
  4x+4=4(x+1).
  \]
  Si $x$ est un nombre entier, alors $x+1$ est aussi un nombre entier, et $4(x+1)$ est le produit
  de 4 par un entier.

  \conclusion{oui, c'est exact : le résultat est toujours un multiple de 4.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{20}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item La boucle « répéter 3 fois : avancer de 100 pas, tourner de 120\degres{} » trace trois
    côtés de même longueur en tournant à chaque fois du même angle : c'est un
    \textbf{triangle équilatéral} de côté 100 pas.

    \smallskip
    La boucle « répéter 4 fois : avancer de \dots{} pas, tourner de 90\degres{} » trace quatre
    côtés de même longueur avec quatre angles droits : c'est un \textbf{carré}.

    \item Sur la figure C, le carré et le triangle sont posés côte à côte et ont visiblement le
    même côté ; sur la figure B, le sommet du triangle atteint exactement le côté gauche du
    carré. Le côté du carré est donc égal à celui du triangle.

    \conclusion{la valeur manquante à la ligne 8 est $\boxed{100}$ pas.}

    \item Les trois programmes ne diffèrent que par l'instruction placée à la ligne 6, entre le
    triangle et le carré. Cette instruction décide de l'endroit où démarre le carré.

    \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
    \begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{9.3cm}|}
    \hline
    \textbf{Figure} & \textbf{Programme} & \textbf{Ce que fait la ligne 6}\\
    \hline
    A & \textbf{3} & « tourner de 60\degres{} » : le stylo ne se déplace pas, le carré part du
    sommet où le triangle s'est refermé, mais incliné. Les deux figures n'ont qu'un sommet
    commun et sont inclinées l'une par rapport à l'autre.\\
    \hline
    B & \textbf{1} & « avancer de 50 pas » : le stylo s'arrête au milieu d'un côté du triangle.
    Le carré démarre de ce milieu et recouvre une partie du triangle.\\
    \hline
    C & \textbf{2} & « avancer de 100 pas » : le stylo parcourt un côté entier et atteint le
    sommet suivant. Le carré démarre de ce sommet et se place à côté du triangle, sans le
    recouvrir.\\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}
  \end{enumerate}

  \item \begin{minipage}[t]{0.93\linewidth}
  \begin{enumerate}[topsep=0pt]
    \item Le triangle est équilatéral de côté 100 pas, donc son périmètre vaut
    \[
    3\times100=300\ \text{pas}.
    \]
    On cherche le côté $c$ du carré tel que son périmètre soit lui aussi égal à 300 pas :
    \[
    4\times c=300,\qquad\text{soit}\qquad c=\frac{300}{4}=75.
    \]
    \conclusion{il faut choisir $\boxed{75}$ pas à la ligne 8.}

    \item L'échelle demandée est 1 cm pour 25 pas. Le triangle a donc des côtés de
    $100\div25=4$ cm et le carré des côtés de $75\div25=3$ cm. Comme dans la figure A, ils
    partagent un sommet et le carré est incliné de 60\degres.

    \begin{center}
    \figAbis
    \end{center}
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{20}

\begin{enumerate}
  \item Une réduction de 10 \% revient à prendre $\dfrac{10}{100}$ du prix affiché :
  \[
  139{,}90\times\frac{10}{100}=13{,}99.
  \]
  \conclusion{la réduction s'élève à $\boxed{13{,}99\ \text{\euro}}$. La famille a donc payé
  $139{,}90-13{,}99=125{,}91$ \euro.}

  \item En pivotant autour du point A, le sommet C décrit un arc de cercle de centre A et de
  rayon AC. Le point le plus haut de cet arc est atteint lorsque C se trouve à la verticale de
  A : c'est le point E du schéma, et sa hauteur au-dessus du sol est exactement AC.

  \smallskip
  Il suffit donc de calculer AC. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de
  Pythagore :
  \[
  \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}
  =0{,}80^{2}+2{,}25^{2}
  =0{,}64+5{,}0625
  =5{,}7025 .
  \]
  Une longueur étant positive :
  \[
  \mathrm{AC}=\sqrt{5{,}7025}\approx2{,}39\ \text{m}.
  \]
  Or le plafond est à 2,40 m du sol, et $2{,}39<2{,}40$.

  \conclusion{la hauteur maximale atteinte par l'étagère pendant la manœuvre est d'environ
  $2{,}39$~m, inférieure à $2{,}40$~m : \textbf{l'étagère ne touchera pas le plafond}. La marge est
  cependant très faible, de l'ordre du centimètre.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Les quatre tablettes sont régulièrement espacées : les points E, G, I et K partagent
    le segment $[\mathrm{B'C'}]$ en cinq segments de même longueur. Donc :
    \[
    \mathrm{C'E}=\frac{\mathrm{B'C'}}{5}=\frac{2{,}25}{5}=0{,}45.
    \]
    \conclusion{$\boxed{\mathrm{C'E}=0{,}45\ \text{m}}$.}

    \item Les tablettes sont horizontales et le sol l'est aussi, donc $(\mathrm{DE})$ et
    $(\mathrm{AB'})$ sont parallèles.

    \smallskip
    Dans le triangle $\mathrm{C'AB'}$ : D appartient à $[\mathrm{C'A}]$, E appartient à
    $[\mathrm{C'B'}]$ et $(\mathrm{DE})\parallel(\mathrm{AB'})$. D'après le théorème de Thalès :
    \[
    \frac{\mathrm{C'D}}{\mathrm{C'A}}=\frac{\mathrm{C'E}}{\mathrm{C'B'}}
    =\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB'}} .
    \]
    On connaît le rapport du milieu :
    $\dfrac{\mathrm{C'E}}{\mathrm{C'B'}}=\dfrac{0{,}45}{2{,}25}=\dfrac{1}{5}$, d'où :
    \[
    \frac{\mathrm{DE}}{0{,}80}=\frac{1}{5},\qquad
    \mathrm{DE}=\frac{0{,}80}{5}=0{,}16 .
    \]
    \conclusion{la tablette $[\mathrm{DE}]$ mesure $\boxed{0{,}16\ \text{m}}$, soit 16 cm.}

    \item On procède de même avec la tablette $[\mathrm{HI}]$. Le point I est le troisième point
    de partage à partir de C$'$, donc :
    \[
    \mathrm{C'I}=3\times0{,}45=1{,}35\quad\text{et}\quad
    \frac{\mathrm{C'I}}{\mathrm{C'B'}}=\frac{1{,}35}{2{,}25}=\frac{3}{5}.
    \]
    Dans le triangle $\mathrm{C'AB'}$ : H appartient à $[\mathrm{C'A}]$, I appartient à
    $[\mathrm{C'B'}]$ et $(\mathrm{HI})\parallel(\mathrm{AB'})$. D'après le théorème de Thalès :
    \[
    \frac{\mathrm{C'H}}{\mathrm{C'A}}=\frac{\mathrm{C'I}}{\mathrm{C'B'}}
    =\frac{\mathrm{HI}}{\mathrm{AB'}},
    \qquad\text{donc}\qquad
    \mathrm{HI}=0{,}80\times\frac{3}{5}=0{,}48 .
    \]
    \conclusion{la tablette $[\mathrm{HI}]$ mesure $\boxed{0{,}48\ \text{m}}$, soit 48 cm.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
