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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Métropole -- septembre 2025}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Métropole, septembre 2025}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est
%donnée.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une
%trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.}
%
%\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip

%Pour faire écouter de la musique à son enfant, Aurélie a sélectionné 22 chansons :
%
%9 chants de Noël, 6 comptines et des berceuses.
%
%Le temps d'écoute total des chansons de sa liste est de 55 minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %MCalculer le nombre de berceuses présentes dans la liste.
Le nombre de berceuses présentes dans la liste est égale à la différence :
\[22 - (9 + 6) = 22 - 15 = 7.\]

\item %Calculer la durée moyenne d'une chanson de cette liste. Le résultat sera donné en minute et seconde.
Le temps total pour écouter les 22 musiques est de 55 minutes soit une moyenne par chanson de :

\[\dfrac{55}{22} = \dfrac{11 \times 5}{11 \times 2} = \dfrac52 = 2,5.\]

Or 2,5~min = 2~min 30 s.

En moyenne écouter une chanson dure deux minutes et demie.
\item %Aurélie écoute une chanson. Elle utilise la fonction aléatoire de son lecteur, c'est-à-dire que la chanson écoutée est choisie au hasard parmi toutes les chansons de la liste.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité que la chanson écoutée soit une comptine est égale à $\dfrac{3}{11}$.
		Il y a 6 comptines sur les 22 chansons ; la probabilité d'écouter une comptine est donc égale à :
		
		\[\dfrac{6}{22} = \dfrac{3}{11}.\]
		\item %Quelle est la probabilité que la chanson écoutée ne soit pas une berceuse ?
On a vu que 15 chansons sur 22 ne sont pas des berceuses. La probabilité de ne pas écouter une berceuse est donc égale à :
\[\dfrac{15}{22}.\]

		\item %Les chansons sont numérotées de 1 à 22. On considère l'évènement :
De 1 à 22, il y a 2~;~3~;~5~;~7~;~11~;~13~;~17~;~19 qui sont des naturels premiers, soit 8 nombres premiers.

La probabilité d'écouter une musique dont le numéro est premier est donc égale à 

$\dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11}$.

Comparer $\dfrac{4}{11}$ et $\dfrac13$, c'est comparer $\dfrac{4}{11} = \dfrac{4 \times 3}{11\times 3} = \dfrac{12}{33}$ avec $\dfrac13 = \dfrac{1 \times 11}{3 \times 11} = \dfrac{11}{33}$.

Comme $\dfrac{11}{33} < \dfrac{12}{33}, \qquad \dfrac13 < \dfrac{4}{11}$.

La probabilité d'écouter une musique étiquetée par un nombre premier est donc supérieure à $\dfrac13$.
%\begin{center}\og Le numéro de la chanson écoutée est un nombre premier. \fg\end{center}
%La probabilité de cet évènement est-elle supérieure à
%$\dfrac13$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 18 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple(QCM). Pour chaque question, quatre
%réponses (A, B, C ou D) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la série suivante :

\[4~;~8~;~11~;~7~;~2~;~3~;~14\]

L'étendue est égale à $14 - 2 = 12$ : réponse C.
%Quelle est l'étendue de cette série ?
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D\\ \hline
%10 &7& 12& 14\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item %Quel est le volume correspondant à 1 L ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D\\ \hline 
%1 m$^3$& 1cm$^3$&1dm$^3$&1mm$^3$\rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
1 L = 1 dm$^3$ : réponse C.
\item %Quel est le nombre dont l'écriture scientifique est $8,6 \times 10^{-4}$ ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D\\ \hline 
%\np{86000}& \np{0,00086}& \np{- 0,00086}& \np{0,000086}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$8,6 \times 10^{-4} = \np{0,00086}$ : réponse B.
\item %La longueur et la largeur du drapeau de la France sont dans le ratio $3~:~2$.

%Quelle est la largeur du drapeau de la France dont la longueur est égale à 90~cm ? 
On a $\dfrac{\text{Longueur}}{\text{largeur}} = \dfrac32 = \dfrac{90}{\text{largeur}}$, d'où (par produits en croix : $3\text{largeur} = 2 \times 90$ et en simplifiant par 3 : $\text{largeur} = 2 \times 30 = 60$ : réponse D.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D\\ \hline
%54 cm &135 cm& 45 cm&  60 cm\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %Le prix d'un parfum est passé de $75$~\euro{} à $60$~\euro.

%Quel pourcentage de réduction a été appliqué ?
La baisse est de $75 - 60 = 15$~(\euro) pour un prix initial de 75~\euro, soit une baisse en pourcent de :

$\dfrac{15}{75} \times 100 = \dfrac{15 \times 1}{15 \times 5} \times 100 = \dfrac{1}{5} \times 100 = 20$~(\%) : réponse D.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D\\ \hline
%80\,\%& 25\,\%& 15\,\%& 20\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %Quelle est la forme factorisée de $4x^2 - 25$ ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A			&B					&C					&D\\ \hline
%$(2x - 5)^2$&$(2x - 5)(2x + 5)$& $(4x - 5)(4x + 5)$& $(4x - 5)^2$\rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2$: cette différence de deux carrés se factorise en 

$(2x + 5)(2x - 5) = (2x - 5)(2x + 5)$ : réponse B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item ABC un triangle rectangle en B ;
\item les points B, E et C sont alignés ainsi que
les points A, D, F et C ;
\item les droites (BD) et (EF) sont parallèles :
\item AB = 10 cm, BC = 7,5 cm, BE = 3 cm,

BD = 6 cm et CF = 2,7 cm.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(7.8,0)(0,5.8)
\psline(2.78,3.75)
\psline(0,2.4)(1.63,4.6)
\uput[d](7.8,0){A}\uput[dl](0,0){B}\uput[ul](0,5.8){C}\uput[ur](2.78,3.75){D}
\uput[l](0,2.4){E}\uput[ur](1.63,4.6){F}
\psframe(0.3,0.3)
%\psarc(3.9,0){3.9}{0}{120}
%\psarc(0,4.1){1.7}{-90}{90}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que CE $= 4 ,5$ cm.
De BE + EC = BC, soit $3 + \text{EC} = 7,5$, on déduit que EC = CE $= 7,5 - 3 = 4,5$~(cm).
		\item %Démontrer que la longueur EF est égale à $3,6$ cm.
C, E et B d'une part, C, F et D sont alignés et les droites (EF) et (BD) sont parallèles : d'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{CE}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BD}}$, soit $\dfrac{4,5}{7,5} = \dfrac{\text{EF}}{6}$.

On en déduit que EF $ = 6 \times \dfrac{4,5}{7,5} = 3,6$~(cm).
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle CEF est rectangle en F.
On a CF$^2 = 2,7^2 = 7,29$ ;

EF$^2 = 3,6^2 = 12,96$ ;

CE$^2 = 4,5^2 = 20,25$.

Or $7,29 + 12,96 = 20,25$ ou encore $\text{EF}^2 + \text{CE}^2 = \text{CE}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, cette égalité montre que EFC est un triangle rectangle en F.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$. Arrondir au degré.
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a $\tan \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{10}{7,5} \approx 1,333$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{BCA}} \approx 53,12$~(degrés), soit environ $53\degres$ au degré près.
		\item %Les triangles ABC et CEF sont-ils semblables ?
Les triangles ABC et EFC ont deux angles de même mesure : les angles droits en B et respectivement et l'angle $\widehat{\text{C}}$ : leurs troisièmes angles ont donc même mesure et ces deux triangles sont semblables.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour une température de l'eau de $26~\degres C$, le temps de filtration est de $15$~h.
$26 \longmapsto 26 + 4 = 30  \longmapsto 30 \times 0,5 = 15$ : on obtient un temps de filtration de 15 h. 
\item %On note $x$ la température de l'eau de la piscine (en degré Celsius).

%Montrer que le temps de filtration, en heure, peut s'écrire $0,5x + 2$.
De même : $x  \longmapsto x + 4  \longmapsto 0,5 \times (x + 4) = 0,5x + 2$.
\item %On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie par 
$f(x) = 0,5x + 2$ où $x$ désigne la température de l'eau (en $\degres C$) et $f(x)$ le temps de filtration (en h).

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.4cm,arrowsize=2pt 3,dash=1mm 1mm}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(18,14)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,14)}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.15pt,linestyle=dashed](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(18,14)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{0.5 x mul 2 add}
\uput[u](17.5,0){$x$}\uput[r](0,13.5){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Le temps de filtration est-il proportionnel à la température de l'eau de la piscine ?
On lit sur le graphique :

$f(6) = 5$ et $f(12) = 8$ : pour une température doublée le temps de filtration ne l'est pas  : le temps de filtration n'est pas proportionnel à la température de l'eau de la piscine.

On peut aussi remarquer que la droite représentative de la fonction $f$ ne contient pas l'origine.
		\item %Quelle est l'image de 10 par la fonction ? Aucune justification n'est demandée.
$\bullet~$Sur le graphique on lit $f(10) = 7$ ;

$\bullet~$Par le calcul : $0,5 \times 10 + 2 = 5 + 2 = 7$/
	\end{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $0,5x + 2 = 17$ et interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
$0,5x + 2 = 17$ entraine en ajoutant $- 2$ à chaque membre : $0,5x = 15$, puis en multipliant chaque membre par 2 : $x = 30$.

Cela signifie que pour une température de $30\degres$ C, le temps de filtration doit être de 15 h.
\item %M. Durand a décidé de filtrer sa piscine 16~h par jour, tous les jours du 1\up{er} juillet au 31 août inclus.

%À l'aide des documents ci-dessous, calculer la dépense liée au fonctionnement de la filtration au cours de cette période.

%\emph{Laisser toute trace de recherche, même si elle n'a pas abouti.}
\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\begin{minipage}{0.4\linewidth}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Document 1 : Puissance}\\
%Puissance de la pompe : 0,8 kW\\
%kW signifie kiloWatt\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{minipage} \hfill
%\begin{minipage}{0.4\linewidth}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Document 2 : Prix}\\
%Prix d'un kWh : $0,23$~\euro\\
%kWh signifie kiloWatt-heure\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{minipage}
%
%\medskip
%
%\begin{minipage}{\linewidth}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Document 3 : Calcul de la consommation électrique de la pompe (en kWh)}\\
%Puissance de la pompe (en kW) $\times$ nombre d'heures d'utilisation par jour $\times$ nombre de jours\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{minipage}
La pompe a fonctionné pendant deux mois de 31 jours pendant 16 h chaque jour, soit pendant $2 \times 31 \times 16 = 992$~(h).

D'après la formule donnée la dépense est donc égale à :

$0,8 \times 992 \times 0,23 = 182,528$, soit 182,53~\euro.

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}

\medskip

Le dessus d'une table carrée, de côté 80 cm, est composé de quatre plaques rectangulaires en bois identiques et d'une plaque carrée en verre au centre. Chaque plaque en bois a pour longueur $60$~cm et pour largeur $20$~cm.

Voici la vue du dessus de la table :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(14,5)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,0)(8.1,1.2)
\rput(6.3,0.6){1}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(9.2,3.6)
\rput(8.6,1.8){2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.2,3.6)(5.6,4.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.6,4.8)(4.5,1.2)
\rput(2.6,1.4){Plaque en bois}\rput(11,3.2){Plaque en verre}
\psline{->}(3.7,1.2)(5.5,0.6)
\psline{->}(9.8,3.2)(6.8,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que l'aire du dessus de la table est égale à \np{6400} cm$^2$.
L'aire d'un carré de côté $a$ est $a^2$, donc l'aire de la table est : $(60 + 20)^2 = 80^2 = \np{6400}~\left(\text{m}^2\right)$.
\item %Montrer que l'aire de la plaque en verre représente 25\,\% de l'aire totale du dessus de la table.
La mesure des côtés de la plaque en verre est égale à $60 - 20 = 40$~(cm). Son aire est donc égale à $40^2 = \np{1600}~\left(\text{m}^2\right)$.

Or $\dfrac{\np{1600}}{\np{6400}} = \dfrac{\np{1600}\times 1}{\np{1600}\times 4} = \dfrac14 = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100} = 25\,\%$.
\item %Quel est le nom de la transformation géométrique permettant de passer du rectangle \no 1 au rectangle \no 2 ? Aucune justification n'est demandée.
On passe de la plaque 1 à la plaque 2 par une rotation de 90 degrés dans le sens horaire.
\item %On souhaite réaliser un dessin du dessus de cette table avec le logiciel Scratch.

%Le lutin est orienté vers la droite.

%On a créé le bloc ci-dessous permettant de dessiner le rectangle \no 1 de la figure précédente, dans lequel 1 pas correspond à 1~cm.
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter les lignes 3, 5 et 6 du bloc.
		
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Rectangle}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalvariable{60} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{ 90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{ 20} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
		\item %Parmi les trois programmes ci-dessous, lequel permet de tracer la vue du dessus de la table ?

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(14,5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,0)(8.1,1.2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(9.2,3.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.2,3.6)(5.6,4.8)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.6,4.8)(4.5,1.2)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Programme A&Programme B&Programme C\\ \hline
%\begin{scratch}[scale=0.8]
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockmoreblocks{Rectangle}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%}
%\end{scratch}
%&
%\begin{scratch}[scale=0.8]
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockmoreblocks{Rectangle}
%\blockmove{avancer de \ovalvariable{60} pas}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%}
%\end{scratch}
%&
%\begin{scratch}[scale=0.8]
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockmoreblocks{Rectangle}
%\blockmove{avancer de \ovalvariable{80} pas}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%}
%\end{scratch}
%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
C'est le programme C qui permet de dessiner la table.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
