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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
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        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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}\\[4mm]%
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Polynésie, juin 2010}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVIT�S NUM�RIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item D�terminons le PGCD de $120$ et $144$ par l'algorithme d'Euclide :
\begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{1pt}
PGCD(144;120)\\
=PGCD(120;24)\\
=\fbox{24}\\
$144=1\times 120+$\fbox{24}\\
$120=5\times 24+0$
\end{multicols}
Le plus grand diviseur commun de 144 et 120 est 24.
\item Un vendeur poss�de un stock de $120$~flacons de parfum au tiare et de $144$~savonnettes au mono�.
 

Le nombre de flacons de parfum au tiare et de savonnettes doit le m�me dans chaque coffret et tous les flacons et savonnettes doivent �tre utilis�s, donc on recherche un diviseur commun � 144 et 120.

Il veut confectionner le plus grand nombre de coffrets donc on recherche le PGCD de 144 et 120.

D'apr�s la question pr�c�dente, il faudra 24 coffrets � pr�parer.

$144:24=6$ et $120:24=5$ donc chaque coffret contiendra \fbox{6 savonnettes et 5 flacons de parfum}.
\medskip
 
%\emph{L'�valuation de cette question tiendra compte des observations et �tapes de recherche, m�me incompl�tes; les faire appara�tre sur la copie.}

\medskip
 
\item L'algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donn�s.
 
Il utilise la propri�t� suivante : 

\og $a$ et $b$ �tant deux entiers positifs tels que $a$ sup�rieur � $b$,

PGCD $(a~;~b)$ = PGCD $(b~;~a - b)$. \fg
 
Sur un tableur, Heiarii a cr�� cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de \np{2277} et \np{1449}.

\medskip

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B& C\\ \hline 
1 & $a$&$b$& $a - b$\\ \hline  
2 &\np{2277}&\np{1449} 	&828\\ \hline  
3 &\np{1449}&828 		&621\\ \hline  
4 &828 		&621 		&207\\ \hline  
5 &621 		&207 		&414 \\ \hline 
6 &414 		&207 		&207 \\ \hline 
7 &207 		&207 		&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant sa feuille de calcul, le PGCD de \np{2277} et \np{1449} est \fbox{207} (derni�re diff�rence non nulle). 
		\item La formule �crite dans la cellule C2 pour obtenir le r�sultat indiqu� dans cette cellule par le tableur est \fbox{=A2-B2}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Sur le man�ge \og Caroussel \fg, il y a quatre chevaux, deux �nes, un coq, deux lions et une vache.
Il y a donc $4+2+1+2+1=$\fbox{$10$} animaux.

Sur chaque animal, il y a une place. Vaite s'assoit-au hasard sur le man�ge.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilit� qu'elle monte sur un cheval est $\dfrac 4{10}=$\fbox{$\dfrac 25$}
\item On consid�re les �v�nements suivants :

\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og Vaite monte sur un �ne. \fg 
\item[] $C$ : \og Vaite monte sur un coq. \fg
\item[] $L$ : \og Vaite monte sur un lion.\fg 
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item L'�v�nement \emph{non} $L$ est : \og Vaite ne monte pas sur un lion.\fg et a comme probabilit� $p\left(\overline{L}\right)=\dfrac{10 - 2}{10}=\dfrac{8}{10}=$\fbox{$\dfrac 45$}  
		\item La probabilit� de l'�v�nement $A$ \emph{ou} $C$ est $p(A\text{ ou }C)= p(A) +p(C)$ car les �v�nements sont disjoints (ou incompatibles), car Vaite ne peut pas monter sur deux animaux � la fois !!!

Donc $p(A\text{ ou }C)= p(A) +p(C)=\dfrac{2}{10}+\dfrac{1}{10}=$\fbox{$\dfrac{3}{10}$}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Hiti et Kalu sont deux entreprises de cent personnes qui ont fait para�tre les informations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3} \cline{5-7} 
Salaire moyen en francs &
Entreprise Hiti&
Entreprise Kalu&&Effectif Hommes/ Femmes&Entreprise Hiti&Entreprise Kalu \\ \cline{1-3}\cline{5-7}
Hommes& \np{168000} &\np{180000}&&Hommes&50&20\\ \cline{1-3}\cline{5-7} 
Femmes&\np{120000} &\np{132000}&&Femmes &50 &80\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\end{tabularx}

\medskip

Calculons la moyenne des salaires dans l'entreprise Hiti :

$\dfrac{168000\times 50+120000\times 50}{50+50}=\dfrac{14400000}{100}=144000$ soit \fbox{$144\,000$} francs.

Calculons la moyenne des salaires dans l'entreprise Kalu :

$\dfrac{180000\times 20+132000\times 80}{20+80}=\dfrac{14160000}{100}=141600$ soit \fbox{$141\,600$} francs.
 
K�vin a tort. En moyenne, on est mieux pay� chez Hiti !


\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVIT�S G�OM�TRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.44\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\emph{L'unit� de longueur est le centim�tre.} 

Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH o� H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].
 
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K.
 
On donne BC = 14~cm, AL = 6~cm et AK $= x$~cm o� $x$ d�signe un nombre positif}
\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(10,4.5)
\pspolygon(0,0)(9.4,0)(3,4.05)
\psframe(2.3,0)(4.3,3.2)\psline(3,4.05)(3,0)
\uput[d](0,0){B} \uput[d](2.3,0){E}\uput[d](3,0){L}\uput[d](4.3,0){F}
\uput[d](9.4,0){C}\uput[ur](4.3,3.2){G}\uput[ur](3,3.2){K}\uput[ul](2.3,3.2){H}\uput[u](3,4.05){A}\psframe(2.3,0)(2.6,0.3)\psframe(3,0)(3.3,0.3)  \psframe(4.3,0)(4,0.3)   \psframe(4.3,3.2)(4,2.9)   \psframe(2.3,3.2)(2.6,2.9)
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 1 :}  Dans cette partie, on se place dans le 
cas particulier ou BL = $4,8$~cm et $x = 1$~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Figure en vraie grandeur. 
\item L'aire en cm$^2$ du triangle BLA est $\dfrac{\text{BL}\times \text{LA}}{2}=\dfrac{4,8\times 6}{2} = 4,8\times 3 = 14,4~\left(\text{cm}^2\right)$ 
\item On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parall�les. 
La propri�t� qui permet cette justification est  
\og Si un quadrilat�re est un rectangle alors ses c�t�s oppos�s sont parall�les deux � deux.\fg 
\item Dans le rectangle EFGH, les droites (HK) et (EF) sont parall�les, or (EF) = (BL) donc (HK)/\!/ (BL).

De plus les droites (BH) et (LK) sont s�cantes en A.

D'apr�s le th�or�me de Thal�s, on a :

$\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}=$\fbox{$\dfrac{\text{AK}}{\text{AL}}=\dfrac{\text{HK}}{\text{BL}}$}

Donc $\dfrac{1}{6}=\dfrac{\text{HK}}{4,8}$, puis HK $=\dfrac{1\times 4,8}{6} =0,8~(\text{cm})$

Le segment [HK] mesure \fbox{$0,8~(\text{cm})$}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas g�n�ral o� BL et $x$ ne sont pas connus.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les points A, K, L �tant align�s,  la longueur KL vaut $(6-x)$~\text{cm}. 
\item On d�place le point K sur le segment [AL]. L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs KL et HG pour diff�rentes valeurs de $x$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &0,6 &1,5 &1,8 &2,1 &4,2 &4,5 &5,1\\ \hline 
KL& 5,4 &4,5 &4,2 &3,9 &1,8 &1,5 &0,9\\ \hline  
HG &1,4 &3,5 &4,2 &4,9 &9,8 &10,5 &11,9\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip

 
	\begin{enumerate}
		\item Par une simple lecture de tableau,  KL $=1,5~\text{cm}$ et HG $=10,5~\text{cm}$ pour $x$ �gal � 4,5 cm.
		\item Pour  $x = 1,8$  on a l'�galit� KL = HG = 4,2~\text{cm}.
		 
Dans ce cas, le quadrilat�re EFGH est un carr�.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
  
\emph{Cet exercice est un questionnaire � choix multiples. Aucune justification n'est demand�e.\\ Pour chaque question, quatre r�ponses sont propos�es, mais une seule est exacte.\\ �crire sur votre copie le num�ro de la question et la r�ponse exacte A, B, C ou D choisie.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6} 
\multicolumn{2}{c|}{}&R�ponse A&R�ponse B&R�ponse C& R�ponse D\\ \hline 
1.& IJK est un triangle rectangle en I tel que :

IK = 2,7~cm et KJ = 4,5~cm. Quelle est la longueur du c�t� [IJ] ?& 
12,96 cm& \fbox{3,6 cm} &1,8 cm &5,2 cm\\ \hline 
2.&On rappelle la formule du volume d'une boule de rayon $r$ :

 V $= \dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$. Le volume exact en cm$^3$ d'une balle de tennis de 3,3~cm de rayon est :&$13,2\pi$ &150 &$47\pi$& \fbox{$47,916\pi$}\\ \hline 
3.& Dans le cube ABCDEFGH, le quadrilat�re ADGF est un :
\psset{unit=0.77cm}\begin{pspicture}(5,5)\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0.4)(3.3,2.6)(4.3,3.8)(1.6,1.6)\pspolygon(0.6,0.4)(3.3,0)(3.3,2.6)(0.6,3)\psline(3.3,0)(4.3,1.2)(4.3,3.8)(3.3,2.6)\psline(4.3,3.8)(1.6,4.2)(0.6,3)\psline[linestyle=dashed](0.6,0.4)(1.6,1.6)(1.6,4.2)
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.6)(4.3,1.2)
\uput[dl](0.6,0.4){A} \uput[dr](3.3,0){B} \uput[r](4.3,1.2){C} \uput[ul](1.6,1.6){D} 
\uput[l](0.6,3){E} \uput[r](3.3,2.6){F} \uput[ur](4.3,3.8){G} \uput[u](1.6,4.2){H} 
\end{pspicture}& losange &carr� &\fbox{rectangle} &parall�\-l�pip�de rectangle\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBL�ME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Une compagnie de transport maritime met � disposition deux bateaux appel�s CatamaranExpress et FerryVogue pour une travers�e inter-�les de 17~kilom�tres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le premier d�part de CatamaranExpress est � 5~h~45~min pour une arriv�e � 6~h~15~min, donc le trajet dure $0,5~h$

Sa vitesse moyenne est donc $\dfrac{17~\text{km}}{0,5~\text{h}}=$\fbox{$34$~km/h}.
\item La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20~km/h.

La dur�e du voyage est :$\dfrac{17~\text{km}}{20~\text{km.h}^{-1}}=\dfrac{17}{20}~\text{h}=0,85~\text{h}=0,85\times 60~\text{min}=51\text{min}$.

S'il quitte le quai � 6~h, il arrivera � \fbox{6~h~51~min}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On donne en document annexe les repr�sentations graphiques $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ de deux fonctions.

L'une d'entre elles est la repr�sentation graphique d'une fonction affine $g$ d�finie par :
 
\[g(x) = \np{1000} x + \np{6000}\]
 
� l'aide du graphique, r�pondre aux questions suivantes en faisant appara�tre les trac�s n�cessaires � la lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les coordonn�es du point E semblent �tre E(7~;~\np{21000}) (voir les pointill�s sur la figure). 
\item Les abscisses des points d'intersection des deux repr�sentations graphiques semblent �tre 3 et 15  (voir les pointill�s sur la figure). 
\item  $g$ est une fonction affine donc sa courbe est une droite. Donc c'est la courbe $\mathcal{C}_2$
\item L'image de $12$ par la fonction $g$ semble �tre \fbox{\np{18000}}. V�rifions en calculant $g(12)$ :

$g(12)= \np{1000}\times 12+\np{6000}=\np{12000}+\np{6000} = $\fbox{$\np{18000}$} 
 \item L'ant�c�dent de \np{15000} par la fonction $g$ semble �tre \fbox{$9$}.  Retrouvons ce r�sultat en r�solvant l'�quation :
\end{enumerate}
\begin{center}
$\begin{array}{rcl}
\np{1000}x+\np{6000}&=&\np{15000}\\
\np{1000}x&=&\np{15000}-\np{6000}\\
x&=&\dfrac{\np{9000}}{\np{1000}}\\
x&=&9
\end{array}$
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage quel que soit le bateau choisi :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif M : on paie \np{2500}~francs chaque voyage. 
\item[$\bullet~$] Tarif N : on paie une carte mensuelle � \np{6000}~francs auquel s'ajoute \np{1000}~francs pour chaque voyage. 
\item[$\bullet~$] Tarif P : on paie \np{3000}~francs par voyage jusqu'au septi�me voyage puis on effectue gratuitement les autres travers�es jusqu'� la fin du mois.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les prix � payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont repr�sent�s par les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 

Courbe $\mathcal{C}_{1}$ : Tarif P

Courbe $\mathcal{C}_{2}$ : Tarif N

\item La fonction $f$ d�finie par : $f~:~ x \longmapsto  \np{2500} x$ est une fonction lin�aire, donc sa courbe repr�sentative est une droite passant par l'origine du rep�re.

De plus $f(10)= \np{25000}$ donc $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonn�es $(10,~\np{25000})$. Voir le graphique.
\item Pour un nombre de voyages compris entre 4 et 15,  le tarif N est plus avantageux que les deux autres (voir la fl�che sur le graphique).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe � rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.66cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-1,-500)(18,28000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=30000]{->}(0,0)(0,-500)(18,28000)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(7,21000)(18,21000)
\psline[linewidth=1pt](0,6000)(18,24000)
\uput[d](17.5,21000){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[u](17.5,23500){$\mathcal{C}_{2}=\mathcal{C}_{g}$}
\uput[u](9.5,26000){$\mathcal{C}_{3}=\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ul](7,21000){E}
\psline[linestyle=dashed](7,0)(7,21000)(0,21000)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,9000)
\psline[linestyle=dashed](15,0)(15,21000)
\psline[linestyle=dashed](12,0)(12,18000)(0,18000)
\psline[linestyle=dashed](9,0)(9,15000)(0,15000)
\psline[linestyle=dashed](10,0)(10,25000)(0,25000)
\psline[linecolor=blue](4,10000)(15,21000)
\uput[u](16.5,0){Nombre de voyages}
\psline{<->}(4,10000)(15,10000)
\uput[90](9.5,9550){Tarif N le plus avantageux}
\rput(0,28500){Prix � payer}
\multido{\n=0+2000,}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0.0+0.5}{37}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,28000)}
\multido{\n=0+1000}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psplot{0}{11.25}{x 2500 mul}
\end{pspicture}


\end{center}

\end{document}
