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% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Polynésie -- juin 2011}
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\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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    \end{scope}
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Polynésie, juin 2011}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}.
% 
%Pour chacune des cinq questions, \textbf{écrire sur votre copie} le numéro de la question et la lettre  A, B, C ou D correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%\no &question &A &B &C &D\\ \hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}1&$\dfrac{1}{9} +  \dfrac{1}{6}$ est égal à :&$\dfrac{2}{15}$&0,277&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{1}{15}$\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}2&$\sqrt{9 + 16}$ est égal à :&$\sqrt{9} + \sqrt{16}$&25&7&5\\ \hline 
%3&Un article coûte \np{1240}~F. Son prix diminue de 5\,\%. Le montant de cette réduction est égal à :&0,05 F& 5 F& 620 F &62 F\\ \hline 
%4&L'équation $(2x - 1) (3x + 5 ) = 0$ a pour solutions : &1 et  5&$\dfrac{1}{2}$ et $- \dfrac{5}{3}$&2 et $- \dfrac{3}{5}$&$- \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$\\ \hline
% 5& $x^2 - 100$ est égal à :& $(x - 10)^2$& \scriptsize $(x - 10)(x + 10)$& $(x - 50)^2$& $- 98$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{9} +  \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{18} + \dfrac{3}{18} = \dfrac{5}{18}$. Réponse C.
\item $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Réponse D.
\item 5\,\% de \np{1240} représente $0,05 \times \np{1240} = 62$. Réponse D.
\item ou $2x - 1 = 0$ ou $3x + 5 = 0$, soit ou $x = \dfrac{1}{2}$ ou $x = - \dfrac{5}{3}$. Réponse B.
\item $x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)$. Réponse B.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%Voici, pour la production de l'année 2009, le relevé des longueurs des gousses de vanille d'un cultivateur de Tahaa : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Longueur en cm &12 &15 &17 &22 &23\\ \hline 
%Effectif &600 &800 &\np{1800} &\np{1200} &600\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est l'effectif total de cette production ?
$600 + 800 + \np{1800} + \np{1200} +  600 = \np{5000}$. Il a produit \np{5000} gousses de vanille. 
\item %Le cultivateur peut seulement les conditionner dans des tubes de 20 cm de long. Quel pourcentage de cette production a-t-il pu conditionner sans plier les gousses ? 
Il a pu mettre sans les plier : $600 + 800 + \np{1800} = \np{3200}$ soit un pourcentage de $\dfrac{\np{3200}}{\np{5000}}\times 100 = 64$, donc64\,\%.
\item %La chambre d'agriculture décerne une récompense (un\og  label de qualité \fg) aux agriculteurs si

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]la longueur moyenne des gousses de leur production est supérieure ou égale à 
%16,5~cm ; 
%\item[$\bullet~~$]et plus de la moitié des gousses de leur production a une taille supérieure à 17,5~cm. 
%Ce cultivateur pourra-t-il recevoir ce \og  label de qualité \fg{} ?
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
  
%\textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte 
%dans l'évaluation).} 
Si plus de la moitié des gousses dépassent 16,5~cm, il n'a que \np{1800} de gousses dépassant 17,5~cm, soit moins de la moitié. Il ne satisfait donc pas le deuxième critère et n'aura pas le label.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le PGCD de $260$ et de $90$ en détaillant les calculs intermédiaires.
Par l'algorithme d'Euclide :

$290 = 90 \times 3 + 20$ ;

$90 = 20 \times 4 + 10$ ;

$20 = 10 \times 2 + 0$.

On a donc PGCD$(260~;~90) = 10$. 
\item %Pour réaliser un \og  tifaifai \fg, (genre de couvre-lit), Tina doit découper des carrés dans un tissu de soie blanc rectangulaire de $260$~cm de long sur $90$~cm de large.
 
%Tout le tissu doit être utilisé. Chaque carré doit avoir le plus grand côté possible. 
%Montrer que la longueur du côté d'un carré est 10~cm. 
%Combien de carrés pourra-t-elle obtenir ?
La longueur de chaque carré $c$ doit diviser 260 et 90. La plus grande longueur correspond au plus grand diviseur soit le PGCD$(260~;~90)$, c'est-à-dire $10$.

Comme $260 = 10 \times 26$  et $90 = 10\times 9$, elle pourra découper $26 \times 9 = 234$~carrés
\item %Sur certains carrés, elle veut faire imprimer un \og tiki \fg{}  et sur d'autres un \og tipanier \fg. La société \og  Arii porinetia \fg{}  lui propose le devis suivant créé à l'aide d'un tableur : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D\\ \hline
%1&impression du motif	&prix unitaire en F &quantité 	&prix total en F\\ \hline 
%2&tiki					&75					&117 		&\np{8775}\\ \hline 
%3&tipanier				&80					& 117		&\np{9360}\\ \hline
%4&						&					&			&\\ \hline
%5&Total&&&\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Pour obtenir le prix total des impressions des carrés, quelle formule doit-on saisir dans la cellule D5 ? Parmi les 4 formules proposées, recopier sur votre copie la bonne formule :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X|}}\hline 
%\fbox{D2 + D31}& \fbox{= SOMME (D2 : D3)}& \fbox{\np{9360} + \np{8775}}& \fbox{= SOMME (D2 : D5)}\\
%\end{tabularx}
La bonne formule est  : \fbox{=SOMME(D2:D3)}
\end{enumerate}

 \vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

%Pour traverser une rivière, en voiture, on peut emprunter deux ponts A et B distants de 10 km. Le village Coco représenté par un point C est à 8 km du pont A et 6 km du pont B. 
%(Cette figure n'est pas en vraie grandeur) 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.666cm}
%\begin{pspicture}(18,7)
%\pscurve(0,2.4)(2,1.75)(4,1.7)(6,1.6)(8,1.5)(10,1.4)(12,1.3)(14,1.5)(15,2.15)(16,1.7)(17,0.6)
%\pscurve(0,2.7)(2,2.05)(4,2)(6,1.9)(8,1.8)(10,1.7)(12,1.6)(14,1.8)(15,2.45)(16,2)(17,0.9)
%\psframe(2.2,2.5)(3,2.7) \psframe(2.2,1.3)(3,1.5)\psframe[fillstyle=solid](2.5,1)(2.8,2.8)
%\psframe(10.7,2.1)(11.5,2.3) \psframe(10.7,0.9)(11.5,1.1)\psframe[fillstyle=solid](11,0.6)(11.3,2.4)
%\pspolygon(2.8,1.9)(10.9,1.7)(9,5.2)%ABC
%\psline[linestyle=dashed](9,1.6)(9,5.2)%HC
%\uput[dr](2.8,1.9){A} \uput[dl](10.9,1.7){B} \uput[u](9,5.2){C} \uput[d](9,1.6){H} 
%\end{pspicture}
%
%On note H le pied de la hauteur issue du sommet C dans le triangle ABC.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%En prenant 1 cm pour représenter 1 km, tracer le triangle ABC et placer le point H. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,5.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(6.9,5.32)(10.5,0.5)
\psline(6.9,5.32)(6.9,0.5)
\psframe(6.9,0.5)(7.1,0.7)
\psarc(0.5,0.5){8}{30}{40}
\psarc(10.5,0.5){6}{120}{140}
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](10.5,0.5){B} \uput[u](6.9,5.32){C} \uput[d](6.9,0.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip

%{\Large \textbf{À présent on travaille avec la figure que vous venez de construire.}}
%
%\smallskip
 
\item %Montrer que ABC est un triangle rectangle.
On a $10^2 = 100$ et $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Donc $100 = 64 + 36$ ou $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2$ ; donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, cette égalité démontre que le triangle ABC est rectangle en C. 
\item %On souhaite déterminer l'aire du triangle rectangle ABC. 
	\begin{enumerate}
		\item %Parmi les trois formules proposées, deux sont correctes, lesquelles ? Les recopier sur votre copie.
		
%\setlength\parindent{5mm}
%		\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Formule 1 : $\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}$
%\item[$\bullet~~$] Formule 2 : $\dfrac{\text{AB} \times \text{CH}}{2}$
%\item[$\bullet~~$] Formule 3 : $\dfrac{\text{AH} \times \text{CH}}{2}$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Les deux premières formules sont correctes.
		\item %Calculer alors cette aire en cm$^2$.
		On a donc $\mathcal{A} = \dfrac{8 \times 6}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$~cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\item %En déduire la distance réelle CH de ce village à la rivière.
En utilisant la deuxième formule de l'aire :

$\mathcal{A} = \dfrac{10 \times \text{CH}}{2} = 24$; d'où $10 \times \text{CH} = 48$ et enfin CH $ = 4,8$~(cm).
%\textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation).} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%\parbox{0.35\linewidth}{Pour protéger le bord de son talus de 6 m de haut, et 20 m de long, M. Tino construit un mur en béton armé dont la forme est un prisme à base triangulaire.
%
%Voici une coupe transversale de son talus. 
%
%Le triangle de base, ABC est rectangle en B avec BC = 2 m et AB = 6 m. 
% 
%Les points A, U et C sont alignés ainsi que les points A, T et B. } \hfill 
%\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(11,9)
%\pspolygon[linewidth=1pt](0.3,1)(2.4,1)(2.4,6.6)%CBA
%\psline[linewidth=0.4pt](1,3)(2.4,3)
%\psline[linewidth=0.4pt](1,2.96)(2.4,2.96)
%\uput[d](1.7,3){tube}\rput(1.5,1.8){mur}
%\rput(6.5,4.5){Talus}
%\psline[linewidth=0.2pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(3,1)(3,3)\rput{90}(2.7,2){2~m}
%\psline[linewidth=0.2pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(3.4,1)(3.4,6.6)\rput{90}(3.2,3.3){6~m}
%\rput(5.5,0){\large \textbf{(La figure n'est pas à l' échelle)}}
%\psline(2.4,6.6)(9.5,8.5)
%\psline[linestyle=dashed](9.5,8.5)(10.9,1)
%\psline[linewidth=0.4pt](0,1)(11,1)
%\uput[ul](2.4,6.6){A} \uput[dr](2.4,1){B} \uput[dl](2.4,6.6){C} \uput[r](2.4,3){T} \uput[l](1,3){U}\uput[d](6,1){sol} 
%\end{pspicture}}
% 
%\vspace{0,5cm} 
%Afin d'évacuer les eaux d'infiltration, il désire placer des tubes cylindriques, perpendiculairement au talus à 2~m du sol.
% 
%Sur la figure, un de ces tubes est représenté par le segment [UT].
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la longueur exacte UT en mètre.
Les droites (CB) et (UT) étant perpendiculaires à la droite (AB) sont parallèles. On peut écrire avec la propriété de Thalès :

$\dfrac{\text{AT}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{UT}}{\text{CB}}$, soit  $\dfrac{6  - 2}{6} = \dfrac{\text{UT}}{2}$ ou $\dfrac{4}{6} = \dfrac{\text{UT}}{2}$ d'où UT $= \dfrac{4}{3}~(m)$. 
		\item %Montrer que la valeur approchée par excès au cm près de UT est 1,34~m.
On a $\dfrac{4}{3} \approx 1,333$ donc la valeur approchée par excès au cm près de UT est 1,34~m
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que le volume de béton nécessaire pour réaliser ce mur est de 120~m$^3$. 
le volume de béton nécessaire est celui du prisme droit à base triangulaire ABC et de hauteur 20~m ; il faut donc $\mathcal(\text{ABC}) \times 20 = \dfrac{2 \times 6}{2} \times 20 = 6 \times 20 = 120$~m$^3$.
\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(7,9)
%\psline(3.7,0)(7,0)(7,5.5)(3.7,0)(0.3,2.6)(3.6,8)(7,5.5)%
%\psline[linestyle=dashed](0.3,2.6)(3.6,2.6)(3.6,8)
%\psline[linestyle=dashed](3.6,2.6)(7,0)
%\end{pspicture}
%
%\end{center}
%
%
%\textbf{Rappel :} Le volume du prisme $V$ en m$^3$ est donné par la formule $V = \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base exprimée en m$^2$ et $h$ la hauteur du prisme en m. 
%\item Sachant que la masse volumique de ce béton est de 2,5 t/m$^3$ (ou tonne/mètre cube), quelle est la masse totale du béton utilisé ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{1\up{re} Partie}

\medskip
 
%À l'approche des grandes vacances, Teva envisage de faire un séjour à Huahine durant le mois de juillet. Il réfléchit au nombre de jour(s) qu'il passera à Huahine. La pension de famille \og Haeremai \fg  de Huahine lui propose trois types de tarif en demi-pension:
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Tarif A : \np{5000} F par jour par personne, 
%\item[$\bullet~~$] Tarif B : un forfait de \np{6000} F pour le mois puis 4 000 F par jour et par personne, 
%\item[$\bullet~~$] Tarif C : un forfait de \np{90000} F par personne pour le mois.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Compléter} le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jour(s) 		&0 			&5 			&10			&25			& 30\\ \hline% 
coût avec le tarif A 	&0			&\np{25000}	&\np{50000}	&\np{125000}&\np{150000}\\ \hline% 
coût avec le tarif B	&\np{6000}	&\np{26000}	& \np{46000}&\np{106000}&\np{126000}\\ \hline% 
coût avec le tarif C 	&\np{90000} &\np{90000} &\np{90000}	&\np{90000} &\np{90000}\\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip 

\item %Quel est le tarif le plus avantageux pour Teva 
	\begin{enumerate}
		\item %pour un séjour de 5 jours ?
C'est la formule A. 
		\item %pour un séjour de 10 jours ?
C'est la formule B
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{2\up{e} Partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $x$ le nombre de jour(s) passées) dans cette pension de famille, durant le mois de juillet. On note :

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $f$ la fonction qui à $x$ associe le coût du séjour au tarif A, 
%\item[$\bullet~~$] $g$ la fonction qui à $x$ associe le coût du séjour au tarif B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
On a $f(x) = \np{5000}x$ et $g(x) = \np{6000} + \np{4000}x$.
\item %Dans le repère joint à l'\textbf{annexe}, on a représenté le coût à payer pour $x$ jour(s) au tarif A et au tarif C.
 
%Laquelle des deux droites tracées $d_{1}$ et $d_{2}$ représente graphiquement la fonction $f$ ? Expliquer.
$f$ est une fonction linéaire qui est représentée par une droite contenant l'origine : c'est donc  la droite $d_{2}$. 
\item %Dans le même repère de l'\textbf{annexe}, représenter graphiquement la fonction g.
Voir à la fin. 
\item %En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes \textbf{sur la copie} (on laissera apparents les traits de construction sur l'\textbf{annexe}).
	\begin{enumerate}
		\item %Avec un budget de \np{60000}~F, combien de jours pourra-t-il rester s'il choisit le tarif B ?
On lit à peu près 13,5, mais comme on ne loue pas de demi-journée, il ne pourra rester que 13 jours. 
		\item %Il désire rester $14$ jours au tarif A. Quel est le coût de son séjour ?
On lit \np{70000}~F.		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}
\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.00014cm}

\begin{pspicture}(-2,-5000)(32,130000)
\multido{\n=0.0+0.2}{161}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,130000)}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,130000)}
\multido{\n=0+500}{261}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(32,\n)}
\multido{\n=0+2500}{53}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(32,\n)}
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\uput[u](27.5,0){Nombre de jour(s)}\uput[r](0,130000){Co\^ut en francs}
\uput[u](32.5,0){$x$}\uput[l](0,132500){$y$}
\multido{\n=0+5000}{27}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
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\end{center}

\end{document}
