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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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    \end{scope}
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}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Polynésie, juin 2012}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%L' inverse de 1 est &$- 1$ &1 &2 \\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{2+3}{4\times 7}$ s'écrit aussi :&  $(2+3)\div (4 \times 7)$& $2+3 \div 7(4\times7)$& $2 + 3 \div 4 \times 7$\\ \hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$2 + \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}$ est égal à:& $\dfrac{13}{6}$& $\dfrac{4}{12}$&
%$\dfrac{5}{7}$\\ \hline 
%Si $x = - 4$ alors $x + 4 + (x + 4 )(2x - 5)$ est égal à :& $-4$& $- 1$& $0$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item 1.
\item $2+3 \div 7(4\times7)$
\item $2 + \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4} = 2 + \dfrac{1}{6} = \dfrac{13}{6}$.
\item $- 4 + 4 +(- 4 + 4)(- 8 - 5)  = 0 + 0 \times (- 13) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

%L'entreprise \og Punu Pua Toro\fg{} vend des boîtes de corned-beef. 
%
%Ces dernières sont de forme cylindrique de 12~cm de diamètre et de 5~cm de hauteur.
% 
%Elles sont rangées dans un carton de 84~cm de long, 60~cm de large et 5~cm de hauteur de façon à ce qu'elles se calent les unes contre les autres.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Combien de boîtes peut-on ranger au maximum dans un carton ? 
On peut mettre $\dfrac{84}{12} = 7$ boîtes dans la longueur, $\dfrac{60}{12} = 5$ dans la largeur et 1 dans la hauteur, soit $7\times 5 \times 1 = 35$ dans un carton.  
\item %Calcule le PGCD de $84$ et $60$. 
Par l’algorithme d’Euclide :

$84 = 60 \times 1 + 24$ ;

$60 = 24 \times 2 + 12$ ;

$24 = 12 \times 2 + 0$.

Le PGCD de 84 et 60 est donc 12.
\item %L’entreprise peut-elle ranger dans ce carton des boîtes cylindriques de plus grand diamètre de façon à ce qu'elles se calent les unes contre les autres ? Justifie ta réponse.
La réponse est non, puisque ce diamètre doit être un diviseur de 84 et de 60 et que le plus grand a été trouvé : 12 (cm).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
%L'hôtel \og la ora na \fg accueille 125 touristes :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item $55$ néo-calédoniens dont $12$ parlent également anglais. 
%\item $45$ américains parlant uniquement l'anglais. 
%\item Le reste étant des polynésiens dont $8$ parlent également anglais.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%\textbf{Les néo-calédoniens et les polynésiens parlent tous le français.}
%
%\medskip
Òn peut faire un tableau :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Anglophones&Non anglophones&Total\\ \hline
Néo Calédo.&12&43&55\\ \hline
Américains&45&0&45\\ \hline
Polynésiens&8&17&25\\ \hline
Total&65&60&125\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Si je choisis un touriste pris au hasard dans l'hôtel, quelle est la probabilité des évènements suivants: 
	\begin{enumerate}
		\item %Évènement A : \og Le touriste est un américain \fg
La probabilité de A est égale à $\dfrac{45}{125} = \dfrac{9}{25} = \dfrac{36}{100} = 0,36$. 
		\item %Évènement B : \og Le touriste est un polynésien ne parlant pas anglais \fg
Il y a $125 - (55  + 45) = 125 - 100 = 25$ polynésiens dont 8 parlent anglais, donc $25 - 8 = 17$ polynésiens ne parlant pas anglais.

La probabilité de B est égale à $\dfrac{17}{125} = 0,136 = 13,6\,\%$. 
		\item %Évènement C : \og Le touriste parle anglais \fg
Parlent l’anglais 12 néo-calédoniens, 45 américains et 8 polynésiens soit en tout 65 touristes.

La probabilité de C est égale à $\dfrac{65}{125} = \dfrac{13}{25} = \dfrac{52}{100} = 0,52 = 52\,\%.$
	\end{enumerate} 
\item %Si j'aborde un touriste dans cet hôtel, ai-je plus de chance de me faire comprendre en parlant en anglais ou en français ? Justifie ta réponse. (\emph{Toute trace de recherche, même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation})
Parlent le français : $55$ néo-calédoniens et $25$ polynésiens soit en tout 80 touristes. Parlent l'anglais : $12 + 45 + 8 = 65$ touristes. Il y a donc plus de chances de se faire comprendre en français qu’en anglais. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip  

%Teva vient de construire lui-même sa pirogue.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm,linewidth=0.8mm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-2,0)(6,6)
%%\psgrid
%\psline(-1,3.5)(6,3.5) \psline(-1,5.5)(6,5.5)
%\psline(1.5,5.5)(3,0)\psline(4.5,5.5)(3,0)
%\uput[ul](1.5,5.5){K}\uput[ur](4.5,5.5){L}
%\uput[dl](2,3.5){I}\uput[dr](4,3.5){J}
%\uput[l](3,0){O}\uput[u](5.5,5.5){balancier} \uput[u](5.5,3.5){balancier}
%\psline(1.25,6)(-2,0)\rput{60}(0,4.4){flotteur}
%\pspolygon(-1,3.5)(-1,2)(-1.8,0.5)
%\uput[u](-1,3.5){A}\uput[r](-1,2){B}\uput[l](-1.8,0.5){C}
%\end{pspicture} 
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes schématisés sur le dessin ci-dessus par les segments [OK] et [OL] avec I $\in$ [OK] et J $\in$ [OL].
 
%La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les résultats suivants : 
%
%\[\text{OI}	= 1,5~\text{m}\quad 	\text{OJ} = 1,65~\text{m} \quad 	\text{OK} = 2~\text{m} \quad	\text{OL} = 2,2~\text{m}.\]
% 
%Les deux bras sont-ils parallèles ? Justifie ta réponse. 
On a $\dfrac{\text{OI}}{\text{OK}} = \dfrac{1,5}{2} = 0,75$ et $\dfrac{\text{OJ}}{\text{OL}} = \dfrac{1,65}{2,2} = \dfrac{11 \times 0,15}{11 \times 0,2} = \dfrac{0,15}{0,2} = 0,75$.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.
\item %Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient: 

%\[\text{AB} = 15~\text{cm} \quad \text{AC} = 25~\text{cm} \quad 	\text{CB} = 20~\text{cm}\]
% 
%Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier ? Justifie ta réponse.
On a AC$^2 = 25^2 = 625$ ;

AB$^2 + \text{BC}^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.
On a donc $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 
$, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.. La pièce [AB] est perpendiculaire au balancier.  
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item ~
%Trace le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 8~cm.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){4}
\psarc(-4,0){8}{0}{18}
\psline(-4,0)(3.6,2.48)
\psline(3.22,2.35)(4,0)(-4,0)
\psline(0,0)(3.22,2.35)
\uput[l](-4,0){A}\uput[r](4,0){B}
\uput[u](3.22,2.35){M}\uput[d](0,0){O}
\psline(3.22,2.35)(3.22,-2.35)\uput[dr](4;-36){N}
\psline(0;0)(4;108)\uput[ul](4;108){R}
\psline(0;0)(4;180)\uput[dl](4;252){S}
\psline(0;0)(4;252)
\psline(0;0)(4;-36)
\pspolygon[linecolor=blue](4;-36)(4;36)(4;108)(4;180)(4;252)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Place un point M appartenant à $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{\text{BOM}} = 36$\,\degres.
Voir la figure. 
\item %Calcule la mesure de l'angle inscrit $\widehat{\text{MAB}}$ qui intercepte le petit arc de cercle $\widearc{\text{MB}}$.
On sait que la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.

Donc $\widehat{\text{MAB}} = 18\degres$.
\item %À l'aide des données de l'énoncé, laquelle de ces propositions te permet de montrer que AMB est un triangle rectangle en M : (Recopie sur ta copie la bonne proposition)

%\medskip
% 
%\textbf{Proposition 1 :}
% 
%Si dans le triangle AME on a AB$^2$= AM$^2$ + BM$^2$ alors AME est un triangle rectangle en M. 
%
%\textbf{Proposition 2 :}
% 
%Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont l'un des diamètres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M 
%
%\textbf{Proposition 3 :}
% 
%Si O est le milieu de [AB] alors AMB est un triangle rectangle d'hypoténuse [AB].
C’est la proposition 2. 
\item %Calcule la longueur AM et arrondis le résultat au dixième.
Dans le triangle ABM rectangle en M, on a $\cos \widehat{\text{MAB}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}$.

Donc AM $ = \text{AB}\cos \widehat{\text{MAB}}  = 8 \cos 18 \approx 7,608$ soit 7,6 au dixième près.
\item %Trace le symétrique N de M par rapport à [AB]. 
Voir la figure.
\item %Place les points R et S de façon à ce que NMRAS soit un pentagone régulier. 
Puisque le pentagone est régulier, l’angle au centre $\widehat{\text{NOM}} = \dfrac{360}{5} = 72 = 2 \times 36$\degres.
Les autres angles ayant la même mesure il suffit de reporter l’arc NM à partir du point M sur le cercle ou de construire des angles au centre de 72\degres.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME  \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE} 

\medskip

%Taraina dirige une école de danse pour adolescents. Elle a relevé dans un tableau l'âge de ses élèves ainsi que la fréquence des âges.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Complète \textbf{sur cette feuille} le tableau suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge des élèves		&12 		&13 		&14 	&15 &16 	&TOTAL\\ \hline 
Nombre d'élèves 	&5 		&2 		&4 	&5 	&4	& 20\\ \hline 
Fréquence en \,\%& 25	& 10		& 20	&25 	&20 	&100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item Complète le diagramme en barres des effectifs à l'aide du tableau précédent.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.75)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(7,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=12,Dy=10]{->}(0,0)(7,7) 
\uput[d](6.2,-0.35){Âge (ans)}\uput[r](0,6.5){Effectif}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Quelle est dans cette école la fréquence d'élèves ayant 14 ans ? 
20\,\%.
\item %Quel est le nombre d'élèves âgés de 14 ans ou moins ?
Il y a $5 + 2 +  4 = 11$ élèves ayant au plus 14 ans.
\item %Taraina a calculé que l'âge moyen de ses élèves est légèrement supérieur à 14 ans, or pour inscrire son groupe au Heiva dans la catégorie \og Adolescents \fg, l'âge moyen du groupe doit être inférieur ou égal à 14 ans. 

%Pour régler ce problème, elle a la possibilité d'accepter dans sa troupe de danse un nouvel élève, soit de 13 ans, soit de 15 ans. 
	\begin{enumerate}
		\item %Lequel va-t-elle choisir ? Pourquoi ? (Toute trace de recherche sera valorisée.) 
En prenant l’élève de 15 la moyenne d’âge va augmenter ; en prenant l’élève de 13 ans cette moyenne va baisser.
		\item %Montre que l'âge moyen de sa nouvelle troupe est maintenant de 14 ans. 
		La nouvelle moyenne est égale à :
		
		$\dfrac{5 \times 12 + 3 \times 13 + 4 \times 14 +  5 \times 15 + 4 \times 16}{5 + 3 + 4 + 5 + 4} = \dfrac{294}{21} = 14$~(ans).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{DEUXIEME PARTIE}

\medskip
 
Taraina veut inscrire ses 21 élèves aux festivités du Heiva. Deux tarifs lui sont proposés :

Tarif Individuel : 500~F par danseur inscrit. 

Tarif Groupe : Paiement d'un forfait de \np{4000}~F pour le groupe puis $300$~F par danseur inscrit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Complète le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'inscriptions				&0	&10				&25\\ \hline 
Prix au tarif Individuel en F	&0	&\np{5000}	&\np{12500}\\ \hline 
Prix au tarif Groupe en F		&0	&\np{7000}	&\np{11500} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item %Soit $x$ le nombre d'inscriptions.
 
%Le prix $I(x)$ à payer si l'on choisit le tarif individuel en fonction de $x$ est $I(x) = 500x$. 

%Exprimer en fonction de $x$, le prix $G(x)$ à payer si l'on choisit le tarif Groupe. 
$G(x) = \np{4000} + 300x$.
\item ~
%Dans le repère ci-dessous construire la représentation graphique des deux fonctions $x \longmapsto 500x$ et $x \longmapsto 300x+ \np{4000}$. 
\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.001cm}
\begin{pspicture}(-2,-1000)(35,15000)
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,14000)}
\multido{\n=0+500}{29}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(35,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=1000]{->}(0,0)(35,14000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=1000](0,0)(35,14000)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](32,0){\footnotesize Nombre d'élèves}
\uput[r](0,14500){\footnotesize Prix à payer}
\psplot{0}{28}{x 500 mul}
\psplot{0}{33.35}{x 300 mul 4000 add}
\psset{arrowsize=3pt 5}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](21,0)(21,10300)(0,10300)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Graphiquement, quel est le tarif le plus avantageux pour l'inscription des $21$ élèves ?
C’est le tarif Groupe qui est le plus avantageux. 
%Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique.
\item %Pour quel nombre d'inscriptions paye-t-on le même prix quel que soit le tarif choisi ?
 Graphiquement il semble que le tarif est identique pour $x = 20$.
 
 Par le calcul :
 
 $I(x) = G(x)$ si $500x = 300x + \np{4000}$ soit $200x = \np{4000}$ et enfin $x = 20$.
%Justifie ta réponse par le calcul.  
\end{enumerate}

\end{document}
