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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Polynésie, juin 2015}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%
% 
%Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
% 
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.
%
\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

%Djamel et Sarah ont un jeu de société : pour y jouer, il faut tirer au hasard des jetons dans un sac. Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés. Sur chaque jeton un nombre entier est inscrit.

%\smallskip
%
%Djamel et Sarah ont commencé une partie. Il reste dans le sac les huit jetons suivants :
%
%\[\fbox{5}\quad \fbox{14}\quad\fbox{26}\quad\fbox{18}\quad\fbox{5}\quad\fbox{9}\quad\fbox{18}\quad\fbox{20}\]

\begin{enumerate}
\item %C'est à Sarah de jouer.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'elle tire un jeton \og 18 \fg{}?
La probabilité que Sarah tire un jeton \og 18 \fg{} est de $\dfrac{2}{8}
 = \dfrac{1}{4} =  0,25$.
		\item %Quelle est la probabilité qu'elle tire un jeton multiple de 5 ?
Il y a 3 jetons multiples de 5, la probabilité que Sarah tire un jeton multiple de 5 est
donc de $\dfrac{3}{8} = 0,375$.
	\end{enumerate}
\item  %Finalement, Sarah a tiré le jeton \og 26 \fg{} qu'elle garde. C'est au tour de Djamel de jouer.
	
%La probabilité qu'il tire un jeton multiple de 5 est-elle la même que celle trouvée à la question 1. b. ?
Si Sarah garde le jeton tiré, il n’y a plus que $7$ jetons dans le sac dont $3$ multiples de
5, la probabilité que Djamel tire un jeton multiple de 5 est de
$\dfrac{3}{7} \ne \dfrac{3}{8}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le graphique ci-dessous donne le niveau de bruit (en décibels) d'une tondeuse à gazon en marche, en fonction de la distance (en mètres) entre la tondeuse et l'endroit où s'effectue la mesure.
\begin{center}
\psset{unit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(150,95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(150,95)
\uput[r](0,92){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
\uput[u](135,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{150}{2.71828 x 0.04 mul neg exp 50 mul 45 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](100,0)(100,46)(0,46)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,60)(30,60)(30,0)
\end{pspicture}
\end{center}
%
%En utilisant ce graphique, répondre aux deux questions suivantes. \emph{Aucune justification n'est attendue.}

	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le niveau de bruit à une distance de $100$ mètres de la tondeuse ?
À une distance de 100 mètres de la tondeuse, le niveau de bruit est d’environ $45$~décibels.
		\item %À quelle distance de la tondeuse se trouve-t-on quand le niveau de bruit est égal à $60$~décibels ?
Le niveau de bruit est de 60 décibels à une distance de 30 mètres de la tondeuse.
	\end{enumerate}
\item  %Voici les graphiques obtenus pour deux machines très bruyantes d'une usine .
À 5 mètres de la machine A, le bruit est de $88$~décibels environ. Pour la machine B, ce 
niveau de bruit est atteint à presque 10 mètres de distance.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\psset{xunit=0.14cm,yunit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
\rput(17.5,35){Machine A}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt](0,\n)(35,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{35}{2.71828 x 0.11 mul neg exp 40 mul 65 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](5,0)(5,88)(0,88)	
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.14cm,yunit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
\rput(17.5,35){Machine B}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt](0,\n)(35,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{35}{2.71828 x 0.1 mul neg exp 28 mul 77 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,87.86)(9.3,87.86)(9.3,0)	
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{center}
%
%Dans l'usine, le port d'un casque antibruit est obligatoire à partir d'un \textbf{même niveau de bruit}.
%
%Pour la machine A, il est obligatoire quand on se trouve à moins de $5$~mètres de la machine. En utilisant ces graphiques, déterminer cette distance pour la machine B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

%\parbox{0.35\linewidth}{On considère la figure ci-contre dessinée à main levée.
%
%L'unité utilisée est le centimètre.
%
%Les points I, H et K sont alignés.}\hfill
%\parbox{0.62\linewidth}{\psset{unit=1cm,varsteptol=0.2,VarStepEpsilon=10}
%%\psgrid
%\begin{pspicture}(8,4)
%\pslineByHand(4.5,3)(0.5,0.5)(7.5,1)(4.5,3)(4.7,0.3)%IKJI
%\rput(2.7,2.2){6,8}\rput(6,2.2){4}\rput(4.3,1.6){3,2}\rput(6,0.6){2,4}
%\uput[ul](4.5,3){J}\uput[l](0.5,0.5){I}\uput[dl](4.6,0.8){H}\uput[d](7.5,1){K}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire la figure ci-dessus en vraie grandeur.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(11,4)
%\psgrid
\pspolygon(10,0.5)(7.6,3.7)(7.6,0.5)%KJH
\psarc(7.6,3.7){6.8}{205}{215}
\psline(0,0.5)(7.6,0.5)
\psline(1.6,0.5)(7.6,3.7)%IJ
\uput[dl](7.6,-0.78){L}
\psline(10,0.5)(7.6,-0.78)(7.6,0.5)
\uput[dl](1.6,0.5){I} \uput[u](7.6,3.7){J} \uput[r](10,0.5){K} \uput[dl](7.6,0.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

On trace le triangle KJH connaissant les longueurs de ses trois côtés  ; le cercle de centre J de rayon 6,8 coupe la droite (HK) en I.
\item %Démontrer que les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.
Pour démontrer que les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires, les points I, H et K
étant alignés, il suffit de montrer que le triangle JHK est un triangle rectangle en H.

Dans le triangle JHK, [JK] est le plus grand côté.

Je calcule séparément :

D’une part : $\text{JK}^2 = 4^2 = 16$.

D’autre part : $\text{JH}^2 + \text{HK}^2  = 3,2^2 + 2,4^2 = 10,24 + 5,76 = 16$

Je constate que : $\text{JK}^2 = \text{JH}^2 + \text{HK}^2$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JHK est rectangle en H.

Les droites (IK) et (JH) sont donc perpendiculaires.
\item %Démontrer que IH = 6 cm.
Les droites (IK) et (JH) étant perpendiculaires, IHJ est un triangle rectangle en H,
donc d’après le théorème de Pythagore, on a :

$\text{IJ}^2 = \text{IH}^2 + \text{HJ}^2$

$6,82 = \text{IH}^2 + 3,22$

$46,24 = \text{IH}^2 + 10,24$

$\text{IH}^2 = 46,24 - 10,24$

$\text{IH}^2 = 36$.

IH est un nombre positif, donc IH $= \sqrt{36}$~cm

IH = $6$~cm
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HJK}}$, arrondie au degré.
HJK est un triangle rectangle en H, on a donc : $\cos \widehat{\text{HJK}} = \dfrac{\text{HJ}}{\text{JK}} = \dfrac{3,2}{4} = 0,8$.

D'où $\widehat{\text{HJK}} \approx  37$~\degres
\item %La parallèle à (IJ) passant par K coupe (JH) en L. Compléter la figure.
Voir plus haut
\item %Expliquer pourquoi LK = $0,4 \times$ IJ.
Les triangles HIJ et HKL sont tels que :

- (JL) et (IK) sont sécantes en H ;

- (IJ) est parallèle à (KL).

D’après le théorème de Thalès, on a :

$\dfrac{\text{HL}}{\text{HJ}} = \dfrac{\text{HK}}{\text{HI}}= \dfrac{
\text{KL}}{\text{IJ}}$.

Or $\dfrac{\text{HK}}{\text{HI}}= \dfrac{2,4}{6} = 0,4$, donc 

$\dfrac{\text{KL}}{\text{IJ}} = 0,4$ ou encore

KL $= 0,4 \times$ IJ.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 4,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~
La solde est de $80 - 60 = 20$ pour un prix initial de 80, soit une réduction de $\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 25$\,\%.

Le nombre caché sur l’affiche est 25.
%\parbox{0.62\linewidth}{Quel est le nombre caché par la tache sur cette étiquette ?} \hfill
%\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(3.8,6)
%%\psgrid
%
%\psframe[framearc=0.3](3.8,6)
%\rput(1.3,5){Ancien prix}
%\rput(1.3,4){80~\euro}
%\rput(1.9,3){\Large Soldes \quad \quad \,\%}
%\rput(1.85,2.5){\pspolygon*(0,0.4)(0.4,0.6)(0.2,0.8)(0.55,0.9)(0.75,1.15)(0.82,.8)(1.1,0.8)(0.9,0.6)(1.1,0.4)(0.8,0.22)(0.7,0)(0.5,0.24)(0.22,0)(0.25,0.3)}
%\rput(1.3,2){Nouveau prix}
%\rput(1.3,1){60~\euro}
%\end{pspicture}}


\item  %\np{2048} est une puissance de 2. Laquelle ?
$2^{10} = \np{1024}$, donc $2^{11} = \np{2048}$.
\item  %En développant l'expression $(2x - 1)^2$, Jules a obtenu $4x^2 - 4x - 1$. A-t-il raison ?
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 + 1^2 - 2 \times 2x \times 1 = 4x^2 + 1 - 4x$. Jules n'a pas raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 4,5 points}

\medskip

%Les \og 24 heures du Mans\fg est le nom d'une course automobile.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
%\textbf{Document 1 : principe de la course}
%
%Les voitures tournent sur un circuit pendant 24 heures. La voiture gagnante est celle qui a
%parcouru la plus grande distance.&\textbf{Document 2 : schéma du circuit}
%
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(8,5)
%\pscurve[linewidth=2pt](0.4,3)(0.5,3.5)(1,3.7)(2,3.75)(3,3.8)(6,3.85)(7,3.65)(7.9,3.5)(7.5,2.4)(7,1.9)(6.6,1.7)(6.8,1.2)(6,1)(5,0.4)(4,0.6)(3,0.75)(2,1)(1.5,1.05)(1,1.6)(0.7,2.7)(0.4,3)
%\psline{->}(2.4,0.7)(2,0.8)\rput{75}(2.65,1){\scriptsize Départ}\rput(7.3,1.2){\scriptsize Arnage}\rput(7,3.2){\scriptsize Pulsante}\rput(4.2,3.3){\scriptsize Hunaudières}\rput(1.5,3){\scriptsize Tertre rouge}
%\rput(4,2.6){La longueur d'un tour}
%\rput(4,2.1){est de 13,629 km}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\textbf{Document 3 : article extrait d'un journal}
%
%\begin{center} {\large \np{5405,470}}
%
%C'est le nombre de kilomètres parcourus
%par l'Audi R15+ à l'issue de la course.
%\end{center}&\textbf{Document 4 : unités anglo-saxonnes}
%
%L'unité de mesure utilisée par les anglo-saxons est le mile par heure (mile per hour) noté mph.
%
%1 mile $\approx$ \np{1609}~mètres\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%À l'aide des documents fournis:
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le nombre de tours complets que la voiture Audi R15+ a effectués lors de cette course.
Le nombre de tours est égal à : $\dfrac{\np{5405,470}}{13,629} \approx 396,6$.

Il a donc effectué 396 tours complets.
\item %Calculer la vitesse moyenne en km/h de cette voiture. Arrondir à l'unité.
La vitesse moyenne est égale à : $\dfrac{\np{5405,470}}{24} \approx 225$~km/h.
\item %On relève la vitesse de deux voitures au même moment :

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Vitesse de la voiture \no 37 : 205 mph.
%\item[$\bullet~~$] Vitesse de la voiture \no 38 : 310 km/h.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Quelle est la voiture la plus rapide ?

205 (mph) $\approx 205 \times 1,609$ (km/h) soit  329,845 (km/h)  310 (km/h).

La voiture la plus rapide est la \no 37.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 5 points}

\medskip

%Voici un programme de calcul.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
%$\bullet~~$Choisir un nombre\\
%$\bullet~~$Ajouter 1\\
%$\bullet~~$Calculer le carré de cette somme\\
%$\bullet~~$Soustraire 9 au résultat\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Vérifier qu'en choisissant 7 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec ce programme est 55.
$(7 + 1)^2 - 9 = 8^2 - 9 = 64 - 9 = 55$.

Si on choisit 7 comme nombre de départ, le résultat obtenu est 55.
\item %Lorsque le nombre choisi est $- 6$, quel résultat obtient-on ?
$(- 6 + 1)2 - 9 = (- 5)2 -  9 = 25 - 9 = 16$.

\item %Jim utilise un tableur pour essayer le programme de calcul avec plusieurs nombres. Il a fait apparaître les résultats obtenus à chaque étape. Il obtient la feuille de calcul ci-dessous :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&A		&B		&C		&D\\ \hline
%1	&nombre de départ&résultat de la 1\up{e} étape&résultat de la 2\up{e} étape&résultat final\\ \hline
%2	&$-0,4$	&0,6	&0,36	&$- 8,64$\\ \hline 
%3	&$-0,2$	&0,8	&0,64	&$- 8,36$\\ \hline
%4	&0 		&1 		&1		&$- 8$\\ \hline
%5	&0,2 	&1,2	&1,44	&$- 7,56$\\ \hline
%6	&0,4 	&1,4	&1,96	&$- 7,04$\\ \hline
%7	&0,6 	&1,6	&2,56	&$- 6,44$\\ \hline
%8	&0,8 	&1,8 	&3,24 	&$- 5,76$\\ \hline
%9	&1 		&2 		&4 		&$- 5$\\ \hline
%10	&1,2	&2,2	&4,84	&$- 4,16$\\ \hline
%11	&1,4	&2,4	&5,76	&$- 3,24$\\ \hline
%12	&1,6	&2,6	&6,76	&$- 2,24$\\ \hline
%13	&1,8	&2,8	&7,84	&$- 1,16$\\ \hline 
%14	&2 		&3 		&9 		&0\\ \hline
%15	&2,2	&3,2	&10,24	&1,24\\ \hline
%16	&2,4 	&3,4 	&11,56 	&2,56\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%La colonne B est obtenue à partir d'une formule écrite en B2, puis recopiée vers le bas.

%Quelle formule Jim a-t-il saisie dans la cellule B2 ?
Jim a saisi la formule : $= \text{A}2 + 1$.
\item %Le programme donne 0 pour deux nombres. Déterminer ces deux nombres.
Je cherche $x$ tel  que : 

$(x + 1)^2 - 9 = 0$

$(x + 1)^2 - 3^2 = 0$

$[(x + 1) + 3][(x + 1) - 3] = 0$

$(x + 1 + 3)(x + 1 - 3) = 0$

$(x + 4)(x - 2) = 0$

Si $ab = 0$, alors $a = 0$ ou $b = 0$.

Donc soit $x + 4 = 0$ soit $x - 2 = 0$.

Soit $x = - 4$, soit $x = 2$.

Les deux nombres pour lesquels le programme donne $0$ sont  $- 4$ et $2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 7 points}

\medskip

%Voici les caractéristiques d'une piscine qui doit être rénovée:
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(12,10)
%\psframe(6.5,10)
%\uput[r](0,9.5){\textbf{Document 1 : informations sur la piscine}}
%\uput[r](0,8){Vue aérienne de la piscine}
%\psframe(0.5,4)(5.5,7)
%\rput(3.25,5.5){piscine}
%\psline{<->}(0.5,3.6)(5.5,3.6)\uput[d](3,3.6){10 m}
%\psline{<->}(5.7,4)(5.7,7)\uput[r](5.7,5.5){4 m}
%\uput[r](0.5,2){Forme: pavé droit}
%\uput[r](0.5,1){Profondeur : 1,2 m}
%\psframe(7,6)(12,10)
%\uput[r](7,9.5){\textbf{Document 2 : information rela-}}
%\uput[r](7,8.5){\textbf{tive à la pompe de vidange}}
%\uput[r](7,7){Débit: 14 m$^3$/h}
%\psframe(7,1)(12,5.5)
%\uput[r](7,5){\textbf{Document 3 : informations sur }}
%\uput[r](7,4.5){\textbf{la peinture résine utilisée}}
%\uput[r](7,4){\textbf{ pour la rénovation}}
%\uput[r](7,3.5){-- seau de 3 litres}
%\uput[r](7,3){-- un litre recouvre une surface }
%\uput[r](7,2.5){de 6 m$^2$}
%\uput[r](7,2){-- 2 couches nécessaires}
%\uput[r](7,1.5){-- prix du seau : 69,99~\euro}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le propriétaire commence par vider la piscine avec la pompe de vidange. Cette piscine est remplie à ras bord. Sera-t-elle vide en moins de 4 heures ?
$V_{\text{piscine}} = 10 \times  4 \times 1,2 = 48$. Le volume de la piscine est de 48 m$^3$.

On calcule alors : $\dfrac{48}{14} \approx 3,4$ h soit 3h 24~min.

La piscine sera donc vide en moins de 4 heures.
\item %Il repeint ensuite toute la surface intérieure de cette piscine avec de la peinture résine. Quel est le coût de la rénovation ?
On calcule la surface de la piscine :

$A_{\text{piscine}} = 10 \times 4 + 2 \times(10 \times1,2) + 2 \times(4 \times1,2)$

$A_{\text{piscine}} = 40 + 24 + 9,6$

$A_{\text{piscine}} = 73,6$~m.

La surface de la piscine est de $73,6$~m$^2$.

2 couches sont nécessaires pour peindre la piscine, il faut donc prévoir de la peinture pour
une surface de : $2 \times  73,6 = 147,2$~m$^2$.

On  calcule la quantité de peinture nécessaire : $\dfrac{147,2}{6} \approx 24,53~\ell$.

Il faudra environ 24,53 litres de peinture.

Or $\dfrac{24,53}{3} \approx  8,2$.

Les seaux contiennent 3 litres de peinture, il faudra donc 9 seaux de peinture.

$9 \times 69,99 = 629,91$.

Le coût sera donc de 629,91~\euro.
\end{enumerate}

\end{document}
