\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Polynésie, 25 juin 2021}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-polynesie-juin-2021}
\newcommand{\codefiche}{DNBPOL21}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Polynésie, 25 juin 2021
%  Redessinées en TikZ d'après le sujet officiel.
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1, question 1 : TRAP et ses trois images ───────────────
% TRAP : trapèze rectangle en T et en P, côté [TP] vertical.
%   T(0;2)  R(1,2;2)  A(2,1;0)  P(0;0)
% Droite (DE) : y = x - 4,4, avec D(2,9;-1,5) et E(4,9;0,5).
% quad2 = image par la translation qui envoie D sur E, de vecteur (2;2).
% quad3 = image par la rotation de centre A et d'angle 90 degrés dans le
%         sens contraire des aiguilles d'une montre : (x;y) devient
%         A + (-(y-yA) ; x-xA).
% quad1 = image par la symétrie d'axe (DE) : (x;y) devient (y+4,4 ; x-4,4).
\newcommand{\figtransformations}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.86,line join=round]
  % la droite (DE)
  \draw[thick] (1.1,-3.3) -- (6.7,2.3);
  \foreach \p/\x/\y in {D/2.9/-1.5, E/4.9/0.5}{
    \draw[thick] ($(\x,\y)+(-0.12,0.12)$) -- ($(\x,\y)+(0.12,-0.12)$);
  }
  \node[below right=1pt] at (2.9,-1.5) {\footnotesize D};
  \node[right=3pt] at (4.9,0.5) {\footnotesize E};

  % TRAP
  \draw[thick] (0,2) -- (1.2,2) -- (2.1,0) -- (0,0) -- cycle;
  \draw (0.18,2) -- (0.18,1.82) -- (0,1.82);
  \draw (0.18,0) -- (0.18,0.18) -- (0,0.18);
  \node[above left=-1pt]  at (0,2)   {\footnotesize T};
  \node[above right=-1pt] at (1.2,2) {\footnotesize R};
  \node[right=1pt] at (2.1,0) {\footnotesize A};
  \node[below left=-1pt] at (0,0) {\footnotesize P};

  % quad2 : translation de vecteur (2;2)
  \draw[thick] (2,4) -- (3.2,4) -- (4.1,2) -- (2,2) -- cycle;
  \draw (2.18,4) -- (2.18,3.82) -- (2,3.82);
  \draw (2.18,2) -- (2.18,2.18) -- (2,2.18);
  \node at (2.75,3.05) {\footnotesize quad2};

  % quad3 : rotation de centre A, 90 degrés
  \draw[thick] (0.1,-2.1) -- (0.1,-0.9) -- (2.1,0) -- (2.1,-2.1) -- cycle;
  \draw (0.1,-1.92) -- (0.28,-1.92) -- (0.28,-2.1);
  \draw (2.1,-1.92) -- (1.92,-1.92) -- (1.92,-2.1);
  \node at (1.05,-1.35) {\footnotesize quad3};

  % quad1 : symétrie d'axe (DE)
  \draw[thick] (6.4,-4.4) -- (6.4,-3.2) -- (4.4,-2.3) -- (4.4,-4.4) -- cycle;
  \draw (6.4,-4.22) -- (6.22,-4.22) -- (6.22,-4.4);
  \draw (4.4,-4.22) -- (4.58,-4.22) -- (4.58,-4.4);
  \node at (5.45,-3.55) {\footnotesize quad1};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3 : la figure ABC / CDE ───────────────────────────────
% « Pas en vraie grandeur » : le dessin respecte tout de même les
% proportions, C étant l'intersection de (BE) et (AD).
% AC = 8, CB = 15, AB = 17, CE = 12, DE = 13 (et CD = 5, à démontrer).
% Aucun codage d'angle droit en C : c'est ce que la question 1 demande
% justement de démontrer.
\newcommand{\figabcde}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.26,line join=round]
  \coordinate (A) at (-8,0);
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (D) at (5,0);
  \coordinate (B) at (0,15);
  \coordinate (E) at (0,-12);
  \draw[thick] (A) -- (D);
  \draw[thick] (B) -- (E);
  \draw[thick] (A) -- (B);
  \draw[thick] (D) -- (E);
  \foreach \p/\pos in {A/left, B/above, C/below right, D/right, E/below}{
    \node[\pos=2pt] at (\p) {\footnotesize $\p$};
  }
  \node[anchor=south east,rotate=62] at (-4.4,7.9) {\footnotesize 17\,cm};
  \node[anchor=west] at (0.35,7.5) {\footnotesize 15\,cm};
  \node[anchor=south] at (-4,0.25) {\footnotesize 8\,cm};
  \node[anchor=east] at (-0.35,-6) {\footnotesize 12\,cm};
  \node[anchor=west,rotate=-67] at (3.1,-5.6) {\footnotesize 13\,cm};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 4 : les hexagones ─────────────────────────────────────
% Le bloc Motif trace un hexagone régulier de côté « Longueur », en
% partant d'un sommet, orienté vers la droite, en tournant de 60 degrés
% dans le sens des aiguilles d'une montre. Un tel hexagone s'étend de
% -0,5L à 1,5L horizontalement et de -1,732L à 0 verticalement.
\newcommand{\hexa}[3]{% #1 = abscisse du sommet de départ, #2 = ordonnée, #3 = côté
  \draw[thick]
    ($(#1,#2)+(0,0)$) --
    ($(#1,#2)+(#3,0)$) --
    ($(#1,#2)+(1.5*#3,-0.866*#3)$) --
    ($(#1,#2)+(#3,-1.732*#3)$) --
    ($(#1,#2)+(0,-1.732*#3)$) --
    ($(#1,#2)+(-0.5*#3,-0.866*#3)$) -- cycle;
}

% Proposition 1 : les quatre hexagones partent tous du même sommet
% (c'est ce qu'on obtiendrait sans l'instruction 8).
\newcommand{\hexaun}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.23,line join=round]
  \foreach \c in {1.5,2,2.5,3}{ \hexa{0}{0}{\c} }
\end{tikzpicture}}

% Proposition 2 : côtés croissants de gauche à droite — c'est la figure
% réellement tracée par le programme.
\newcommand{\hexadeux}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.23,line join=round]
  \hexa{0}{0}{1.5}
  \hexa{3.5}{0}{2}
  \hexa{8}{0}{2.5}
  \hexa{13.5}{0}{3}
\end{tikzpicture}}

% Proposition 3 : côtés décroissants de gauche à droite.
\newcommand{\hexatrois}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.23,line join=round]
  \hexa{0}{0}{3}
  \hexa{6.5}{0}{2.5}
  \hexa{12}{0}{2}
  \hexa{16.5}{0}{1.5}
\end{tikzpicture}}

% Figure demandée à la question 4 : six hexagones identiques.
\newcommand{\hexasix}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.42,line join=round]
  \foreach \i in {0,1,2,3,4,5}{ \hexa{\i*3.5}{0}{1.5} }
\end{tikzpicture}}

% Hexagone de côté 3 cm, pour le corrigé de la question 1.
\newcommand{\hexavraiegrandeur}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,line join=round]
  \hexa{0}{0}{3}
  \node[above] at (1.5,0.05) {\footnotesize 3 cm};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : les deux graphiques ───────────────────────────────
% Fournisseur A : droite passant par l'origine, f(x) = 2,5x.
\newcommand{\graphfa}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{0.0122} \def\uy{0.0047}
  \draw[black!45] (0,0) grid[xstep=100*\ux,ystep=100*\uy] (450*\ux,950*\uy);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (500*\ux,0);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,1000*\uy);
  \foreach \x in {0,100,200,300,400}{
    \node[below=2pt] at (\x*\ux,0) {\scriptsize \x};}
  \foreach \y in {0,100,...,900}{
    \node[left=2pt] at (0,\y*\uy) {\scriptsize \y};}
  \draw[red,very thick] (0,0) -- (360*\ux,900*\uy);
  \node[anchor=north] at (225*\ux,-0.42) {\footnotesize Nombre de tours Eiffel};
  \node[anchor=west] at (18*\ux,915*\uy) {\footnotesize Prix en euros};
  \node[anchor=south] at (225*\ux,1000*\uy) {\footnotesize\bfseries FOURNISSEUR A};
\end{tikzpicture}}

% Fournisseur B : courbe (pas une droite), lue sur le graphique officiel.
\newcommand{\graphfb}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  \def\ux{0.0063} \def\uy{0.00225}
  \draw[black!45] (0,0) grid[xstep=100*\ux,ystep=100*\uy] (1100*\ux,1900*\uy);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (1200*\ux,0);
  \draw[->,thick] (0,0) -- (0,2000*\uy);
  \foreach \x in {0,200,...,1000}{
    \node[below=2pt] at (\x*\ux,0) {\scriptsize \x};}
  \foreach \y in {0,200,...,1800}{
    \node[left=2pt] at (0,\y*\uy) {\scriptsize \y};}
  \draw[blue,very thick] plot[smooth,tension=0.7] coordinates {
    (0,0) (100*\ux,250*\uy) (200*\ux,500*\uy) (300*\ux,720*\uy)
    (400*\ux,920*\uy) (500*\ux,1100*\uy) (600*\ux,1300*\uy)
    (700*\ux,1450*\uy) (800*\ux,1580*\uy) (900*\ux,1700*\uy)
    (1000*\ux,1800*\uy) (1100*\ux,1880*\uy)};
  \node[anchor=north] at (550*\ux,-0.42) {\footnotesize Nombre de tours Eiffel};
  \node[anchor=west] at (18*\ux,1930*\uy) {\footnotesize Prix en euros};
  \node[anchor=south] at (550*\ux,2000*\uy) {\footnotesize\bfseries FOURNISSEUR B};
\end{tikzpicture}}

% ── Annexe : planisphère ───────────────────────────────────────────
\newcommand{\planispherepoly}{%
\includegraphics[width=0.82\linewidth]{planisphere_dnb_polynesie_juin_2021.jpg}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{22}

\begin{enumerate}
  \item Les trois quadrilatères ont tous la même forme et la même taille que TRAP : aucune des
  transformations proposées n'agrandit ni ne réduit. Ce qui les distingue, c'est la position et
  l'orientation de l'image.

  \smallskip
  Le repère le plus commode est le côté [TP], qui est \emph{vertical} sur TRAP, et les deux
  angles droits qu'il porte en T et en P.

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.35}
  \begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.4cm}|}
  \hline
  & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
  \hline
  \textbf{a.} quad1 & \textbf{6} &
  Le côté vertical de TRAP est devenu \emph{horizontal} sur quad1, et quad1 se trouve de l'autre
  côté de la droite (DE). Seule une symétrie d'axe (DE) fait cela : la droite étant inclinée à
  45\degres, elle échange les directions verticale et horizontale. Ce n'est pas la symétrie
  centrale de centre D (numéro 3), qui aurait laissé le côté vertical.\\
  \hline
  \textbf{b.} quad2 & \textbf{1} &
  quad2 se déduit de TRAP en glissant, sans tourner : le côté vertical reste vertical et les deux
  figures sont orientées pareil. Le glissement se fait vers la droite et vers le haut, comme le
  déplacement qui mène de D à E. C'est donc la translation numéro 1, et non la numéro 4, qui
  irait dans l'autre sens.\\
  \hline
  \textbf{c.} quad3 & \textbf{2} &
  quad3 touche TRAP au point A, qui est donc le centre de la rotation. Le côté vertical [TP] est
  devenu horizontal : la figure a tourné d'un quart de tour, soit 90\degres, et non de
  120\degres{} (numéro 5), qui aurait laissé le côté incliné.\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  \item On développe le produit, puis on réduit :
  \begin{align*}
  (2x-3)(-5+2x)-4+6x
  &= -10x+4x^{2}+15-6x-4+6x\\
  &= 4x^{2}+(-10x-6x+6x)+(15-4)\\
  &= \boxed{4x^{2}-10x+11} .
  \end{align*}

  \item Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
  \[
  x-6=0\qquad\text{ou}\qquad 5x-2=0 ,
  \]
  \[
  x=6\qquad\text{ou}\qquad x=\frac{2}{5}=0{,}4 .
  \]
  \conclusion{l'équation a deux solutions : $\boxed{6}$ et $\boxed{0{,}4}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On divise successivement par les nombres premiers :
    \[
    \np{1386}=2\times3^{2}\times7\times11
    \qquad\text{et}\qquad
    \np{1716}=2^{2}\times3\times11\times13 .
    \]

    \item Les facteurs communs aux deux décompositions, pris avec leur plus petit exposant, sont
    $2$, $3$ et $11$ : leur produit vaut $2\times3\times11=66$. On simplifie donc par 66 :
    \[
    \frac{\np{1386}}{\np{1716}}=\frac{66\times21}{66\times26}=\frac{21}{26} .
    \]
    Cette fraction est irréductible : $21=3\times7$ et $26=2\times13$ n'ont aucun facteur premier
    commun.

    \conclusion{$\dfrac{\np{1386}}{\np{1716}}=\boxed{\dfrac{21}{26}}$.}
  \end{enumerate}

  \item Jokkmokk est à 67\degres{} \emph{Nord}, donc au-dessus de l'équateur, et à 19\degres{}
  \emph{Est}, donc à droite du méridien 0\degres. La croix se place ainsi dans le nord de la
  Scandinavie, au-delà du cercle polaire — la ville est d'ailleurs en Laponie suédoise.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{16}

\begin{enumerate}
  \item La boîte C contient $350+50=400$ jetons, dont 50 noirs. Les jetons étant indiscernables
  au toucher, tous les tirages sont équiprobables :
  \[
  p=\frac{50}{400}=\frac{1}{8} .
  \]

  \item On compare les trois probabilités en les écrivant sous forme décimale, ce qui est le plus
  sûr :
  \[
  \text{boîte A : } \frac{1}{10}=0{,}1 ,\qquad
  \text{boîte B : } 15\ \%=0{,}15 ,\qquad
  \text{boîte C : } \frac{1}{8}=0{,}125 .
  \]
  Or $0{,}15>0{,}125>0{,}1$.

  \conclusion{Maxime a intérêt à tenter sa chance dans la \boxed{\text{boîte B}}, celle où la
  probabilité de tirer un jeton noir est la plus grande.}

  \item Dans la boîte B, les 18 jetons noirs représentent 15 \% du total. En notant $n$ ce total :
  \[
  0{,}15\times n=18,\qquad n=\frac{18}{0{,}15}=120 .
  \]
  \conclusion{la boîte B contient $\boxed{120\ \text{jetons}}$.}

  \smallskip
  On peut vérifier : $15\ \%$ de 120, c'est $0{,}15\times120=18$.

  \item Après ajout de 10 jetons noirs, la boîte C contient $50+10=60$ jetons noirs. Notons $b$
  le nombre de jetons blancs à ajouter : le total devient $400+10+b=410+b$.

  \smallskip
  On veut que la probabilité reste $\dfrac{1}{8}$ :
  \[
  \frac{60}{410+b}=\frac{1}{8} .
  \]
  Deux fractions égales de numérateurs et dénominateurs non nuls donnent, en multipliant en
  croix :
  \[
  8\times60=410+b,\qquad 480=410+b,\qquad b=70 .
  \]
  \conclusion{il faut ajouter $\boxed{70\ \text{jetons blancs}}$.}

  \smallskip
  Vérification : la boîte contiendrait alors 60 jetons noirs sur $480$, et
  $\dfrac{60}{480}=\dfrac{1}{8}$.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{21}

\begin{enumerate}
  \item Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AB]. On calcule séparément les deux membres
  de l'égalité de Pythagore :
  \[
  \mathrm{AB}^{2}=17^{2}=289 ,
  \]
  \[
  \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=8^{2}+15^{2}=64+225=289 .
  \]
  Ces deux résultats sont égaux.

  \conclusion{d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
  \boxed{\text{ABC est rectangle en C}}.}

  \item Le triangle ABC étant rectangle en C, les deux côtés [CA] et [CB] sont perpendiculaires :
  ils jouent le rôle de la base et de la hauteur.
  \[
  \mathcal{A}=\frac{\mathrm{CA}\times\mathrm{CB}}{2}=\frac{8\times15}{2}=60 .
  \]
  \conclusion{l'aire du triangle ABC est de $\boxed{60\ \text{cm}^{2}}$.}

  \item Dans le triangle ABC rectangle en C, l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ a pour côté adjacent
  [AC] et pour hypoténuse [AB] :
  \[
  \cos\bigl(\widehat{\mathrm{BAC}}\bigr)=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{8}{17} .
  \]
  À la calculatrice :
  \[
  \widehat{\mathrm{BAC}}=\arccos\!\left(\frac{8}{17}\right)\approx61{,}9\degres .
  \]
  \conclusion{$\widehat{\mathrm{BAC}}\approx\boxed{62\degres}$ au degré près.}

  \item Les droites (AD) et (BE) se coupent en C, donc les angles $\widehat{\mathrm{ACB}}$ et
  $\widehat{\mathrm{DCE}}$ sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure. Comme
  $\widehat{\mathrm{ACB}}=90\degres$ d'après la question 1, le triangle CDE est lui aussi
  rectangle en C.

  \smallskip
  On applique alors le théorème de Pythagore dans le triangle CDE rectangle en C, dont
  l'hypoténuse est [DE] :
  \[
  \mathrm{DE}^{2}=\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{CE}^{2},\qquad
  13^{2}=\mathrm{CD}^{2}+12^{2},
  \]
  \[
  \mathrm{CD}^{2}=169-144=25,\qquad \mathrm{CD}=\sqrt{25}=5 .
  \]
  Le périmètre est la somme des trois côtés :
  \[
  5+12+13=30 .
  \]
  \conclusion{le périmètre du triangle CDE est de $\boxed{30\ \text{cm}}$.}

  \item Les points A, C, D sont alignés et les points B, C, E sont alignés. \emph{Si} les droites
  (AB) et (DE) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait :
  \[
  \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CE}} .
  \]
  Or on compare ces deux quotients :
  \[
  \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CD}}=\frac{8}{5}=1{,}6
  \qquad\text{et}\qquad
  \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CE}}=\frac{15}{12}=1{,}25 .
  \]
  Ils ne sont pas égaux.

  \conclusion{les droites (AB) et (DE) \boxed{\text{ne sont pas parallèles}}.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{19}

\begin{enumerate}
  \item Le bloc Motif répète 6 fois «~avancer de Longueur, tourner de 60\degres~» : il trace six
  segments de même longueur en tournant à chaque fois du même angle. C'est un \textbf{hexagone
  régulier}. Avec Longueur $=30$ pixels et l'échelle 1 mm par pixel, son côté mesure 30 mm, soit
  3 cm.

  \begin{center}
  \hexavraiegrandeur
  \end{center}

  \smallskip
  On peut remarquer que les six angles de 60\degres{} totalisent
  $6\times60\degres=360\degres$ : le stylo a fait un tour complet, la figure est bien fermée.

  \item La variable s'appelle \textbf{Longueur}.

  \conclusion{sur la figure tracée par le bloc Motif, elle correspond à ceci :}
  \[\boxed{\text{la longueur du côté de l'hexagone}}\]

  \item À la ligne 4, Longueur vaut 30. Après chaque hexagone, l'instruction 9 ajoute 10 à
  Longueur : les hexagones successifs ont donc pour côtés 30, 40, 50 puis 60 pixels, de plus en
  plus grands. Par ailleurs le stylo, orienté vers la droite, avance entre deux hexagones : ils
  se placent les uns à la suite des autres, de la gauche vers la droite.

  \conclusion{c'est la \boxed{\text{proposition 2}} : quatre hexagones alignés, de taille
  croissante vers la droite. La proposition 1 correspondrait à un programme sans l'instruction 8,
  où tous les hexagones partiraient du même point ; la proposition 3 est de taille décroissante,
  ce qui supposerait de \emph{retirer} 10 à Longueur.}

  \item La figure demandée comporte six hexagones \emph{identiques} et régulièrement espacés. Il
  faut donc en tracer six au lieu de quatre, et empêcher la longueur du côté de changer.

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
  \begin{tabular}{|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.6cm}|}
  \hline
  \textbf{Instruction} & \textbf{Modification}\\
  \hline
  5 & la \textbf{modifier} : remplacer « répéter 4 fois » par « répéter \textbf{6} fois ».\\
  \hline
  9 & la \textbf{supprimer} : c'est elle qui augmente Longueur de 10 à chaque tour.\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  L'instruction 8 n'est pas à toucher : Longueur ne variant plus, le déplacement
  $\text{Longueur}\times2+10$ reste le même d'un hexagone au suivant, et l'espacement est donc
  régulier.

  \item Pour tracer un carré, il faut quatre côtés et des angles droits.

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
  \begin{tabular}{|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.6cm}|}
  \hline
  \textbf{Instruction} & \textbf{Modification}\\
  \hline
  C & la \textbf{modifier} : remplacer « répéter 6 fois » par « répéter \textbf{4} fois ».\\
  \hline
  E & la \textbf{modifier} : remplacer « tourner de 60 degrés » par « tourner de \textbf{90}
  degrés ».\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  Là encore, la somme des angles fait un tour complet : $4\times90\degres=360\degres$.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{22}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On lit sur le graphique du fournisseur A l'ordonnée du point d'abscisse 200.

    \conclusion{200 tours Eiffel coûtent $\boxed{500\ \text{\euro}}$ chez le fournisseur A.}

    \item On lit cette fois sur le graphique du fournisseur B l'abscisse du point d'ordonnée
    \np{1300}.

    \conclusion{avec \np{1300} \euro, Nora a acheté environ $\boxed{600\ \text{tours Eiffel}}$
    chez le fournisseur B.}
  \end{enumerate}

  \item Une situation de proportionnalité est représentée par une \emph{droite passant par
  l'origine}.

  \smallskip
  Pour le fournisseur A, la représentation est bien une droite passant par l'origine : les prix
  sont proportionnels au nombre de tours Eiffel.

  \smallskip
  Pour le fournisseur B, la représentation passe par l'origine mais ce n'est pas une droite :
  elle s'infléchit. Les prix ne sont donc pas proportionnels. On le vérifie sur deux lectures :
  200 tours coûtent 500 \euro, mais 400 tours en coûtent environ 920, et non $2\times500=1000$.

  \conclusion{seul le fournisseur \boxed{\text{A}} propose des prix proportionnels.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$. On détermine $a$ à partir de $f(100)=250$ :
    \[
    a\times100=250,\qquad a=\frac{250}{100}=2{,}5 .
    \]
    \conclusion{$\boxed{f(x)=2{,}5x}$ : chaque tour Eiffel coûte 2,50 \euro{} chez le
    fournisseur A.}

    \item $f(\np{1000})=2{,}5\times\np{1000}=\np{2500}$.

    \conclusion{\np{1000} tours Eiffel coûtent $\boxed{\np{2500}\ \text{\euro}}$ chez le
    fournisseur A.}

    \item Chez le fournisseur B, on lit sur le graphique qu'à \np{1000} tours Eiffel correspond un
    prix d'environ \np{1800} \euro. Or $\np{1800}<\np{2500}$.

    \conclusion{pour \np{1000} tours Eiffel, le fournisseur le moins cher est le
    \boxed{\text{fournisseur B}}, avec une économie d'environ 700 \euro.}
  \end{enumerate}

  \item Chez le fournisseur C, le prix se compose des 150 \euro{} de paiement initial, à payer
  une seule fois, et de 2 \euro{} par tour Eiffel : pour $x$ tours, il vaut $150+2x$.

  \begin{enumerate}
    \item On complète le tableau.

    \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
    \begin{tabular}{|>{\raggedright\arraybackslash}m{3.4cm}|c|c|c|c|c|}
    \hline
    Nombre de tours Eiffel & 1 & 100 & \textbf{200} & \textbf{\np{1000}} & $\boldsymbol{x}$\\
    \hline
    Prix payé en euros avec le fournisseur C & 152 & 350 & \textbf{550} & \textbf{\np{2150}}
    & $\boldsymbol{150+2x}$\\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    En effet $150+2\times200=550$ et $150+2\times\np{1000}=\np{2150}$.

    \item On cherche le plus grand nombre de tours Eiffel dont le prix ne dépasse pas 580 \euro.
    On retire d'abord le paiement initial :
    \[
    580-150=430 ,
    \]
    puis on partage le reste en parts de 2 \euro :
    \[
    430\div2=215 .
    \]
    \conclusion{avec 580 \euro, Nora peut acheter $\boxed{215\ \text{tours Eiffel}}$ chez le
    fournisseur C. Elle dépenserait alors exactement $150+2\times215=580$ \euro.}

    \item On résout l'équation :
    \[
    2{,}5x=150+2x .
    \]
    On soustrait $2x$ aux deux membres :
    \[
    0{,}5x=150,\qquad x=\frac{150}{0{,}5}=300 .
    \]
    \conclusion{la solution est $\boxed{x=300}$.}

    \smallskip
    Le membre de gauche, $2{,}5x$, est le prix chez le fournisseur A ; celui de droite,
    $150+2x$, est le prix chez le fournisseur C. La solution est donc le nombre de tours Eiffel
    pour lequel \textbf{les deux fournisseurs demandent le même prix} : 300 tours, facturées
    $2{,}5\times300=750$ \euro{} de part et d'autre.

    \smallskip
    En dessous de 300 tours, le fournisseur A est le moins cher ; au-delà, c'est le fournisseur C,
    dont le paiement initial finit par être compensé par son prix unitaire plus bas.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
