\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Polynésie, 23 juin 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-polynesie-juin-2023}
\newcommand{\codefiche}{DNBPOL23}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Polynésie, 23 juin 2023
%  Redessinées en TikZ d'après le sujet officiel.
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1, question 1 : les trois droites ─────────────────────
% A : y = 1,5x + 3   (croissante, coupe l'axe des abscisses en -2)
% B : y = -2x + 3    (LA bonne : décroissante, ordonnée à l'origine 3)
% C : y = 3x - 2     (croissante, ordonnée à l'origine -2)
\newcommand{\repere}[1]{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.30,>=stealth]
  \draw[black!30] (-5,-3.4) grid (5,4.6);
  \draw[->,thick] (-5.4,0) -- (5.6,0);
  \draw[->,thick] (0,-3.8) -- (0,5.0);
  \foreach \x in {-4,-2,2,4}{
    \draw[thick] (\x,-0.16) -- (\x,0.16);
    \node[below=1pt,scale=0.8] at (\x,-0.2) {\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {2,4}{
    \draw[thick] (-0.16,\y) -- (0.16,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.8] at (-0.2,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \foreach \y in {-2}{
    \draw[thick] (-0.16,\y) -- (0.16,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.8] at (-0.2,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \node[below left=0pt,scale=0.8] at (0,0) {\footnotesize 0};
  #1
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\droiteA}{\repere{\draw[blue,very thick] (-4.5,-3.75) -- (1.05,4.575);}}
\newcommand{\droiteB}{\repere{\draw[blue,very thick] (-0.6,4.2) -- (3.4,-3.8);}}
\newcommand{\droiteC}{\repere{\draw[blue,very thick] (-0.5,-3.5) -- (2.15,4.45);}}

% ── Exercice 1, question 2 : la courbe et ses quatre points ────────
% Cubique passant par O, A(-2;1), B(-1;-2), C(1;2) et D(2;-1) :
%   y = -(5/6)x^3 + (17/6)x
\newcommand{\courbeqdeux}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.40,>=stealth]
  \draw[black!30] (-3,-3.4) grid (3,3.4);
  \draw[->,thick] (-3.3,0) -- (3.5,0);
  \draw[->,thick] (0,-3.7) -- (0,3.8);
  \foreach \x in {-2,2}{
    \draw[thick] (\x,-0.12) -- (\x,0.12);
    \node[below=1pt,scale=0.85] at (\x,-0.16) {\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {-2,2}{
    \draw[thick] (-0.12,\y) -- (0.12,\y);
    \node[left=1pt,scale=0.85] at (-0.16,\y) {\footnotesize $\y$};}
  \node[above left=-1pt,scale=0.85] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \node[below right=-1pt,scale=0.85] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \draw[blue,very thick,samples=120,domain=-2.35:2.35]
    plot (\x,{-0.8333*(\x)^3+2.8333*(\x)});
  \foreach \px/\py/\nom/\pos in {-2/1/A/below left, -1/-2/B/below, 1/2/C/above right, 2/-1/D/right}{
    \fill[blue] (\px,\py) circle (2.6pt);
    \node[blue,\pos=1pt] at (\px,\py) {\footnotesize \nom};
  }
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2 : plan général du support ──────────────────────────
% Vue en perspective, simplifiée : trois équerres identiques reliées
% par trois barres latérales de 4 m ; un panneau est grisé.
\newcommand{\plangeneral}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.66,line join=round,>=stealth]
  \def\dx{1.30} \def\dy{0.72}
  % trois équerres identiques, décalées en perspective
  \foreach \i in {0,1,2}{
    \draw[thick] (\i*\dx,\i*\dy) -- (\i*\dx+3.4,\i*\dy)
                 -- (\i*\dx,\i*\dy+1.7) -- cycle;
  }
  % les trois barres latérales, de 4 m
  \draw[thick] (0,0)     -- (2*\dx,2*\dy);
  \draw[thick] (3.4,0)   -- (3.4+2*\dx,2*\dy);
  \draw[thick] (0,1.7)   -- (2*\dx,1.7+2*\dy);
  % un panneau posé sur le plan incliné
  \fill[black!25] (0.30,1.55) -- (0.30+\dx,1.55+\dy)
                  -- (1.55+\dx,0.925+\dy) -- (1.55,0.925) -- cycle;
  \draw[thick]    (0.30,1.55) -- (0.30+\dx,1.55+\dy)
                  -- (1.55+\dx,0.925+\dy) -- (1.55,0.925) -- cycle;
  % cote des barres latérales
  \draw[<->] (-0.45,0.25) -- (-0.45+2*\dx,0.25+2*\dy);
  \node[above left=-3pt] at (-0.45+\dx,0.25+\dy) {\footnotesize 4 m};
  \node[below] at (2.4,-0.45) {\footnotesize Barres latérales};
  \draw[->] (1.9,-0.38) -- (1.15,-0.02);
  \draw[->] (2.9,-0.38) -- (3.4+0.55,0.28);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2 : plan détaillé d'une équerre ──────────────────────
% Triangle PHS rectangle en P : PH = 90 cm, PS = 140 cm.
% T sur [PS] et U sur [HS], avec (UT) perpendiculaire à (PS).
% La barre de renfort [UT] mesure 50 cm : T est donc placé de sorte que
% TU/PH = 50/90, soit ST = 140 x 50/90.
\newcommand{\planequerre}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.032,line join=round,>=stealth]
  \coordinate (P) at (0,0);
  \coordinate (S) at (140,0);
  \coordinate (H) at (0,90);
  \coordinate (T) at ({140-140*50/90},0);
  \coordinate (U) at ({140-140*50/90},50);
  \draw[thick] (P) -- (S) -- (H) -- cycle;
  \draw[thick] (T) -- (U);
  \draw (0,7) -- (7,7) -- (7,0);
  \draw ({140-140*50/90},7) -- ({140-140*50/90+7},7) -- ({140-140*50/90+7},0);
  \node[left=2pt]  at (H) {\footnotesize H};
  \node[left=2pt]  at (P) {\footnotesize P};
  \node[right=2pt] at (S) {\footnotesize S};
  \node[above right=0pt] at (U) {\footnotesize U};
  \node[below left=-1pt] at (T) {\footnotesize T};
  \node[rotate=90,anchor=south] at (-6,45) {\footnotesize 90 cm};
  \draw[<->] (0,-16) -- (140,-16);
  \node[below] at (70,-16) {\footnotesize 140 cm};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3 : le sac du jeu 1 et la roue du jeu 2 ──────────────
\newcommand{\sacboules}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round]
  \draw[thick] (-1.55,0.15) .. controls (-2.0,1.5) and (-1.5,2.35) .. (-0.95,2.6)
     .. controls (-0.5,2.85) and (0.5,2.85) .. (0.95,2.6)
     .. controls (1.5,2.35) and (2.0,1.5) .. (1.55,0.15)
     .. controls (1.25,-0.75) and (-1.25,-0.75) .. (-1.55,0.15) -- cycle;
  \draw[thick] (-0.95,2.6) .. controls (-0.55,2.25) and (0.55,2.25) .. (0.95,2.6);
  \foreach \x/\y/\l in {-0.60/0.98/P, 0.10/1.24/N, -0.72/0.15/P, 0.02/0.05/G, 0.76/0.36/G}{
    \draw[thick] (\x,\y) circle (0.42);
    \node at (\x,\y) {\footnotesize\bfseries \l};
  }
\end{tikzpicture}}

\newcommand{\rouesecteurs}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.62,line join=round,>=stealth]
  \draw[thick] (0,0) circle (2.0);
  \foreach \a in {0,60,...,300}{ \draw (0,0) -- (\a:2.0); }
  \foreach \a in {0,60,...,300}{ \fill (\a:2.0) circle (1.6pt); }
  \foreach \a/\n in {30/1,90/6,150/5,210/4,270/3,330/2}{
    \node at (\a:1.32) {\footnotesize\bfseries \n};
  }
  \draw[->,line width=2.2pt] (3.15,1.75) -- (1.28,0.72);
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 5 : la piste de karting ──────────────────────────────
% Repère en mètres, C à l'origine. Sens de parcours D-E-F-G-H-I-J-K-L-A-B-C-D.
%   C(0;0)  B(120;0)  A(150;30)  L(150;90)  K(180;120)  J(240;120)
%   I(240;240)  H(150;240)  G(120;210)  F(120;150)  E(90;120)  D(0;120)
% Quarts de cercle de rayon 30 (codés +), demi-cercles de rayon 60
% (codés x), segments [DE] et [HI] de 90 m (codés par un carré plein).
\tikzset{
  croix/.pic={\draw[thick] (-1.3mm,-1.3mm) -- (1.3mm,1.3mm);
              \draw[thick] (-1.3mm,1.3mm) -- (1.3mm,-1.3mm);},
  plusm/.pic={\draw[thick] (-1.3mm,0) -- (1.3mm,0);
              \draw[thick] (0,-1.3mm) -- (0,1.3mm);},
}
\newcommand{\pistekarting}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.0345,line join=round,>=stealth]
  % ── le tracé de la piste ──
  \draw[very thick] (0,120) -- (90,120);                                  % D E
  \draw[very thick] (90,150) arc[start angle=180,end angle=90,radius=30]; % E F
  \draw[very thick] (120,150) -- (120,210);                               % F G
  \draw[very thick] (120,210) arc[start angle=180,end angle=90,radius=30];% G H
  \draw[very thick] (150,240) -- (240,240);                               % H I
  \draw[very thick] (240,240) arc[start angle=90,end angle=-90,radius=60];% I J
  \draw[very thick] (240,120) -- (180,120);                               % J K
  \draw[very thick] (180,120) arc[start angle=0,end angle=-90,radius=30]; % K L
  \draw[very thick] (150,90) -- (150,30);                                 % L A
  \draw[very thick] (150,30) arc[start angle=0,end angle=-90,radius=30];  % A B
  \draw[very thick] (120,0) -- (0,0);                                     % B C
  \draw[very thick] (0,0) arc[start angle=-90,end angle=-270,radius=60];  % C D

  % ── codages du demi-cercle de gauche ──
  \draw[dashed] (0,0) -- (0,120);
  \draw[dashed] (0,60) -- (-60,60);
  \path (0,90) pic{croix}; \path (0,30) pic{croix}; \path (-30,60) pic{croix};
  \draw (0,53) rectangle (-7,60);
  % ── codages du demi-cercle de droite ──
  \draw[dashed] (240,120) -- (240,240);
  \draw[dashed] (240,180) -- (300,180);
  \path (240,210) pic{croix}; \path (240,150) pic{croix}; \path (270,180) pic{croix};
  \draw (240,173) rectangle (247,180);

  % ── quarts de cercle : rayons codés + ──
  \draw[dashed] (90,150) -- (120,150); \draw[dashed] (90,150) -- (90,120);
  \path (105,150) pic{plusm}; \path (90,135) pic{plusm};
  \draw (90,143) rectangle (97,150);
  \draw[dashed] (150,210) -- (120,210); \draw[dashed] (150,210) -- (150,240);
  \path (135,210) pic{plusm}; \path (150,225) pic{plusm};
  \draw (150,203) rectangle (143,210);
  \node[right=2pt] at (152,225) {\footnotesize 30 m};
  \draw[dashed] (180,90) -- (150,90); \draw[dashed] (180,90) -- (180,120);
  \path (165,90) pic{plusm}; \path (180,105) pic{plusm};
  \draw (180,97) rectangle (173,90);
  \draw[dashed] (120,30) -- (150,30); \draw[dashed] (120,30) -- (120,0);
  \path (135,30) pic{plusm}; \path (120,15) pic{plusm};
  \draw (120,37) rectangle (127,30);

  % ── segments codés ──
  \path (120,180) pic{croix};                       % FG
  \path (210,120) pic{croix};                       % JK
  \path (150,60) pic{croix};                        % LA
  \node[right=2pt] at (152,60) {\footnotesize 60 m};
  \fill (45,120) rectangle (52,127);                % DE
  \node[above=3pt] at (48,126) {\footnotesize 90 m};
  \fill (192,240) rectangle (199,247);              % HI
  \node[below] at (60,-2) {\footnotesize 120 m};

  % ── étiquettes des points ──
  \node[above left=-1pt]  at (0,120)   {\footnotesize D (Départ)};
  \node[below]            at (90,120)  {\footnotesize E};
  \node[right=2pt]        at (120,150) {\footnotesize F};
  \node[left=2pt]         at (120,210) {\footnotesize G};
  \node[above]            at (150,240) {\footnotesize H};
  \node[above]            at (240,240) {\footnotesize I};
  \node[below]            at (240,120) {\footnotesize J};
  \node[above]            at (180,120) {\footnotesize K};
  \node[left=2pt]         at (150,90)  {\footnotesize L};
  \node[right=2pt]        at (150,30)  {\footnotesize A};
  \node[below]            at (120,0)   {\footnotesize B};
  \node[below]            at (0,0)     {\footnotesize C};
\end{tikzpicture}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{16}

Aucune justification n'était demandée ; les explications ci-dessous sont là pour comprendre.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.7cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Pourquoi}\\
\hline
\textbf{1.} & \textbf{B} &
$f(x)=-2x+3$ est une fonction affine : sa représentation est une droite. Le coefficient
directeur $-2$ est \emph{négatif}, donc la droite descend — ce qui élimine A et C. On vérifie
avec l'ordonnée à l'origine : $f(0)=3$, et la droite B coupe bien l'axe des ordonnées en 3. Elle
coupe l'axe des abscisses en $1{,}5$, ce qui est cohérent avec $-2x+3=0$.\\
\hline
\textbf{2.} & \textbf{A} &
Chercher l'image de 1, c'est lire l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1 : c'est le point
C, d'ordonnée 2. Attention au piège : $-2$ est l'ordonnée du point B, d'abscisse $-1$, et 0 est
l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des abscisses.\\
\hline
\textbf{3.} & \textbf{C} &
Une formule de tableur doit renvoyer à la \emph{cellule} qui contient $x$, pour rester valable
quand on l'étire vers la droite. Ici $x$ est en B1, d'où \texttt{= - B1 + 1}. On vérifie :
$-(-3)+1=4$, la valeur affichée en B2. La réponse A donnerait bien 4, mais le nombre $-3$ y est
écrit en dur : étirée, la formule renverrait 4 partout. La réponse B n'est pas une formule de
tableur.\\
\hline
\textbf{4.} & \textbf{B} &
On applique l'identité $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=3x$ et $b=7$ :
$(3x-7)^{2}=(3x)^{2}-2\times3x\times7+7^{2}=9x^{2}-42x+49$. Les réponses A et C oublient le
double produit.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{16}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Le triangle PHS est rectangle en P, avec $\mathrm{PH}=90$ cm et $\mathrm{PS}=140$ cm.
    D'après le théorème de Pythagore :
    \[
    \mathrm{HS}^{2}=\mathrm{PH}^{2}+\mathrm{PS}^{2}=90^{2}+140^{2}=8100+\np{19600}=\np{27700} ,
    \]
    \[
    \mathrm{HS}=\sqrt{\np{27700}}\approx166{,}43\ \text{cm} .
    \]
    Arrondie au millimètre, on obtient bien $\mathrm{HS}\approx166{,}4$ cm.

    \item La longueur du panneau vaut 1700 mm, c'est-à-dire 170 cm. On calcule 95 \% de cette
    longueur :
    \[
    170\times0{,}95=161{,}5\ \text{cm} .
    \]
    Or $166{,}4>161{,}5$.

    \conclusion{oui, \boxed{\text{le support est conforme}} aux conseils du fabricant.}
  \end{enumerate}

  \item Dans le triangle PHS rectangle en P, l'angle $\widehat{\mathrm{HSP}}$ a pour côté opposé
  [PH] et pour côté adjacent [PS] :
  \[
  \tan\bigl(\widehat{\mathrm{HSP}}\bigr)=\frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{PS}}=\frac{90}{140} ,
  \]
  \[
  \widehat{\mathrm{HSP}}=\arctan\!\left(\frac{90}{140}\right)\approx32{,}7\degres .
  \]
  Or le fonctionnement est optimal pour une inclinaison comprise entre 30\degres{} et
  35\degres, et $30<32{,}7<35$.

  \conclusion{oui, \boxed{\text{l'inclinaison permet un fonctionnement optimal}}.}

  \item Les segments [UT] et [PH] sont tous deux perpendiculaires à [PS] : ils sont donc
  parallèles.

  \smallskip
  Dans le triangle SPH : T appartient à [SP], U appartient à [SH], et
  $(\mathrm{TU})\parallel(\mathrm{PH})$. D'après le théorème de Thalès :
  \[
  \frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{SP}}=\frac{\mathrm{SU}}{\mathrm{SH}}=\frac{\mathrm{TU}}{\mathrm{PH}} .
  \]
  On connaît $\mathrm{TU}=50$ cm et $\mathrm{PH}=90$ cm, d'où :
  \[
  \frac{\mathrm{ST}}{140}=\frac{50}{90},\qquad
  \mathrm{ST}=\frac{140\times50}{90}=\frac{700}{9}\approx77{,}78\ \text{cm} .
  \]
  \conclusion{$\boxed{\mathrm{ST}\approx77{,}8\ \text{cm}}$ au millimètre près.}

  \item Il faut d'abord savoir quelle longueur de tube demande chaque pièce.

  \smallskip
  \textbf{Une équerre} est le contour du triangle PHS, auquel s'ajoute la barre de renfort de
  50 cm :
  \[
  90+140+166{,}4+50=446{,}4\ \text{cm},\qquad\text{soit } 4{,}464\ \text{m} .
  \]
  Comme $4{,}464<4{,}5$, une équerre complète tient dans un seul tube — mais il en faut un
  entier, car il ne reste ensuite que 3,6 cm de chute.

  \smallskip
  \textbf{Une barre latérale} mesure 4 m. Deux barres demanderaient $2\times4=8$ m, ce qui
  dépasse les 4,5 m d'un tube : là encore, un tube par barre.

  \smallskip
  Le support compte 3 équerres et 3 barres latérales, soit :
  \[
  3+3=6\ \text{tubes},\qquad 6\times37=222 .
  \]
  \conclusion{Olivia doit prévoir un budget minimum de $\boxed{222\ \text{\euro}}$.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{18}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
  \item Le sac contient 5 boules, dont 2 portent la lettre G. Les boules étant indiscernables au
  toucher, tous les tirages sont équiprobables :
  \[
  p_{1}=\frac{2}{5} .
  \]

  \item La roue a six secteurs identiques, donc six résultats équiprobables : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  Parmi ces nombres, les nombres premiers — ceux qui ont exactement deux diviseurs — sont
  \textbf{2}, \textbf{3} et \textbf{5}. Il y en a trois.

  \smallskip
  Attention à 1, qui n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur), et à 4 et 6, qui sont
  composés.
  \[
  p_{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} .
  \]
  \conclusion{la probabilité de gagner au jeu 2 est $\boxed{\dfrac{1}{2}}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On compare les deux probabilités :
    \[
    \frac{2}{5}=0{,}4
    \qquad\text{et}\qquad
    \frac{1}{2}=0{,}5 .
    \]
    \conclusion{c'est le \boxed{\text{jeu 1}} qui offre la plus faible probabilité de gagner.}

    \item On veut que la proportion de boules G devienne $\dfrac{1}{4}$. Si l'on n'ajoute
    \emph{aucune} boule G, il reste 2 boules gagnantes, et il faut donc que le sac en contienne
    8 en tout :
    \[
    \frac{2}{8}=\frac{1}{4} .
    \]
    Le sac en contient déjà 5 : il faut en ajouter $8-5=3$, toutes sans la lettre G.

    \conclusion{on peut par exemple ajouter \boxed{\text{3 boules P}} — ou 3 boules N, ou encore
    2 boules P et 1 boule N : seule compte l'absence de G.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}

\smallskip
Les deux tirages sont indépendants : la boule piochée ne change rien à la roue. Pour gagner, il
faut réussir les deux à la fois, donc on multiplie les probabilités :
\[
p=\frac{2}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0{,}2 .
\]
\conclusion{la probabilité de gagner un lot est de $\boxed{\dfrac{1}{5}}$, soit 20 \%.}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{22}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On part de 4 et on suit les cinq étapes :
    \[
    4^{2}=16,\qquad 16\times2=32,\qquad 32+4=36,\qquad 36-66=-30 .
    \]
    On obtient bien $-30$.

    \item On part de $-3$ :
    \[
    (-3)^{2}=9,\qquad 9\times2=18,\qquad 18+(-3)=15,\qquad 15-66=-51 .
    \]
    \conclusion{on obtient $\boxed{-51}$.}
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item La première ligne doit produire le carré du nombre choisi : il faut donc le multiplier
    par lui-même. La deuxième doit multiplier ce carré par 2.

    \conclusion{en A : $\boxed{\text{Nombre choisi}}$\quad et en B : $\boxed{2}$.}

    \smallskip
    Le bloc calcule alors successivement $x^{2}$, puis $2x^{2}$, puis $2x^{2}+x$, puis
    $2x^{2}+x-66$ : c'est bien le programme de calcul.

    \item Le script essaie tous les nombres $0$ ; $0{,}5$ ; $1$ ; $1{,}5$ \dots{} en montant de
    0,5 à chaque tour, et n'affiche un message que lorsque le Résultat vaut 0.

    \conclusion{5,5 est la valeur du nombre de départ pour laquelle le programme de calcul
    \boxed{\text{donne 0}}, autrement dit une solution de l'équation $2x^{2}+x-66=0$.}

    \smallskip
    Vérification : $2\times5{,}5^{2}+5{,}5-66=2\times30{,}25+5{,}5-66=60{,}5+5{,}5-66=0$.
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On applique les cinq étapes au nombre $x$ : on obtient $x^{2}$, puis $2x^{2}$, puis
    $2x^{2}+x$, et enfin :

    \conclusion{l'expression obtenue est $\boxed{2x^{2}+x-66}$.}

    \item On utilise la forme factorisée : le résultat est nul lorsque
    \[
    (2x-11)(x+6)=0 .
    \]
    Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
    \[
    2x-11=0\qquad\text{ou}\qquad x+6=0 ,
    \]
    \[
    x=\frac{11}{2}=5{,}5\qquad\text{ou}\qquad x=-6 .
    \]
    \conclusion{le résultat est nul pour $\boxed{x=5{,}5}$ et pour $\boxed{x=-6}$.}

    \smallskip
    On comprend maintenant pourquoi le lutin n'a annoncé que 5,5 : le script de Lucie part de 0
    et ne teste que des nombres positifs. La solution $-6$ lui échappe.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\exercice{5}{22}

\begin{enumerate}
  \item La piste se décompose en trois familles d'éléments. Le codage de la figure donne leurs
  dimensions : les segments marqués d'une croix mesurent 60 m, ceux marqués d'un carré plein
  90 m, et les rayons marqués d'un $+$ valent 30 m.

  \smallskip
  \textbf{Les six segments :}
  \[
  \underbrace{90}_{[\mathrm{DE}]}+\underbrace{60}_{[\mathrm{FG}]}+\underbrace{90}_{[\mathrm{HI}]}
  +\underbrace{60}_{[\mathrm{JK}]}+\underbrace{60}_{[\mathrm{LA}]}+\underbrace{120}_{[\mathrm{BC}]}
  =480\ \text{m} .
  \]

  \textbf{Les quatre quarts de cercle}, de rayon 30 m. Quatre quarts de cercle mis bout à bout
  forment un cercle entier :
  \[
  4\times\frac{2\pi\times30}{4}=2\pi\times30=60\pi\ \text{m} .
  \]

  \textbf{Les deux demi-cercles}, de rayon 60 m — les croix montrent que le diamètre vaut
  $60+60=120$ m. Deux demi-cercles forment un cercle entier :
  \[
  2\times\frac{2\pi\times60}{2}=2\pi\times60=120\pi\ \text{m} .
  \]

  \smallskip
  En additionnant :
  \[
  480+60\pi+120\pi=480+180\pi\approx480+565{,}49=\np{1045}{,}49\ \text{m} .
  \]
  \conclusion{arrondie à l'unité, la longueur de la piste est bien de $\boxed{\np{1045}\
  \text{m}}$.}

  \item La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée :
  \[
  v=\frac{\np{1045}}{60}\approx17{,}4166\dots
  \]
  \conclusion{la vitesse moyenne du professionnel est d'environ
  $\boxed{17{,}42\ \text{m/s}}$.}

  \item L'amateur parcourt \np{1045} m en 72 s :
  \[
  v=\frac{\np{1045}}{72}\approx14{,}51\ \text{m/s} .
  \]
  Il faut comparer à 60 km/h : on convertit donc en kilomètres par heure. En une heure, soit
  3\,600 s, l'amateur parcourrait :
  \[
  14{,}51\times3\,600\approx\np{52250}\ \text{m},\qquad\text{soit environ }52{,}25\ \text{km/h}.
  \]
  Or $52{,}25<60$.

  \conclusion{oui, \boxed{\text{l'amateur respecte les règles de sécurité}}.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On décompose les deux durées :
    \[
    60=2^{2}\times3\times5
    \qquad\text{et}\qquad
    72=2^{3}\times3^{2} .
    \]

    \item Ils se retrouvent ensemble sur la ligne de départ aux instants qui sont à la fois un
    multiple de 60 et un multiple de 72. Le premier de ces instants est le \textbf{PPCM} de 60
    et 72. On le lit sur les décompositions, en prenant tous les facteurs premiers avec leur
    plus grand exposant :
    \[
    \mathrm{PPCM}(60\,;72)=2^{3}\times3^{2}\times5=8\times9\times5=360 .
    \]
    \conclusion{ils se retrouveront ensemble au bout de $\boxed{360\ \text{s}}$, soit 6 minutes.}

    \item Il reste à diviser cette durée par celle d'un tour :
    \[
    360\div60=6
    \qquad\text{et}\qquad
    360\div72=5 .
    \]
    \conclusion{le professionnel aura effectué $\boxed{6\ \text{tours}}$ et l'amateur
    $\boxed{5\ \text{tours}}$ — le professionnel aura pris exactement un tour d'avance.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
