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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

% -------- PARAMÈTRES --------
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\newcommand{\soustitre}{Polynésie française, 27 juin 2024}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
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            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
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    \centering
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\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Polynésie française, 27 juin 2024}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\text{AB}^2 = 20^2 = 400$ et $\text{BC}^2 = 21^2 = 441$. D'où $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 841$.

$\text{AC}^2 = 29^2 = (30 - 1)^2 = 900 - 60 + 1 = 841$.

On a $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

\item La droite représente une fonction affine $x \mapsto ax + b$.

$b = 1$ (ordonnée à l'origine)~; $a = \dfrac{1}{2}$ (coefficient directeur).

Conclusion : $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$.

\item Comme $\vect{\text{OE}} = -2\vect{\text{OC}}$, la transformation est l'homothétie de centre O et de rapport $-2$.

\item Tableau de proportionnalité~:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}c}
ananas & passion & citron & cocktail \\
10 & 6 & 2 & $10 + 6 + 2 = 18$ \\
 & $6{\color{red}\times 5}$ & & $90 = 18 \times {\color{red}5}$ \\
\end{tabularx}
\end{center}

On passe à la ligne 3 en multipliant par 5, d'où $5 \times 6 = 30$~cL de jus de fruit de la passion.

\item $408 = 8 \times 3 \times 17$~; $168 = 8 \times 3 \times 7$.

On peut faire au maximum 24 sacs identiques contenant 17 pommes et 7 poires.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 17 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 4 éditions (5 en comptant Tokyo) ont eu un coût réel supérieur ou égal à 10 milliards d'euros.
\item Pourcentage d'augmentation (Rio 2016)~: $\dfrac{16{,}5 - 9}{9} \times 100 \approx 83{,}3~\%$ soit environ 83~\%.
\item Moyenne du coût réel de 1992 à 2021~:

$\dfrac{9{,}3 + 2{,}3 + 5{,}5 + 10 + 31 + 11 + 16{,}5 + 12{,}1}{8} = \dfrac{97{,}7}{8} = \np{12,2125}$, soit 12,2 au dixième de milliard près.

\item
    \begin{enumerate}
        \item Le journaliste confond moyenne et médiane.
        \item Soit $p$ le coût prévisionnel des JO de Paris 2024~:

$\dfrac{3{,}5 + 1{,}8 + 3 + 5{,}3 + 2{,}6 + 4{,}8 + 9 + 13 + p}{9} = 5{,}5$, d'où $43 + p = 49{,}5$, soit $p = 6{,}5$~milliards d'euros.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}}

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
    \draw (0.2,0) -- (3.8,0);
    \draw (6.8,0) -- (10.5,0) -- (10.5,2.3) -- cycle;
    \fill[pattern=vertical lines] (3.8,-0.4) rectangle (6.8,0);
    \draw (3.8,-0.4) rectangle (6.8,0);
    \draw (10.5,1.35) -- (8.93,1.35);
    \draw (3.8,0) -- (0.2,1.9) -- (0.2,0);
    \draw (0.2,0) rectangle (0.4,0.2);
    \draw (10.5,0) rectangle (10.3,0.2);
    \draw (10.5,1.35) rectangle (10.3,1.55);
    \node[below] at (1.7,0) {\small Gradins Nord};
    \node[below] at (8.65,0) {\small Gradins Sud};
    \node[below] at (5.3,-0.4) {\small Piscine olympique};
    \node[above left] at (0.2,1.9) {A};
    \node[above right] at (3.8,0) {B};
    \node[below left] at (0.2,0) {C};
    \node[above left] at (6.8,0) {D};
    \node[below right] at (10.5,0) {E};
    \node[above right] at (10.5,2.3) {F};
    \node[right] at (10.5,1.35) {H};
    \node[above left] at (8.93,1.35) {J};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Dans le triangle ABC rectangle en C, le théorème de Pythagore donne :

$\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2 = 15^2 + 27^2 = 225 + 729 = 954$, d'où $\text{AB} = \sqrt{954} = 3\sqrt{106} \approx 31$~(m) au mètre près.

        \item Les droites (JH) et (DE) sont toutes deux perpendiculaires à (EF), donc parallèles. Configuration de Thalès (points F, J, D et F, H, E alignés)~:

$\dfrac{\text{FJ}}{\text{FD}} = \dfrac{\text{FH}}{\text{FE}}$, soit $\dfrac{15}{\text{FD}} = \dfrac{7}{18}$, d'où $\text{FD} = \dfrac{15 \times 18}{7}$.

$\text{JD} = \text{FD} - \text{FJ} = \dfrac{15 \times 18}{7} - 15 = \dfrac{15 \times 11}{7} \approx 23{,}6$, soit environ 24~(m).

        \item Jules est le plus proche de la piscine.
    \end{enumerate}
\item Dans le triangle ABC rectangle en C~: $\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}} = \dfrac{15}{27} = \dfrac{5}{9}$, d'où $\widehat{\text{ABC}} \approx 29{,}1\degres < 35\degres$ : la norme est respectée.

\item Un panneau a une aire de $1{,}7~\text{m}^2$, donc $\dfrac{\np{4678,4}}{1{,}7} = \np{2752}$ panneaux.

Ces \np{2752} panneaux produiront $\np{2752} \times 350 = \np{963200}$~kWh par an.

\item Volume de la piscine~: $50 \times 25 \times 3 = \np{3750}~\text{m}^3$.

Énergie nécessaire~: $\np{3750} \times 9{,}3 = \np{34875}$~kWh.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir le tableau en annexe.
\item Il y a 2 issues favorables sur 6 : probabilité $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
\item Les issues multiples de 3 sont 6, 9, 15 et 15 : probabilité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. L'affirmation est vraie.
\item $165 = 3 \times 5 \times 11$ : le tirage dans la troisième boîte est 11.

$78 = 2 \times 3 \times 13$ : le tirage dans la troisième boîte est 13.

La troisième boîte contient deux boules marquées 11 et 13.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 23 points}}

\medskip

\begin{center}
$f(x) = (x + 2)^2 - x$ \quad et \quad $g(x) = 7x + 4$
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(-4) = (-4 + 2)^2 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
\item $g(x) = 3 \iff 7x + 4 = 3 \iff x = -\dfrac{1}{7}$. Donc $g\!\left(-\dfrac{1}{7}\right) = 3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Formule en B3~: \texttt{=7*B1+4}.
        \item $f(0) = 4$ et $g(0) = 4$~: la méthode trouve $x = 0$.
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Voir le script en annexe~: ligne 4 = \texttt{mettre image par g à 7*réponse+4}.
        \item Le programme affiche \og le nombre choisi est une solution de $f(x) = g(x)$\fg{}.
        \item Une solution est $x = 0$.
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item $f(x) = g(x) \iff (x+2)^2 - x = 7x + 4 \iff x^2 + 4x + 4 - x = 7x + 4 \iff x^2 - 4x = 0$.
        \item $x^2 - 4x = x(x - 4)$.
        \item $x(x-4) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 4$. L'équation a deux solutions : 0 et 4.
    \end{enumerate}
\item Paul n'a pas trouvé la solution 4 (hors du tableau) ; Jane n'est pas sûre d'avoir tout trouvé (échantillon fini) ; Morgane a tout résolu dans $\Z$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\huge \textbf{ANNEXE}}

\medskip

{\large \textbf{(à rendre avec la copie)}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4, question 1.}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{1\up{er} tirage}{2\up{e} tirage} & 3 & 5 \\ \hline
5 & 15 & 25 \\ \hline
2 & 6  & 10 \\ \hline
3 & 9  & 15 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 5, question 2.~a.}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\renewcommand*\numblock[1]{\color{black}\footnotesize\bfseries{Ligne #1}}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{image par f} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalvariable{réponse}+\ovalnum{2}} * \ovaloperator{\ovalvariable{réponse}+\ovalnum{2}} - \ovalvariable{réponse}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{image par g} à \ovaloperator{\ovalnum{7}*\ovalvariable{réponse}+\ovalnum{4}}}
\blockifelse{si \booloperator{\ovalvariable{image par f} = \ovalvariable{image par g}} alors}
{\blocklook{dire \ovalnum{le nombre choisi est une solution de f(x)=g(x)} pendant \ovalnum{2} secondes}}
{\blocklook{dire \ovalnum{le nombre choisi n'est pas une solution de f(x)=g(x)} pendant \ovalnum{2} secondes}}
\end{scratch}
\end{center}

\end{document}
