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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Polynésie, septembre 2015}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
% Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.}
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Voici un programme de calcul:

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme A}}\\
%$\bullet~~$Choisir un nombre.\\
%$\bullet~~$Ajouter 3.\\
%$\bullet~~$Calculer le carré du résultat obtenu.\\
%$\bullet~~$Soustraire le carré du nombre de départ.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Eugénie choisit 4 comme nombre de départ. Vérifier qu'elle obtient 33 comme résultat du programme.
		On obtient successivement :
		
		$4~;~4 + 3 = 7~;~7^2 = 49~;~49 - 4^2 = 49 - 16 = 33$.
		\item %Elle choisit ensuite $-5$ comme nombre de départ. Quel résultat obtient-elle ?
		$- 5~;~- 5 + 3 = - 2~;~(- 2)^2 = 4~;~4 - (- 5)^2 = 4 - 25 = - 21$.
	\end{enumerate}
\item %Voici un deuxième programme de calcul:

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme B}}\\
%$\bullet~~$Choisir un nombre.\\
%$\bullet~~$Multiplier par 6.\\
%$\bullet~~$Ajouter 9 au résultat obtenu.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%Clément affirme: \og Si on choisit n'importe quel nombre et qu'on lui applique les deux programmes, on
%obtient le même résultat. \fg
%Prouver que Clément a raison.
Premier programme : si $x$ est le nombre choisi au départ, on obtient successivement :

$x~;~x + 3~;~(x + 3)^2~;~(x + 3)^2 - x^2 $

Deuxième programme : si $x$ est le nombre choisi au départ, on obtient successivement :

$x~;~6x~;~6x + 9$.

Or $(x + 3)^2 - x^2 = (x + 3 + x)(x + 3 - x) = 3(2x + 3) = 6x + 9$.

Les deux programmes donnent le même résultat.

item %Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat des programmes soit $54$ ?
Il faut trouver un nombre $x$ tel que $6x + 9 = 54$ soit $6x = 45$ ou $2x = 15$ et $x = 7,5$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

%Dans chaque cas, dire si l'affirmation est vraie ou fausse (\emph{on rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées}).
%
%\medskip

%\parbox{0.53\linewidth}{\textbf{Affirmation 1}
%
%L'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure au dixième de degré près 36,9\degres.}
%\hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.75,0)(5,3.5)
%\pscurve(0.5,0.25)(2.5,0.22)(4.5,0.25)
%\pscurve(4.5,0.25)(2.5,2.2)(0.5,3.5)
%\pscurve(0.5,3.5)(0.45,2)(0.5,0.25)
%\psframe(0.5,0.25)(0.8,0.55)
%\uput[dl](0.5,0.25){A}\uput[r](4.5,0.25){B}\uput[ul](0.5,3.5){C}
%\uput[l](0.5,1.875){3 cm}\uput[d](2.5,0.25){4 cm}\uput[ur](2.5,2.1){5 cm}
%\end{pspicture}
%}
Dans le triangle rectangle en A, ABC, on  a :

$\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{4}{5} = 0,8$ ; la calculatrice livre  $\widehat{\text{ABC}} \approx 3§,88$ soit au dixième près 36,9\degres. L’affirmation est vraie.
 
\medskip

\textbf{Affirmation 2}

%Le nombre 3 est une solution de l'équation $x^2 + 2x - 15 = 0$.

En remplaçant $x$ par $3$ dans l’équation on obtient :

$3^2 + 2 \times 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$.

L’affirmation est vraie.

\medskip

\textbf{Affirmation 3}

%\parbox{0.5\linewidth}{Le prix avant la remise est de 63,70~\euro.}
%\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,3.5)
%\psframe(5,3.5)
%\rput(1.75,3){Prix avant remise : \ldots \euro}
%\rput(2.5,2){\Large Soldes $ - 30$\,\%}
%\rput(4,1){Nouveau prix}
%\rput(4,0.5){49~\euro}
%\end{pspicture}}
Si la solde est de 30\,\% le nouveau prix est égal à 70\,\% de l’ancien prix $x$.

On a donc : $x \times 0,7 = 49$ soit $x = \dfrac{49}{0,7} = \dfrac{490}{7} = 70$(\euro). L’affirmation est fausse.
\medskip

\textbf{Affirmation 4}

%On a plus de chance de gagner en choisissant l'urne 2.
%
%\textbf{Règle du jeu :}
%
%Deux urnes contiennent des boules indiscernables au toucher. On choisit une des deux urnes
%et on en extrait une boule au hasard. On gagne si la boule obtenue est rouge.
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4,3)
%\rput(2,2.5){\textbf{Urne 1}}
%\rput(2,1.5){35 boules rouges}
%\rput(2,1){et}
%\rput(2,0.5){65 boules blanches}
%\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4,3)
%\rput(2,2.5){\textbf{Urne 2}}
%\rput(2,1.5){19 boules rouges}
%\rput(2,1){et}
%\rput(2,0.5){31 boules blanches}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
Dans l’urne 1, la probabilité de gagner est égale à $\dfrac{35}{35+65} = \dfrac{35}{100} = 0,35$.

Dans l’urne 2, la probabilité de gagner est égale à $\dfrac{19}{19+31} = \dfrac{19}{50} = \dfrac{38}{100} =  0,38$.

L’affirmation est vraie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le bar et le P.S.I. (Pound per Square Inch ou livre par pouce carré) sont deux unités utilisées pour mesurer la pression.

%Le graphique ci-dessous donne la correspondance entre ces 2 unités.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.11cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-5,-0.5)(90,6)
%\multido{\n=0.5+2.5}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,6)}
%\multido{\n=0.00+0.25}{24}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt](0,\n)(90,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-4,-0.4)(90,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.5](0,0)(90,6)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](80,5.5)
%\uput[u](80,0){Pression en P. S. I.}
%\uput[r](0,5.8){Pression en bar}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Avant de prendre la route, Léa vérifie la pression des pneus de sa voiture. La pression conseillée sur le manuel du véhicule est de 36 P.S.I.
%
%Déterminer à l'aide du graphique la pression conseillée en bar. Aucune justification n'est attendue.
La verticale contenant le point d’abscisse 36 coupe la droite en un point d’ordonnée à peu près égale à $2,5$~(bar).
\item %Léa se rend à Brest en prenant la route N12 qui passe par Morlaix. Alors qu'elle se trouve à 123 km de Brest, elle voit le panneau-ci-dessous 

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,3.25)
%\psframe[linewidth=2pt](5,1.85)
%\uput[r](0,1.5){\textbf{BREST}}
%\uput[r](3.5,1.5){123}
%\uput[r](0,0.5){\textbf{MORLAIX}}\uput[r](3.5,0.5){\textbf{64}}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red](2,2)(3,2.75)
%\rput(2.5,2.375){\white N 12}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Dans combien de kilomètres la distance qui la sépare de Morlaix sera la même que celle de Morlaix à Brest?
D’après le panneau la distance de Morlaix à Brest est égale à :

$123 - 64 = 59$, donc Léa sera à 59 km de Morlaix dans $64 - 59 = 5$~(km).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip
 
%Chez le fleuriste un bouquet composé de 5 tulipes et 2 roses   coûte 13,70 euros.
% 
%Une tulipe et une rose valent ensemble 4,30 euros.
% 
%Calculer le prix d'une tulipe et le prix d'une rose.
%
%\medskip
% 
%$\left.\begin{tabular}{l}
%\text{T T T T T}\\
%\text{R R}
%\end{tabular}\right\}$ \quad 13,70~\euro
%
%\medskip
%
%$\left.\begin{tabular}{l}\text{T}\\
%\text{R}
%\end{tabular}\right\}$ \quad4,30~\euro

%\bigskip
%
%T $\rightarrow$ \ldots~\euro
%
%R $\rightarrow$ \ldots~\euro
Si $t$ est le prix d’une tulipe et $r$ le prix d’une rose, on a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
5t + 2r&=&13,70\\
\phantom{5}t + \phantom{5}r&=&4,30
\end{array}\right.$

On peut en déduire en multipliant chaque membre de la deuxième équation par 5 :

$\left\{\begin{array}{l c l}
5t + 2r&=&13,70\\
5t + 5r&=&21,50
\end{array}\right.$ soit par différence :

$3r = 7,80$ et finalement $r = 2,60$~\euro. Par complément à 4,30, on obtient 

$t = 4,30 - 2,60 = 1,70$~(\euro).
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 7 points}

\medskip

%Laurent s'installe comme éleveur de chèvres pour produire du lait afin de fabriquer des fromages.
%
%\medskip
%
\textbf{PARTIE 1 : La production de lait}
%
%\medskip
%
%\textbf{Document 1}
%
%\textbf{Chèvre de race alpine :} 
%
%\textbf{Production de lait :} 1,8 litre de lait par jour et par chèvre en moyenne
%
%\textbf{Pâturage :} 12 chèvres maximum par hectare 
%
%\medskip
%
%\textbf{Document 2}
%
%Plan simplifié des surfaces de pâturage.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(9.5,7.8)
%\pspolygon(0.2,0.5)(3.8,0.5)(3.8,4.1)(9.4,4.1)(9.4,7.5)(0.2,7.5)
%\psframe(0.2,0.5)(0.6,0.9)
%\psframe(3.8,0.5)(3.4,0.9)
%\psframe(9.4,4.1)(9,4.5)
%\psframe(9.4,7.5)(9,7.1)
%\psframe(0.2,7.5)(0.6,7.1)
%\uput[u](4.8,7.5){620 m}
%\uput[d](2,0.5){240 m}
%\psline(2,0.7)(2,0.3)
%\psline(3.6,2.3)(4,2.3)
%\psline(9.2,5.8)(9.6,5.8)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\textbf{Document 3}
%
%1 hectare = \np{10000} m$^2$

\begin{enumerate}
\item %Prouver que Laurent peut posséder au maximum 247 chèvres.
On peut partager la surface de pâturage en deux rectangles, l’un de 240~(m) sur $2 \times 240 = 480$~(m) et l’autre de 240~(m) sur $620 - 240 = 380$~(m).

L’aire totale est égale à $240 \times 480 + 380 \times 240 = \np{206400}$~m$^2$, soit 20,64 ha ; donc on peut y faire paître au maximum :

$20,64 \times 12 = 247,68$, soit un maximum de 247 chèvres.

\emph{Remarque} : Autre méthode : on peut décomposer la surface du pâturage en un rectangle de longueur $620$~m et de largeur $240$~m et un carré de côté $240$~m.

Aire totale : $620 \times 240 + 240^2 = \np{206400}$~m$^2$.
\item %Dans ces conditions, combien de litres de lait peut-il espérer produire par jour en moyenne ?
Les 247 chèvres donneront en moyenne par jour :

$247 \times 1,8 = 444,6$~litres de lait.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 : Le stockage du lait}
 
\medskip

%Laurent veut acheter une cuve cylindrique pour stocker le lait de ses
%chèvres.
%
%Il a le choix entre 2 modèles :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] cuve A : contenance 585 litres
%\item[$\bullet~~$] cuve B : diamètre 100 cm, hauteur 76 cm
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
% 
%Formule du volume du cylindre : $V = \pi \times  r^2 \times h$
% 
%Conversion : 1 dm$^3$ = 1 L
% 
% \medskip
 
%Il choisit la cuve ayant la plus grande contenance. Laquelle va-t-il acheter ?
Volume de la cuve B : $V_{\text{B}} = \pi \times  5^2 \times 7,6 = 190\pi \approx 596,9$~dm$^3$. 

Il va donc acheter une cuve B.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 6 points}

\medskip

%Germaine souhaite réaliser un escalier pour monter à l'étage de son
%appartement.
%
%Elle a besoin pour cela de connaître les dimensions du limon (planche
%dans laquelle viendront se fixer les marches de cet escalier).
%
%Elle réalise le croquis ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm,arrowsize=3pt 5}
%\begin{pspicture}(0,-1)(18.2,7)
%%\psgrid
%\psline(0,0.5)(18.2,0.5)
%\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0.5)(2.6,0.5)(10.1,5.2)(10.1,6.1)
%\psline(16.8,5.2)(10.1,5.2)(10.1,6.1)(16.8,6.1)
%\psline[linestyle=dotted](10.1,5.2)(10.1,0.5)
%\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(11.5,6.1)(11.5,5.2)
%\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(11.5,0.5)(11.5,5.2)
%\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(1.3,-0.5)(10.1,-0.5)
%\uput[u](5.7,-0.5){360 cm}
%\rput(15.6,5.7){Épaisseur de la dalle : 20 cm}
%\rput(15.6,2.8){Hauteur sous plafond : 250 cm}
%\psframe(10.1,0.5)(10.4,0.8)
%\uput[d](2.6,0.5){A} \uput[d](10.1,0.5){B} \uput[dr](10.1,5.2){C} 
%\uput[u](10.1,6.1){D} \uput[d](1.3,0.5){E} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Sur ce croquis :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item le limon est représenté par le quadrilatère ACDE.
%\item les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
%\item les points E, A et B sont alignés.
%\item les points B, C et D sont alignés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
\begin{enumerate}
\item %Prouver que ED = 450 cm.
BD = BC + CD = 250 + 20 = 270~(cm).

Dans le triangle BDE rectangle en B, le théorème de Pythagore s’écrit :

$\text{ED}^2 = \text{EB}^2 + \text{BD}^2  = \np{202500}$.

Donc ED $ = \sqrt{\np{202500}} = 450$~(cm).
\item %Calculer les deux dimensions AC et AE de cette planche. Arrondir les résultats au centimètre.
E, A, C sont alignés dans cet ordre ainsi que D, C, B et les droites (CA) et (ED) sont parallèles ; on peut donc appliquer le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{BC}}{\text{BD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{ED}}$ soit $\dfrac {250}{270} = \dfrac{\text{AC}}{450}$ qui donne :

$270 \text{AC} = 250 \times 450$ ou  $\text{AC} = \dfrac{250 \times 9 \times 50}{9 \times 30} = \dfrac{\np{1250}}{3} \approx 416,67$ soit 417~(cm) au centimètre près.

Toujours d’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{BA}}{\text{BE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{BD}}$ soit $\dfrac{\text{BA}}{\text{360}} = \dfrac{250}{270}$ ; donc 

$270\text{BA} = 360 \times 250$ et $\text{BA} = \dfrac{360 \times 250}{270} = \dfrac{9 \times 4 \times 10 \times 250}{9 \times 10 \times 3} = \dfrac{\np{1000}}{3} \approx 333,33$.

Donc AE $= 360 - \dfrac{\np{1000}}{3} = \dfrac{\np{1080} - \np{1000}}{3} = \dfrac{80}{3} \approx 26,67$ soit 27~cm au centimètre près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 6 points}

\medskip

%La distance d'arrêt est la distance que parcourt un véhicule entre le moment où son conducteur voit un obstacle et le moment où le véhicule s'arrête.
%
%Une formule permettant de calculer la distance d'arrêt est :
%
%\[D = \dfrac{5}{18} \times  V + 0,006 \times  V^2 \qquad \begin{tabular}{l}
%$\bullet$~~ D : \text{est la distance d'arrêt en m}\\
%$\bullet$~~ V : \text{la vitesse en km/h}
%\end{tabular}\]

\begin{enumerate}
\item %Un conducteur roule à 130~km/h sur l'autoroute. Surgit un obstacle à 100~m de lui. Pourra-t-il s'arrêter à temps ?
On a $D = \dfrac{5}{18} \times  130 + 0,006 \times  130^2 \approx 137,5$~(m) : le conducteur ne pourra pas s’arrêter à temps.
\item %On a utilisé un tableur pour calculer la distance d'arrêt pour quelques vitesses. Une copie de l'écran obtenu est donnée ci-dessous. La colonne B est configurée pour afficher les résultats arrondis à l'unité.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B\\ \hline
%1&Vitesse en km/h& Distance d'arrêt en m\\ \hline
%2&30& 14\\ \hline
%3&40& 21\\ \hline
%4&50& 29\\ \hline
%5&60& 38\\ \hline
%6&70& 49\\ \hline
%7&80& 61\\ \hline
%8&90& 74\\ \hline
%9&100& 88\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B2 avant de la recopier vers le bas ?
En formatant la colonne B à l’unité près on tape en B2 : 

=A2 *5/18 + A2\verb|^| 2  *0,006.
\item %On entend fréquemment l'affirmation suivante: \og Lorsqu'on va deux fois plus vite, il faut une
%distance deux fois plus grande pour s'arrêter \fg. Est-elle exacte ?
Non : 38~(m) à la vitesse de 60~(km/h) est plus du double de 14~(m) pour s’arrêter à 30~(km/h).
\item %Au code de la route, on donne la règle suivante pour calculer de tête sa distance d'arrêt:
%\og Pour une vitesse comprise entre 50 km/h et 90 km/h, multiplier par lui-même le chiffre des dizaines de la vitesse \fg.
 
%Le résultat calculé avec cette règle pour un automobiliste qui roule à 80~km/h est-il cohérent avec celui calculé par la formule ?
On a $5^2 = 25$ pour une distance de 29 ;

$6^2 = 36$ pour une distance de 38 ;

$7^2 = 49$ pour une distance de 49 ;

$8^2 = 64$ pour une distance de 61 ; 

$9^2 = 81$ pour une distance de 74

Cette règle est à peu près cohérente avec la formule exacte.
\end{enumerate}

\end{document}
