\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta,positioning,shapes.geometric}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage{mathrsfs}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Diplôme national du brevet}
\newcommand{\soustitre}{Brevet des collèges — Polynésie, 11 septembre 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/brevet-maths/dnb-polynesie-sept-2023}
\newcommand{\codefiche}{DNBPOLS23}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\headrule}{}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre\par}
    {\normalsize\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}\\[3pt]{\footnotesize\bfseries\ttfamily\color{red}\codefiche}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\newcommand{\exercice}[2]{%
  \bigskip\noindent
  {\large\textbf{Exercice #1 \hfill #2 points}}\par\medskip
}
\newcommand{\conclusion}[1]{\par\smallskip\textbf{Conclusion :} #1}


% ════════════════════════════════════════════════════════════════════
%  Figures — Brevet Polynésie, 11 septembre 2023
% ════════════════════════════════════════════════════════════════════

% ── Exercice 1, question 2 : configuration de Thalès ───────────────
% (DE) parallèle à (BC), E sur [AC], D sur [AB].
\newcommand{\figthales}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.52,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5.6,0);
  \coordinate (C) at (6.5,2.6);
  \coordinate (E) at (1.86,0.74);
  \coordinate (D) at (1.6,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick] (D) -- (E);
  \node[below left=-1pt]  at (A) {\footnotesize A};
  \node[below]            at (B) {\footnotesize B};
  \node[above]            at (C) {\footnotesize C};
  \node[above left=-2pt]  at (E) {\footnotesize E};
  \node[below]            at (D) {\footnotesize D};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 2, question 1 : le schéma du programme A ─────────────
\newcommand{\schemaprogA}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.86,line join=round,>=stealth,
   case/.style={draw,thick,minimum width=1.9cm,minimum height=0.72cm}]
  \node (t) at (0,3.5) {\footnotesize Choisir un nombre};
  \node[case] (c0) at (0,2.5) {};
  \draw[->,thick] (t) -- (c0);
  \node[case] (cg) at (-3.0,0.9) {};
  \node[case] (cd) at ( 3.0,0.9) {};
  \draw[->,thick] (c0) -- (cg);
  \draw[->,thick] (c0) -- (cd);
  \node[anchor=south east] at (-1.30,1.72) {\footnotesize Ajouter 3};
  \node[anchor=south west] at ( 1.30,1.72) {\footnotesize Soustraire 4};
  \node[case] (cf) at (0,-1.3) {};
  \draw[->,thick] (cg) -- (cf);
  \draw[->,thick] (cd) -- (cf);
  \node[align=center] at (0,0.35) {\footnotesize Multiplier les deux\\[-1pt]\footnotesize résultats};
\end{tikzpicture}}

% ── Exercice 3 : les dix carrés emboîtés ──────────────────────────
% Côté du premier carré : 300 pixels ; chaque carré suivant vaut 0,8
% fois le précédent. Tous sont centrés sur l'origine.
\newcommand{\dixcarres}[1]{% #1 = 1 si l'épaisseur décroît, 0 sinon
\begin{tikzpicture}[scale=0.0075,line join=round]
  \foreach \i in {0,...,9}{
    \pgfmathsetmacro{\c}{300*pow(0.8,\i)}
    \pgfmathsetmacro{\ep}{ifthenelse(#1>0, 11-\i, 3)}
    \draw[line width=\ep*0.12pt] (-\c/2,-\c/2) rectangle (\c/2,\c/2);
  }
\end{tikzpicture}}

% Repère des quatre propositions, gradué de -200 à 200.
\newcommand{\reperecarres}[1]{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.0055,>=stealth]
  \draw[->,thick] (-260,0) -- (285,0); \node[right=1pt] at (285,0) {\footnotesize $x$};
  \draw[->,thick] (0,-260) -- (0,285); \node[above=1pt] at (0,285) {\footnotesize $y$};
  \foreach \v in {-200,-100,100,200}{
    \draw[thick] (\v,-9) -- (\v,9);
    \draw[thick] (-9,\v) -- (9,\v);
    \node[below=2pt,scale=0.9] at (\v,-12) {\footnotesize $\v$};
    \node[left=2pt,scale=0.9]  at (-12,\v) {\footnotesize $\v$};
  }
  \node[above left=-2pt,scale=0.9] at (0,0) {\footnotesize 0};
  #1
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\propun}{\reperecarres{%
  \draw[thick] (0,0) rectangle (300,300);
  \draw[thick] (0,0) rectangle (240,240);}}
\newcommand{\propdeux}{\reperecarres{%
  \draw[thick] (-100,130) rectangle (200,-170);
  \draw[thick] (-100,130) rectangle (140,-110);}}
\newcommand{\proptrois}{\reperecarres{%
  \draw[thick] (-150,-150) rectangle (150,150);
  \draw[thick] (-120,-120) rectangle (120,120);}}
\newcommand{\propquatre}{\reperecarres{%
  \draw[thick] (0,0) rectangle (300,300);
  \draw[thick] (80,130) rectangle (200,250);}}

% ── Exercice 4 : la rampe d'accès ─────────────────────────────────
% Prisme droit à base triangulaire ABC rectangle en C.
\newcommand{\schemarampe}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.80,line join=round]
  \def\px{3.5} \def\py{1.5}
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (B) at (4.6,0);
  \coordinate (A) at (0,1.25);
  \coordinate (F) at (\px,\py);
  \coordinate (E) at (4.6+\px,\py);
  \coordinate (D) at (\px,1.25+\py);
  % le sol et la terrasse
  \draw[thick] (-2.4,0) -- (5.6,0);
  \draw[thick] (-2.4,1.25) -- (0,1.25);
  \draw[thick] (-2.4+\px*0.5,1.25+\py*0.5) -- (\px,1.25+\py);
  \draw[thick] (-2.4,1.25) -- (-2.4+\px*0.5,1.25+\py*0.5);
  \draw[thick] (-2.4,0) -- (-2.4,1.25);
  % le prisme
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick] (A) -- (D) -- (E) -- (B);
  \draw[dashed] (C) -- (F); \draw[dashed] (F) -- (D); \draw[dashed] (F) -- (E);
  \node[left=2pt]  at (A) {\footnotesize A};
  \node[below]     at (B) {\footnotesize B};
  \node[below]     at (C) {\footnotesize C};
  \node[above]     at (D) {\footnotesize D};
  \node[right=2pt] at (E) {\footnotesize E};
  \node[below left=-2pt] at (F) {\footnotesize F};
  \node at (-0.9,2.20) {\footnotesize TERRASSE};
  \node at (4.15,1.18) {\footnotesize RAMPE D'ACCÈS};
  \node at (6.15,-0.32) {\footnotesize SOL};
\end{tikzpicture}}

% Vue de face : triangle ABC rectangle en C, AC = 30 cm, AB = 124 cm.
\newcommand{\vuedeface}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.030,line join=round]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (B) at (120,0);
  \coordinate (A) at (0,30);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (0,7) -- (7,7) -- (7,0);
  \node[above]     at (A) {\footnotesize A};
  \node[below]     at (B) {\footnotesize B};
  \node[below]     at (C) {\footnotesize C};
\end{tikzpicture}}

% ── Annexe : la parabole C_f ──────────────────────────────────────
% f(x) = x^2 - x - 12, sommet en (0,5 ; -12,25).
\newcommand{\parabolef}{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.90,>=stealth]
  \def\uy{0.42}
  \draw[->,thick] (-5.4,0) -- (6.0,0);
  \draw[->,thick] (0,-13.2*\uy) -- (0,12.2*\uy);
  \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}{
    \draw[thick] (\x,-0.09) -- (\x,0.09);
    \node[below=1pt,scale=0.85] at (\x,-0.12) {\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {-12,-11,...,-1}{
    \draw[thick] (-0.09,\y*\uy) -- (0.09,\y*\uy);
    \node[left=1pt,scale=0.85] at (-0.12,\y*\uy) {\footnotesize $\y$};}
  \foreach \y in {1,2,...,11}{
    \draw[thick] (-0.09,\y*\uy) -- (0.09,\y*\uy);
    \node[left=1pt,scale=0.85] at (-0.12,\y*\uy) {\footnotesize $\y$};}
  \node[above left=-2pt,scale=0.85] at (0,0) {\footnotesize 0};
  \draw[blue,very thick,samples=140,domain=-4.35:5.35]
    plot (\x,{(\x*\x-\x-12)*\uy});
  \node[blue,anchor=south east] at (-4.1,10.4*\uy) {$\mathscr{C}_{f}$};
\end{tikzpicture}}

% ── Annexe : carte de la Transat ──────────────────────────────────
\newcommand{\cartetransat}{%
\includegraphics[width=0.78\linewidth]{carte_dnb_polynesie_sept_2023.jpg}}


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{1}{16}

Contrairement aux QCM habituels, celui-ci demandait la justification.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.7cm}|}
\hline
\textbf{Question} & \textbf{Réponse} & \textbf{Justification}\\
\hline
\textbf{1.} & \textbf{C} &
Augmenter de 9 \%, c'est ajouter $\dfrac{9}{100}$ de la valeur de départ, donc multiplier par
$1+\dfrac{9}{100}=1{,}09$. La réponse A correspondrait à une augmentation de 90 \%, et la
réponse B à une multiplication par 0,09, c'est-à-dire à une \emph{diminution} de 91 \%.\\
\hline
\textbf{2.} & \textbf{C} &
Les points A, E, C sont alignés, A, D, B aussi, et $(\mathrm{DE})\parallel(\mathrm{BC})$ :
c'est la configuration de Thalès. On a $\mathrm{AC}=\mathrm{AE}+\mathrm{EC}=2+5=7$ cm, puis
\[
\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{BC}},
\qquad\text{soit}\qquad \frac{2}{7}=\frac{3}{\mathrm{BC}},
\]
d'où $\mathrm{BC}=\dfrac{3\times7}{2}=10{,}5$ cm.\\
\hline
\textbf{3.} & \textbf{B} &
Le collège compte $10+43+26+7+42+32=160$ élèves de 5\up{e}, dont $26+32=58$ ont choisi
l'italien. La probabilité vaut donc $\dfrac{58}{160}$. Le dénominateur 102 de la réponse C est
le nombre d'élèves qui \emph{ne} font \emph{pas} d'italien.\\
\hline
\textbf{4.} & \textbf{C} &
Les filles qui ne font pas d'allemand sont celles qui font espagnol ou italien : $43+26=69$.
On les rapporte au nombre total d'élèves, 160, puisqu'on interroge un élève parmi
\emph{tous} les élèves de 5\up{e}. La réponse A, $\dfrac{69}{79}$, répondrait à une autre
question : « sachant que l'élève est une fille, quelle est la probabilité qu'elle ne fasse pas
d'allemand ? »\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{2}{25}

\begin{enumerate}
  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On part de $-8$ et on suit les deux branches :
    \[
    -8+3=-5
    \qquad\text{et}\qquad
    -8-4=-12 ,
    \]
    puis on multiplie les deux résultats :
    \[
    (-5)\times(-12)=60 .
    \]
    On obtient bien 60.

    \item Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est
    nul :
    \[
    x+3=0\qquad\text{ou}\qquad x-4=0 ,
    \]
    \[
    x=-3\qquad\text{ou}\qquad x=4 .
    \]
    \conclusion{il faut choisir $\boxed{-3}$ ou $\boxed{4}$ comme nombre de départ pour obtenir
    0.}
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On développe le produit :
    \[
    f(x)=(x+3)(x-4)=x^{2}-4x+3x-12=x^{2}-x-12 .
    \]

    \item On remplace $x$ par $\dfrac{1}{2}$ :
    \[
    f\!\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}-12
    =0{,}25-0{,}5-12=-12{,}25 .
    \]
    \conclusion{$f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\boxed{-12{,}25}$.}

    \smallskip
    C'est d'ailleurs la plus petite valeur prise par $f$ : le sommet de la parabole.

    \item On trace la droite horizontale d'ordonnée $-6$ et on lit les abscisses des deux points
    où elle coupe la courbe.

    \conclusion{les antécédents de $-6$ sont $\boxed{-2}$ et $\boxed{3}$.}

    \smallskip
    On peut le vérifier par le calcul : $f(-2)=4+2-12=-6$ et $f(3)=9-3-12=-6$.
  \end{enumerate}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item La formule doit renvoyer à la cellule qui contient $x$, c'est-à-dire A2, pour rester
    valable quand on l'étire vers le bas.

    \conclusion{on a saisi $\boxed{\texttt{=3*A2-7}}$.}

    \smallskip
    Vérification : $3\times(-5)-7=-22$, la valeur affichée en B2.

    \item $g$ est une fonction affine : sa représentation est une droite. Il suffit de placer
    deux points du tableau, par exemple $(0\,;-7)$ et $(3\,;2)$, et de tracer la droite qui les
    joint.

    \item Les nombres qui ont la même image par $f$ et par $g$ sont les abscisses des points
    d'intersection des deux courbes.

    \conclusion{ce sont $\boxed{-1}$ et $\boxed{5}$.}

    \smallskip
    Vérification : $f(-1)=1+1-12=-10$ et $g(-1)=-3-7=-10$ ; $f(5)=25-5-12=8$ et
    $g(5)=15-7=8$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{3}{19}

\begin{enumerate}
  \item Diminuer de 20 \%, c'est multiplier par $1-\dfrac{20}{100}=0{,}8$ :
  \[
  300\times0{,}8=240 .
  \]
  Le côté du 2\up{e} carré mesure bien 240 pixels.

  \item Un carré a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Pour le tracer, on
  répète quatre fois «~avancer de Côté, tourner de 90 degrés~».

  \conclusion{ligne 2 : $\boxed{4}$\quad ; \quad ligne 4 : $\boxed{90}$.}

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item Au premier passage dans la boucle, la variable Côté vaut 300. La ligne 7 envoie donc
    le stylo en
    \[
    x=\frac{300}{2}=150
    \qquad\text{et}\qquad
    y=\frac{300}{2}=150 .
    \]
    \conclusion{le stylo commence à tracer en $\boxed{(150\,;\,150)}$.}

    \item Le stylo part de $(150\,;150)$ orienté vers le bas et trace un carré de côté 300 : il
    descend jusqu'à $(150\,;-150)$, puis va en $(-150\,;-150)$, $(-150\,;150)$ et revient au
    départ. Ce carré est donc \textbf{centré sur l'origine}.

    \smallskip
    Le deuxième carré part de $\left(\dfrac{240}{2}\,;\dfrac{240}{2}\right)=(120\,;120)$ et a
    pour côté 240 : il est lui aussi centré sur l'origine.

    \conclusion{c'est la \boxed{\text{proposition 3}}, la seule où les deux carrés sont
    concentriques et centrés sur l'origine.}

    \item Le côté est multiplié par 0,8 à chaque nouveau carré. Le dixième carré a donc subi
    neuf multiplications :
    \[
    300\times0{,}8^{9}\approx300\times0{,}134\,217\approx40{,}27 .
    \]
    \conclusion{le dernier carré a un côté d'environ $\boxed{40\ \text{pixels}}$.}
  \end{enumerate}

  \item L'instruction B fixe l'épaisseur \emph{une fois pour toutes} : elle doit être placée
  avant la boucle. L'instruction A retire 1 à chaque tour : elle doit être placée
  \emph{dans} la boucle.

  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
  \begin{tabular}{|c|>{\raggedright\arraybackslash}m{11.4cm}|}
  \hline
  \textbf{Instruction} & \textbf{Où l'insérer}\\
  \hline
  \textbf{B} & entre les lignes \textbf{4 et 5}, juste avant «~répéter 10 fois~». L'épaisseur
  part ainsi de 11 pour le plus grand carré.\\
  \hline
  \textbf{A} & entre les lignes \textbf{9 et 10}, à l'intérieur de la boucle, après le tracé du
  carré. L'épaisseur passe alors à 10 pour le deuxième carré, puis 9, et ainsi de suite jusqu'à
  2 pour le dixième.\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}

  Placer A ailleurs dans la boucle conviendrait aussi ; ce qui compte est qu'elle s'exécute une
  fois par carré, et B une seule fois avant tous les carrés.
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{4}{20}

\begin{enumerate}
  \item Le triangle ABC est rectangle en C. L'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}$ a pour côté opposé
  [AC] et pour hypoténuse [AB] :
  \[
  \sin\bigl(\widehat{\mathrm{ABC}}\bigr)=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{30}{124} ,
  \]
  \[
  \widehat{\mathrm{ABC}}=\arcsin\!\left(\frac{30}{124}\right)\approx13{,}99\degres .
  \]
  \conclusion{la rampe fait un angle d'environ $\boxed{14\degres}$ avec le sol.}

  \item Le triangle ABC étant rectangle en C, le théorème de Pythagore donne :
  \[
  \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2},\qquad
  124^{2}=30^{2}+\mathrm{BC}^{2},
  \]
  \[
  \mathrm{BC}^{2}=\np{15376}-900=\np{14476},\qquad
  \mathrm{BC}=\sqrt{\np{14476}}\approx120{,}3\ \text{cm} .
  \]
  La longueur BC est donc bien environ égale à 120 cm.

  \item La rampe est un prisme droit dont la base est le triangle ABC et dont la longueur est
  BE. On travaille en mètres : $\mathrm{AC}=0{,}30$ m, $\mathrm{BC}=1{,}20$ m,
  $\mathrm{BE}=9$ m.

  \smallskip
  Aire de la base :
  \[
  \mathcal{A}=\frac{\mathrm{AC}\times\mathrm{BC}}{2}=\frac{0{,}30\times1{,}20}{2}=0{,}18\
  \text{m}^{2} .
  \]
  Volume du prisme :
  \[
  V=\mathcal{A}\times\mathrm{BE}=0{,}18\times9=1{,}62\ \text{m}^{3} .
  \]
  Or $1{,}62<2$.

  \conclusion{oui, \boxed{\text{2 m}^{3}\ \text{de béton suffisent}} : il en resterait même
  0,38 m$^{3}$.}

  \item On garde $\mathrm{AC}=0{,}30$ m et $\mathrm{BE}=9$ m, et on cherche BC pour que le
  volume vaille exactement 2 m$^{3}$ :
  \[
  \frac{0{,}30\times\mathrm{BC}}{2}\times9=2 .
  \]
  Le membre de gauche vaut $1{,}35\times\mathrm{BC}$, d'où :
  \[
  \mathrm{BC}=\frac{2}{1{,}35}\approx1{,}481\ \text{m} .
  \]
  \conclusion{il faudrait $\boxed{\mathrm{BC}\approx148\ \text{cm}}$, soit environ 28 cm de plus
  qu'avec la rampe initiale.}
\end{enumerate}

% ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
\exercice{5}{20}

\begin{enumerate}
  \item La croix est placée au-dessus de l'équateur, donc dans l'hémisphère \emph{Nord}, et à
  gauche du méridien 0\degres, donc à l'\emph{Ouest}. En lisant les parallèles de 10 en 10
  degrés et les méridiens de 30 en 30 degrés :

  \conclusion{Fort-de-France se situe à environ $\boxed{15\degres\ \text{Nord}}$ et
  $\boxed{60\degres\ \text{Ouest}}$.}

  \smallskip
  La carte ne permet pas mieux qu'un ordre de grandeur ; les coordonnées réelles de la ville
  sont 14,6\degres{} Nord et 61,1\degres{} Ouest.

  \item ~
  \begin{enumerate}
    \item On soustrait les deux durées. Comme on ne peut pas retirer 27 minutes de 21 minutes,
    on convertit d'abord une heure en 60 minutes, et un jour en 24 heures :
    \[
    18\ \text{j}\ 1\ \text{h}\ 21\ \text{min}
    =17\ \text{j}\ 25\ \text{h}\ 21\ \text{min}
    =17\ \text{j}\ 24\ \text{h}\ 81\ \text{min} .
    \]
    On peut alors soustraire terme à terme :
    \[
    17\ \text{j}\ 24\ \text{h}\ 81\ \text{min}\ -\ 15\ \text{j}\ 13\ \text{h}\ 27\ \text{min}
    =2\ \text{j}\ 11\ \text{h}\ 54\ \text{min} .
    \]
    LinkedOut met bien 2 jours 11 heures et 54 minutes de plus que Primonial.

    \item Les 75 bateaux n'ont pas tous parcouru la même distance : il faut une moyenne
    \emph{pondérée} par les effectifs.
    \[
    m=\frac{43\times\np{4600}+7\times\np{5800}+20\times\np{5800}+5\times\np{7500}}{75}
    =\frac{\np{391900}}{75}\approx\np{5225}{,}3 .
    \]
    \conclusion{la distance moyenne parcourue est d'environ $\boxed{\np{5225}\ \text{milles}}$.}

    \item Le Maxi Edmond de Rothschild a parcouru \np{7500} milles en 16 j 1 h 48 min. On
    convertit cette durée en heures :
    \[
    16\times24+1+\frac{48}{60}=384+1+0{,}8=385{,}8\ \text{h} .
    \]
    Sa vitesse moyenne vaut donc :
    \[
    v=\frac{\np{7500}}{385{,}8}\approx19{,}4\ \text{milles/h} .
    \]
    On la compare à celle du Redman :
    \[
    \frac{19{,}4}{8{,}7}\approx2{,}2 .
    \]
    \conclusion{la vitesse du Maxi Edmond de Rothschild a bien été environ
    \boxed{2{,}2\ \text{fois}} plus grande que celle du Redman.}

    \item L'équateur est un cercle de rayon \np{6370} km. Son périmètre vaut :
    \[
    2\pi\times\np{6370}\approx\np{40030}\ \text{km},
    \]
    et le quart de ce périmètre :
    \[
    \np{40030}\div4\approx\np{10008}\ \text{km} .
    \]
    Un bateau Ocean Fifty parcourt \np{5800} milles, qu'il faut convertir en kilomètres :
    \[
    \np{5800}\times1{,}852=\np{10741}{,}6\ \text{km} .
    \]
    On compare les deux distances :
    \[
    \frac{\np{10742}}{\np{10008}}\approx1{,}07 .
    \]
    \conclusion{le journaliste a raison si l'on se contente d'un ordre de grandeur : la
    distance parcourue dépasse le quart de l'équateur d'environ \boxed{7\ \%}, soit un peu plus
    de 700 km. Ce n'est donc pas une égalité, mais l'écart reste faible à cette échelle.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
