\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text,calc,patterns,arrows.meta}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{scratch3}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tgheros}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xspace}
\usepackage{cancel}

% -- pstricks via auto-pst-pdf --
\usepackage[runs=2]{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl,pst-node,pst-slpe,pst-grad,pst-fun}

\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Polynésie -- septembre 2025}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Polynésie, septembre 2025}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\setlength{\headheight}{13.59999pt}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}


\bigskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\textbf{}}X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet}}\\
%Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 22 points}

\medskip

On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.

\medskip

Le carreleur A fait payer 80~\euro{} par m$^2$.

Le carreleur B fait payer 60~\euro{} par m$^2$ auxquels il faut ajouter 970~\euro{} pour la mise en place du chantier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour une surface dont l’aire est de 20 m$^2$, le prix est de \np{1600}~\euro{} avec le carreleur A et de \np{2170}~\euro{} avec le carreleur B.
$\bullet~$ À 80~\euro{} par m$^2$, le prix à payer pour 20 m$^2$ est $20 \times 80 = \np{1600}$~\euro{} avec le carreleur A.

$\bullet~$ Avec le carreleur B il faudra payer 

$20 \times 60 + 970 = \np{1200} + 970 = \np{2170}$~\euro.
\item %Calculer le prix à payer pour une surface dont l’aire est 60 m$^2$ avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
$\bullet~$ À 80~\euro{} par m$^2$, le prix à payer pour 60 m$^2$ est $60 \times 80 = \np{4800}$~\euro.

$\bullet~$ À 60~\euro{} par m$^2$ plus 970~\euro{} le prix à payer au carreleur B est :

$60 \times 60 + 970 = \np{3600} + 970 = \np{4570}$~\euro.
\item %On désigne par $x$ l’aire de la surface à carreler exprimée en m$^2$.

%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item On appelle $f$ la fonction qui à l’aire à carreler en m$^2$ associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $f$ est définie par $f(x) = 80x$.
%\item On appelle $g$ la fonction qui à l’aire à carreler en m$^2$ associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $g$ est définie par $g(x) = 60x + 970$.
%\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est l'image de 70 par la fonction $f$ ?
$f(70) = 80 \times 70 = \np{5600}$.
		\item %Quel est l'antécédent de \np{2400} par la fonction $f$ ?
		On a $f(x) = 80x = \np{2400}$, soit $80 \times x = 80 \times 30$, d'où $x = 30$~(m$^2$).
		\item %Sur le graphique fourni en ANNEXE, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique de la fonction $g$.

%Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur ce même graphique.
$f$ est une application linéaire dont la représentation graphique est une droite contenant l'origine. Voir la figure.
	\end{enumerate}
\item %En utilisant le graphique fourni en ANNEXE, à rendre avec la copie, estimer l'aire maximale en m$^2$ que l'on peut carreler avec un budget de \np{2800}~\euro{} si l'on choisit le carreleur B.
On lit environ 30~m$^2$.
\item %Calculer l’aire en m$^2$ pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.
Le prix à payer est le même si $f(x) = g(x)$, soit $80x = 60x + 970$ d'où en ajoutant $- 60x$ à chaque membre :

$20x = 970$, puis $2x = 97$ et enfin $x = 48,5$~(m$^2$)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 20 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
%
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. \textbf{Une seule réponse est exacte}.
%
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip

\textbf{Question 1}

%La formule qui permet d’obtenir la pointure de chaussure $p$ à partir de la longueur $L$ du pied, exprimée en centimètres, est $p = 1,5(L + 1)$.
%
%Quelle est la pointure d’un pied de longueur 25 cm ?
On a $1,5 \times (25 + 1) = 1,5 \times 26 = 39$
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%37,5& 38& 38,5&39\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\textbf{Question 2}

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%Le triangle MUR, rectangle en U, qui est représenté ci-contre n’est pas en vraie grandeur.
%
%Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{RMU}}$ arrondie au degré ?
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.35\linewidth}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,3.3)
%\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(3.8,2.8)
%\psframe(3.8,0.3)(3.5,0.6)
%\psarc(0.3,0.3){0.9}{0}{37}
%\uput[dl](0.3,0.3){M} \uput[dr](3.8,0.3){U}\uput[ur](3.8,2.8){R}\uput[ul](1.8,1.6){9,7 cm}\uput[r](3.8,1.55){7,2 cm}\uput[ur](1.4,0.5){?}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$37\degres$& $42\degres$&$48\degres$&$53\degres$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $\sin \widehat{\text{RMU}} = \dfrac{\text{UR}}{\text{MR}} = \dfrac{7,2}{9,7} \approx \np{0,7826}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{RMU}} \approx 37\degres$.

\textbf{Question 3}

%Un coureur a remporté la course du 100~m en 10 secondes exactement.
%
%À quelle vitesse moyenne en km/h a-t-il parcouru cette distance ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%10 km/h &36 km/h& 44 km/h&60 km/h\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
100 m = 0,1 km. 1 h $= 60 \times 60 = \np{3600}$~s, donc 1 s $ = \dfrac{1}{\np{3600}}$ h.

La vitesse du coureur est donc $\dfrac{d}{t} = \dfrac{0,1}{10 \times\frac{1}{\np{3600}}} = \dfrac{0,1}{\frac{1}{\np{360}}} = 360 \times 0,1 = 36$~(km/h).

\textbf{Question 4}

La largeur du modèle a été divisée par 20  ; la largeur réelle du tableauest donc $20 \times 7 = 140$~(cm)

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%14 cm &27 cm& 35 cm&140 cm\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\textbf{Question 5}

%\begin{minipage}{0.45\linewidth}
%Trois points nommés A, B, et C sont positionnés sur la sphère ci-contre.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.53\linewidth}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,4.7)
%\pscircle(2.5,2.4){2}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2.2](1.48,3.4)(1.85,0.75)(3.04,3.35)
%\uput[ur](1.48,3.4){\small A}\uput[ur](3.04,3.35){\small C}\uput[ur](1.85,0.75){\small B}
%\psellipticarc(2.5,2.4)(2,0.4){-180}{0}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.4)(2,0.4){0}{180}
%\psellipticarc(2.5,1.6)(1.85,0.4){-180}{0}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,1.6)(1.85,0.4){0}{180}
%\psellipticarc(2.5,1.)(1.38,0.3){-180}{0}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,1)(1.38,0.3){0}{180}
%\psellipticarc(2.5,3.6)(1.58,0.3){-180}{0}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,3.6)(1.58,0.3){0}{180}
%\psellipticarc(2.5,2.4)(1.2,2){90}{270}
%\psellipticarc(2.5,2.4)(0.6,2){-90}{90}
%\psellipticarc(2.5,2.4)(1.2,2){-90}{90}
%\psellipticarc(2.5,2.4)(0.3,2){90}{-90}
%\rput(4.4,3.6){\footnotesize $65\degres$}\rput(4.7,2.4){\footnotesize $0\degres$}\rput(4.6,1.5){\footnotesize $40\degres$}\rput(4.2,0.8){\footnotesize $65\degres$}
%\rput(2.5,4.6){\footnotesize N}\rput(2.5,0.2){\footnotesize S}\rput(0.2,2.4){\footnotesize O}
%\rput(5,2.4){\footnotesize E}
%\uput[r](5.4,3.6){N : Nord} \uput[r](5.4,2.8){S : Sud}
%\uput[r](5.4,2){O : Ouest} \uput[r](5.4,1.2){E : Est}
%\rput{90}(1.1,2.4){\footnotesize $30\degres$}\rput{90}(2,2.2){\footnotesize $0\degres$}
%\rput{90}(2.8,2.3){\footnotesize $30\degres$}\rput{90}(3.5,2.4){\footnotesize $50\degres$}
%\end{pspicture}
%
%\end{minipage}
%
%Quel point a pour coordonnées ($65\degres$ N~;~$30\degres$ O) ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A &B& C& Aucun\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
C'est le point A.
\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 16 points}

\medskip

%On s'intéresse au motif dessiné ci-dessous que l'on retrouve dans un pavage recouvrant un mur du palais de l'Alhambra en Espagne.
%
%Ce motif est partagé en douze losanges superposables numérotés de 1 à 12. Dans chaque losange, les côtés ont pour longueur 5 cm, les angles aigus mesurent $60\degres$ et les angles obtus mesurent $
%120\degres$.
%
%\begin{center}
%Le motif
%
%\medskip

%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.6,0)(2.77128;30)(3.2;60)(2.77128;90)(1.6;120)
%\pspolygon[linestyle=dashed,linewidth=2pt](3.2;0)(3.2;60)(3.2;120)(3.2;180)(3.2;240)(3.2;300)
%\pspolygon(1.6;0)(2.77128;30)(1.6;60)(2.77128;90)(1.6;120)(2.77128;150)(1.6;180)(2.77128;210)(1.6;240)(2.77128;270)(1.6;300)(2.77128;330)(1.6;360)
%\multido{\n=0+60}{6}{\psline(1.6;\n)}
%\rput(1,1){\textcircled{1}}\rput(1.2,2.2){\textcircled{2}}\rput(0,1.4){\textcircled{3}}
%\rput(-1.2,2.2){\textcircled{4}}\rput(-1.2,0.8){\textcircled{5}}\rput(-2.4,0){\textcircled{6}}
%\rput(-1.2,-0.6){\textcircled{7}}\rput(-1.4,-2.2){\textcircled{8}}\rput(0,-1.4){\textcircled{9}}
%\rput(1.4,-2.2){\textcircled{10}}\rput(1.4,-0.6){\textcircled{11}}\rput(2.4,0){\textcircled{12}}
%\psarc(0,0){0.4}{0}{60}\psarc(1.6,0){0.4}{60}{180}
%\rput(0.8;30){$60\degres$}\rput(1.3,0.6){$120\degres$}
%\uput[d](0.8,0){5 cm}
%\uput[d](0,0){A} \uput[r](1.6,0){B}\uput[ur](2.77128;30){C}\uput[ur](3.2;60){D}\uput[u](2.77128;90){E}\uput[ul](1.6;120){F}
%
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image du losange \textcircled{1} par la symétrie centrale de centre A ?
L'image du losange \textcircled{1} par la symétrie centrale de centre A est le losange \textcircled{7}.
\item %Quelle est l'image du losange \textcircled{3} par la symétrie axiale d'axe (AF) ?
L'image du losange \textcircled{3} par la symétrie axiale d'axe (AF) est le losange \textcircled{5}.
\item %Quelle est l'image du losange \textcircled{7} par la rotation de centre A qui transforme le losange \textcircled{3} en le losange \textcircled{11} ?
L'image du losange \textcircled{7} par la rotation de centre A qui transforme le losange \textcircled{3} en le losange \textcircled{11} est le losange \textcircled{4}.
\item %Quelle est l'image du losange \textcircled{8} par la translation qui transforme A en E.
L'image du losange \textcircled{8} par la translation qui transforme A en E est le losange \textcircled{5}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%Louis a remarqué que le motif donné dans l’énoncé s'obtient à partir de l'hexagone ABCDE en appliquant plusieurs fois la même rotation de centre A.
%
%Il souhaite tracer le motif avec le logiciel Scratch en prenant 10 pas pour 1 cm.

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%Le bloc dont le script est proposé ci-contre permet de tracer la figure représentée ci-dessous sur laquelle la flèche indique l’orientation du lutin au début du programme :
%
%\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1.6,-1.6)(1.6,1.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6;0)(1.6;60)(1.6;120)(1.6;180)(1.6;240)(1.6;300)
%\uput[dl](1.6;240){A} \uput[dr](1.6;300){B}\uput[r](1.6;0){C}\uput[ur](1.6;60){D}\uput[ul](1.6;120){E}\uput[l](1.6;180){F}
%\psline[linewidth=2pt]{->}(1.6;240)(1.38564;270)
%\psline[linestyle=dashed](1.6;300)(2.77128;-30)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.38\linewidth}

%\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item %Sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie, compléter les lignes 3, 4 et 5 afin que le bloc \og hexagone ABCDEF \fg{} trace l'hexagone ABCDEF de côté 5 cm en partant du point A.

%Aucune justification n’est attendue.
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{hexagone ABCDEF}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\item %Parmi les trois scripts proposés ci-dessous, lequel permet de tracer le motif en utilisant le bloc hexagone ABCDEF précédent ?

%Aucune justification n’est attendue.
C'est le script C.
%\emph{On rappelle que l'instruction} \begin{scratch}\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés} \end{scratch} \emph{signifie que le lutin se dirige vers la droite.}
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Script A}&\textbf{Script B}&\textbf{Script C}\\
%\begin{scratch}[scale=0.9]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%{\blockmoreblocks{Hexagone}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
%}
%\end{scratch}&
%\begin{scratch}[scale=0.9]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockmoreblocks{Hexagone}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%}
%\end{scratch}&
%\begin{scratch}[scale=0.9]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
%{\blockmoreblocks{Hexagone}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
%}
%\end{scratch}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 23 points}

\medskip

%Lorsque la neige vient à manquer en montagne, certaines stations de ski utilisent des canons à neige pour enneiger les pistes.

\medskip

\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%On cherche à estimer le coût de l’eau nécessaire pour l'utilisation de canons à neige sur les pistes françaises pour produire une hauteur de 30~cm de neige.

%\textbf{Information 1}
%
%Pour produire 2,5 m$^3$ de neige, il faut 1 m$^3$ d’eau.
%
%\textbf{Information 2}
%
%Le prix de l’eau pour 1 m$^3$ est 4,30~\euro.
%
%{\small \emph{Source : www.technoalpin.com/fr}}
%
% On rappelle que 1 hectare $= \np{10000}~m^2$.
% 
%On donne la formule $V = S \times h$ pour calculer le volume de neige à produire en fonction de l’aire de la piste et de la hauteur de neige souhaitée.
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item $V$ représente le volume de neige à produire exprimé en m$^3$ ;
%\item $S$ représente l’aire de la piste exprimée en m$^2$ ;
%\item $h$ représente la hauteur de neige exprimée en m.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On s’intéresse à une piste dont l'aire est 1 hectare.
1 hectare est l'aire d'un carré de 100 m de côté, donc 1 ha $= 100 \times 100 = \np{10000}$~m$^2$
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour enneiger cette piste sur une hauteur de $30$~cm, il faut prévoir \np{3000}~m$^3$ de neige.
Le volume de neige est égal à $\np{10000} \times 0,3 = \np{3000}$~(m$^3$).
		\item %En déduire qu’il faut prévoir \np{1200}~m$^3$ d'eau pour enneiger cette piste sur une hauteur de $30$~cm.
Le volume d'eau étant celui de la neige divisé par 2,5, il faut donc :

$\dfrac{\np{3000}}{2,5} = \np{1200}$~m$^3$ d'eau pour couvrir cette piste de 30 cm de neige.
		\item %Montrer que le coût de \np{1200}~m$^3$ d’eau est \np{5160}~\euro.
Le coût est égal à : $\np{1200} \times 4,30 = \np{5160}$~(\euro).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %L'ensemble des pistes de ski françaises occupent une surface de \np{25000} hectares.

%Quel serait le coût de l’eau si on utilisait les canons à neige sur l’ensemble des pistes françaises ?
Pour l'ensemble des \np{25000} hectares de pistes le coût serait :

$\np{25000} \times \np{5160} = \np{129000000}$~(\euro), soit 129 millions d'euros.
		\item %En réalité, les canons à neige ne sont utilisés que sur \np{9250}~hectares de pistes.

%Calculer le pourcentage de la surface totale des pistes de ski sur laquelle sont utilisés des canons à neige.
On a $\dfrac{\np{9250}}{\np{25000}} = 0,37 = \dfrac{37}{100} = 37\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%Un skieur qui pratique le ski de fond dispose d’un plan représenté par la figure ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.95cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(0,-0.1)(15.8,7)
%%\psgrid
%\rput(7.9,0){\emph{La figure n’est pas représentée à l’échelle}}
%\psline(1,5)(1,1)(7.7,1)(15.2,1)(11.5,5)(7.8,1)
%\psline[linestyle=dashed](11.5,5)(11.5,1)
%\psline[linewidth=2pt](1,5)(4,1)(11.5,1)(13.4,3)%AFDK
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,1)(0.6,5)\rput{90}(0.3,3){400 m}
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(11.3,1)(11.3,5)\rput{90}(11,3){400 m}
%\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.8,0.8)(11.5,0.8)\uput[d](9.65,0.8){300 m}
%\psframe(1,1)(1.3,1.3)\psframe(11.5,1)(11.2,1.3)
%\psarc(1,5){0.8}{-90}{-57}\rput(1.35,3.9){$30\degres$}
%\psline(5.8,1.1)(5.8,0.9)\psline(5.9,1.1)(5.9,0.9)
%\psline(9.6,1.1)(9.6,0.9)\psline(9.7,1.1)(9.7,0.9)
%\psline(11.3,1.1)(11.3,0.9)\psline(11.4,1.1)(11.4,0.9)
%\uput[u](1,5){A} \uput[dl](1,1){C} \uput[d](4,1){F} \uput[d](7.8,1){E} 
%\uput[u](11.5,5){B} \uput[d](11.5,1){D} \uput[ur](13.4,3){K} \uput[dr](15.2,1){H} 
%\end{pspicture}
%
%Sur cette figure :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item le triangle ACF est rectangle en C tel que AC $= 400$~m et la mesure de l’angle $\widehat{\text{CAF}}$ est égale à $30\degres$ ;
%\item le triangle BED est rectangle en D tel que ED $= 300$ m et BD $= 400$ m ;
%\item FE = ED = DH ;
%\item les points C, F{}, E, D et H sont alignés ;
%\item le point K appartient au segment [BH] ;
%\item les droites (EB) et (KD) sont parallèles.
%\end{itemize}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la longueur du segment [FD] ?
On a FD = $2 \times $ ED = 600~(m).
\item %Calculer la longueur du segment [AF] arrondie au m.
Dans le triangle AFC rectangle en C, on a 

$\cos \widehat{\text{CAF}} = \cos 30 = \dfrac{\text{AC}}{\text{AF}} = \dfrac{400}{\text{AF}}$ ; on en déduit que 

AF $\times \cos 30 = 400$, puis que AF $ = \dfrac{400}{\cos 30}\approx 461,88$, soit environ 462~(m).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la longueur du segment [EB] est égale à $500$~m.
Dans le triangle BDE rectangle en D, le théorème de Pythagore s'écrit :

BD$^2 + \text{DE}^2 = \text{BE}^2 = 300^2 + 400^2 = \np{90000} + \np{160000} = \np{250000}$.

Donc BE $= \sqrt{250000} = 500$~(m).
		\item %Calculer la longueur du segment [DK].
\begin{itemize}
\item K appartient au segment [BH] ;
\item D appartient au segment [EH] ;
\item (DK) // (EB)
\end{itemize}
On est donc dans une situation où le théorème de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{DH}}{\text{EH}} = \dfrac{\text{HK}}{\text{HB}} = \dfrac{\text{DK}}{\text{EB}}$, donc en particulier  $\dfrac{300}{600} = \dfrac{\text{DK}}{\text{500}}$ ; on en déduit aisément que DK $= 500 \times \dfrac{300}{600} = 500 \times \dfrac12 = 250$~(m).
	\end{enumerate}
\item %En déduire la longueur du parcours qui passe par les points A, F, E, D et K.
La longueur du parcours est égale à : AF + FD + + DK $\approx 462 + 600 + 250 \approx \np{1312}$~(m).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 5 \hfill 19 points}

\medskip

%Une étude montre qu’un nombre important de nos vêtements reste dans les placards et n’est pas utilisé. Six amis décident de donner chacun une partie de leurs vêtements à une association lors d’une journée de collecte organisée dans leur village.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Inès compte $20$ tee-shirts dans son placard et souhaite en donner $70\,\%$ à l’association. Montrer qu’elle va en donner 14.
Ob a $70\,\% = \dfrac{70}{100} = 0,7$.

Inès va donc donner $20 \times 0,7 = 14$ (tee-shirts).
\item %La feuille de calcul ci-dessous indique le nombre de tee-shirts que chacun des amis souhaite donner à cette association.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
%1&&Inès&Sylvain&Sabrina&Marco&Yuna&Axel&Total\\ \hline
%2&Nombre de tee-shirts à donner&14&6&9&11&12&8&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule peut-on saisir dans la cellule H2 pour obtenir le nombre total de tee-shirts à donner ?
Formule à écrire dans C2 : =MOYENNE(B2:G2).
		\item %Les amis réunissent tous les tee-shirts qu’ils vont donner.
		
%Calculer la probabilité qu’un tee-shirt pris au hasard appartienne à Yuna.
Yuna a donné 12 tee-shirts sur un total de $14 + 6 + 9 + 11 + 12 + 8 = 60$.

La probabilité est donc égale à $\dfrac{12}{60} = \dfrac{12 \times 1}{12 \times 5} = \dfrac15 = \dfrac{2}{10} = 0,2$.
		\item %Calculer le nombre moyen de tee-shirts donnés par chacun des amis.
60 tee-shirts donnés par 6 amis soit une moyenne de $\dfrac{60}{6}  = 10$.
		\item %Quelle est la médiane du nombre de tee-shirts donnés ?
En rangeant les dons : 6 \quad 8\quad 11\quad 12\quad 14, on voit que 11 est la médiane.
	\end{enumerate}
\item %À la fin de la journée de collecte des vêtements, l’association a récolté un total de $168$ tee-shirts et $63$ pantalons. Cette association souhaite réaliser des lots identiques contenant chacun le même nombre de pantalons et le même nombre de tee-shirts en utilisant tous les vêtements donnés.
	\begin{enumerate}
		\item %Peut-elle réaliser 4 lots ? Peut-elle réaliser 3 lots ?
$\bullet~$On ne peut pas faire 4 lots car 63 n'est pas multiple de 4 ;

$\bullet~$Par contre $168 = 3 \times 56$ et $63 = 3 \times 21$.

On peut donc faire 3 lots de 56 tee-shirts et 21 pantalons.
		\item %Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $168$ et de $63$.
		
$\bullet~$$168 = 3 \times 56 = 3 \times 8 \times 7 = 3\times 2^3 \times  7 = 2^3 \times 3 \times 7$.

$\bullet~$$63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7 = 3^2 \times 7$.
		\item %Quel nombre maximum de lots pourra-t-elle réaliser ?
La question précédente montre que 168 et 63 sont multiples de 3, de 7 et donc aussi de $3 \times 7 = 21$, nombre maximum de lots que l'on peut faire, chaque lot contenant 8 tee-shirts et 3 pantalons.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec votre copie}
\end{center}


\textbf{Exercice 1 - question 3. c.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.14cm,yunit=0.0014cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-7,-400)(95,8000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(95,8000)
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+500}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n,)(90,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{90}{60 x mul 970 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{90}{80 x mul}
\uput[d](85,6070){\red $\mathcal{C}_g$}
\uput[d](85,6800){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](78,0){Aire de la surface en m$^2$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,2800)(30.5,2800)(30.5,0)
\uput[r](0,7900){Prix en \euro}
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

\textbf{Exercice 3 : partie 2 - question 1.}

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{hexagone ABCDEF}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\ldots} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{\ldots} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\ldots} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}

\end{document}
