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% -------- PARAMÈTRES --------
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            text along path,
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        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Pondichéry, avril 2009}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : 

A = $\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{7}{15} - \dfrac{4 \times 5}{5\times 3 \times 8}  = \dfrac{7}{15} - \dfrac{1}{6}  = \dfrac{14}{30} - \dfrac{5}{30} = \dfrac{14 - 5}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}$.

\item 

	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur arrondie au centième de B.
B $\approx - 5,657$ soit $- 5,66$ au centième près.
		\item %Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier.
B $  = 3\sqrt{2} -  \sqrt{98} = 3\sqrt{2} -  \sqrt{49 \times 2} = 3\sqrt{2} -  7\sqrt{2} = - 4\sqrt{2}$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} } 
\begin{enumerate}
\item %$-2$ est-il solution de l'inéquation : $3x + 12 < 4 -  2x$ ? Justifier.
$3 \times (- 2) + 12 < 4 - 2 \times (- 2)$ ou $10 < 8$ qui est fausse. Donc $- 2$ n'est pas solution de l'inéquation. 
\item %$-2$ est-il solution de l'équation : $(x - 2)(2x + 1)  = 0$ ? Justifier.
$(- 2 - 2)\times (- 4 + 1) = 0$ ou $- 4 \times (- 3) = 0$ est une égalité fausse : $- 2$ n'est pas solution de l'équation. 
\item %$- 2$ est-il solution de l'équation : $x^3 + 8 =  0$ ? Justifier.
$(- 2)^3 + 8 = 0$ ou $- 8 + 8 = 0$ qui est vraie. $- 2$ est solution de l'équation.
\item %Le couple $(-2~;~1)$ est-il solution du système $\left\{\begin{array}{l c l}
%2x + 3y&=&-1\\
%x + 5y &=&3\\
%\end{array}\right.$ ?  Justifier.
On a $\left\{\begin{array}{l c l}
- 4 + 3&=&-1\\
- 2 + 5 &=&3\\
\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{l c l}
- 1&=&-1\\
3 & = &3\\
\end{array}\right.$. Les deux égalités sont vraies ; le couple $(-2~;~1)$ est solution du système.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} }
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires.

Par l'algorithme d'Euclide :

$238 = 170 \times 1 + 68$ ;

$170 = 68 \times 2 + 34$ ;

$68 = 34 \times 2 + 0$.

Par les soustractions successives :

$238 - 170 = 68$ ; $170 - 68 = 102$  ; 

$102 - 68 = 34$ ; $68 - 34 = 34$ ;

Le PGCD de 238 et 178 est 34. 
\item  %En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{170}{238}$.
$\dfrac{170}{238} = \dfrac{34 \times 5}{34 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} }

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
%
%Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
%
%Chaque réponse exacte rapporte 1 point.
%
%Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
%
%\emph{Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}
%
%\textbf{Énoncé :}
%
%Un sac contient six boules: quatre blanches et deux noires.
% Ces boules sont numérotées :
% 
%Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4,1.8)
%\pscircle(0.4,1.5){0.3} \rput(0.4,1.5){1}
%\pscircle(1.2,1.6){0.3} \rput(1.2,1.6){2}
%\pscircle(1.3,0.5){0.3} \rput(1.3,0.5){1}
%\pscircle(2.1,1.2){0.3} \rput(2.1,1.2){ 3}
%\pscircle*(2.9,1.5){0.3} \rput(2.9,1.5){\white 1}
%\pscircle*(3,0.6){0.3} \rput(3,0.6){\white 2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|m{4,75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Numéro	& Question	&\footnotesize Réponse A&\footnotesize Réponse B&\footnotesize Réponse C\\ \hline
%1		&Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?&
%\rule[3pt]{}{5mm}$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{6}{4}$&4\\ \hline
%2		&Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?&\rule[3pt]{}{5mm}
%$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline
%3		& Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?&\rule[3pt]{}{5mm}
%$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{4}$&$\dfrac{3}{6}$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Il y a 4 blanches sur un total de 6 boules ; la probabilité est égale à $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Réponse A.
\item Il y a 2 boules numérotées 2 sur 6 boules ; la probabilité est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Réponse C.
\item Il y a 2 boules blanches numérotées 1 sur 6 boules ; la probabilité est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Réponse A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

%\parbox{0.6\linewidth}{On considère une bougie conique représentée ci-contre.
%
%(\emph{la figure n'est pas aux dimensions réelles.})
%
%Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
%
%La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.} \hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,5)
%\psellipse(0,0)(1.5,0.5)
%\psline(-1.5,0)(0,4.8)(1.5,0)
%\psline(-0.7,-0.4)(0,4.8) \psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.4)(0,0)(0,4.8)
%\uput[r](0,0){O} \uput[dl](-0.7,-0.4){A} \uput[u](0,4.8){S} 
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item  %Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.
Le triangle SAO est rectangle en O.

On construit [AO] tel que AO = 2,5~cm.

Le cercle centré en A de rayon 6,5~cm coupe la perpendiculaire en O à (OA) en S :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
%\psgrid
\psarc(0.5,3){6.5}{-28}{-10}
\psline(0,0.5)(7,0.5)
\pspolygon(0.5,3)(0.5,0.5)(6.5,0.5)%AOS
\uput[ul](0.5,3){A} \uput[dl](0.5,0.5){O} \uput[dr](6.5,0.5){S}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item  %Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6~cm.
Dans le triangle rectangle AOS le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{SA}^2 = \text{SO}^2 + \text{OA}^2$ soit $6,5^2 = \text{SO}^2 + 2,5^2$, d'où $\text{SO}^2 = 6,5^2 - 2,5^2 = (6,5 + 2,5)(6,5 - 2,5) = 9\times 4 = 36$, d'où $\text{SO} = 6$~(cm).
\item  %Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm$^3$ ?
Le volume du cône est $V = \dfrac{\pi \times r^2\times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2,5^2 \times 6}{3} = 12,5\pi \approx 19,635$ soit 19,6~cm$3$ au dixième près.
\item  %Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ ; on donnera la valeur arrondie au degré.
Dans le triangle rectangle AOS, on peut écrire : $\tan \widehat{\text{ASO}} = \dfrac{\text{AO}}{\text{OS}} = \dfrac{2,5}{6}$ ; la calculatrice donne $\widehat{\text{ASO}} \approx 22,62$ soit 23\degres au degré près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

%On considère un triangle EFG tel que EF  = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire le triangle EFG.
On construit [FG] tel que FG = 6,5~cm. Les cercles centrés en F et G de rayons respectifs 6 et 4,5 se coupent en E.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,5)
%\psgrid
\psarc(0.5,0.5){6}{20}{40}
\psarc(8,0.5){4.5}{120}{140}
\pspolygon(0.5,0.5)(8,0.5)(5.3,4.1)
\uput[l](0.5,0.5){F} \uput[r](8,0.5){G} \uput[u](5.3,4.1){E}
\psline(2.9,2.3)(4.25,0.5) 
\uput[ul](2.9,2.3){M}\uput[d](4.25,0.5){N}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.
D'une part $\text{FG}^2 = 7,5^2 = 56,25$. D'autre part $\text{FE}^2 + \text{EG}^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$.

Donc $\text{FG}^2 =\text{FE}^2 + \text{EG}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E. 
\item %Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ; elle coupe [FG] en N.
Voir la figure.
\item %Montrer que N est le milieu de [FG].
Les points F, M, E d'une part, F, N, G d'autre part sont alignés dans cet ordre ; les droites (MN) et (EG) sont parallèles, donc d'après la propriété de Thalès :

$\dfrac{\text{FM}}{\text{FE}} = \dfrac{\text{FN}}{\text{FG}}$.

Comme M est le milieu de [FE], $\dfrac{\text{FM}}{\text{FE}} = \dfrac{1}{2}$, il suit que  $\dfrac{\text{FN}}{\text{FG}} = \dfrac{1}{2}$ qui signifie que N est milieu de [FG].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}\begin{pspicture}(-0.4,-1)(5,4)
%\pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4)
%\psline(0,3)(1.9,0)(5,4)
%\uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1.9,0){$M$}
%\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4)
%\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3)
%\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4)
%\uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4}
%\end{pspicture}} \hfill
%\parbox{0.47\linewidth}{\textbf{Les longueurs sont exprimées en centimètres.}
%
%TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ;  PA = 5 ;  AR =  4.
%
%$M$ est un point variable du segment [PA], et on note $x$ la longueur du segment [P$M$].}
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x = 1$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item ~%Faire une figure.
\begin{center}		
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}\begin{pspicture}(-0.4,-1)(5,4)
\pspolygon(0,3)(0,0)(5,0)(5,4)
\psline(0,3)(1,0)(5,4)
\uput[ul](0,3){T} \uput[dl](0,0){P} \uput[dr](5,0){A} \uput[ur](5,4){R} \uput[d](1,0){$M$}
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(0,-0.4)(5,-0.4)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.4,0)(-0.4,3)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(5.4,0)(5.4,4)
\uput[l](-0.4,1.5){3} \uput[d](2.5,-0.4){5}\uput[r](5.4,2){4}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.
On a AM $ = 5 - 1 = 4 = $ AR, donc le triangle ARM est isocèle en A.
		\item %Calculer les aires des triangles PTM et ARM.
$\mathcal{A}_{\text{PTM}} = \dfrac{1 \times 3}{2} = \dfrac{3}{2}$~cm$^2$.

$\mathcal{A}_{\text{ARM}} = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, on se place dans le cas où} \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{est un nombre inconnu.}
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les valeurs entre lesquelles $x$ peut varier.
		On a $0 \leqslant x \leqslant 5$.
		\item %Montrer que l'aire du triangle PTM est $1,5 x$ et l'aire du triangle ARM est $10 -  2x$.
$\mathcal{A}_{\text{PTM}} = \dfrac{x \times 3}{2} = 1,5x$~cm$^2$.

$\mathcal{A}_{\text{ARM}} = \dfrac{(5 - x) \times 4}{2} = 2(5 - x) = 10 - 2x$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
%\textbf{La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de \boldmath $x$ \unboldmath est donnée en annexe.}

%\textbf{Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.}

%\textbf{Laisser apparents les traits nécessaires.}

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm$^2$  ?
$\mathcal{A}_{\text{PTM}}  = 1,5x = 6$, donc $x = 4$.		
		\item %Lorsque $x$ est égal à 4~cm, quelle est l'aire du triangle ARM ?
$\mathcal{A}_{\text{ARM}}  = 10 - 2 \times 4 = 2$~cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Sur ce graphique donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, tracer la droite représentant la fonction : $x \longmapsto 1,5x$.
Voir à la fin.
		\item %Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.
On lit à peu près $x \approx 2,85$ soit 2,9~cm au millimètre près.
		\item %Montrer par le calcul que la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux aires sont égales, est $\dfrac{100}{35}$.
Les aires sont égales si :
		
$1,5x = 10 - 2x$ soit $3,5x = 10$ ou $35x = 100$ et enfin $x = \dfrac{100}{35} = \dfrac{20}{7} \approx \np{2,857142857}\ldots$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(5.4,11)
\multido{\r=0.0+0.2}{28}{\psline[linestyle=dashed](\r,0)(\r,10)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=20]{->}(0,0)(5.4,10)
\psline(0,10)(5,0)
\rput(2.7,11){\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}}
\rput{-27}(1.2,7.8){aire du triangle R$M$A}
\uput[r](0,10.5){aire en cm$^2$}
\uput[d](5,-0.5){longueur de $x$ en cm}
\multido{\n=0+1}{11}{\uput[l](0,\n){\n~cm$^2$}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{1.5 x mul}
\rput{19}(1.2,2){\blue aire du triangle PTM}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](2.857,0)(2.857,4.2857)(0,4.2857)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\end{document}
