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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Pondichéry, avril 2010}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

%Une classe de 3\up{e} est constituée de 25 élèves.
%
%Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires.
%
%Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe.
%
%\medskip

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Garçon		&Fille	&Total\\ \hline
Externe					&2 			&3		&5\\ \hline
Demi-pensionnaire		&9			&11		&20 \\ \hline
Total					&11			&14		&25\\ \hline
\end{tabularx}\]
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Recopier et compléter le tableau.
Voir au dessus.
\item  %On choisit au hasard un élève de cette classe.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille ?
La probabilité est égale à $\dfrac{14}{25} = \dfrac{56}{100} = 0,56$ ou 56\,\%.
		\item %Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe ?
La probabilité est égale à $\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} = 0,2$ ou 20\,\%.		
		\item %Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
Sur les 20 demi-pensionnaires il y a 9 garçons.  La probabilité est égale à $\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100} = 0,45$ ou 45\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

%On donne :
%
%\[\text{A} = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{14}\div  \dfrac{5}{7} \qquad  \text{B} = \dfrac{8 \times 10^8 \times 1,6}{0,4 \times 10^{-3}}\qquad 
%\text{C} = \left(\sqrt{5} + \sqrt{10}\right)^2 - 10\sqrt{2}.\]
  
\begin{enumerate}
\item  %Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
$\text{A} = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{14} \times   \dfrac{7}{5} = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17 \times 7}{7 \times 2 \times 5} = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{10} = \dfrac{12}{10} - \dfrac{17}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2}$.
\item  %Donner l'écriture scientifique de B.
$\text{B} = \dfrac{8 \times 10^8 \times 1,6}{0,4 \times 10^{-3}} = 32 \times 10^{8+3} = 32 \times 10^{11} = 3,2 \times 10^{12}$.
\item  %Montrer que C est un nombre entier.
$\text{C} = \left(\sqrt{5} + \sqrt{10}\right)^2 - 10\sqrt{2} = 5 + 10 + 2\sqrt{5} \times \sqrt{10} - 10\sqrt{2} = 15 + 2 \sqrt{5}\times \sqrt{5} \times \sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 15 + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 15$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} }

\medskip
%Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse.
%Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
%\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{3}{c|}{Réponses}\\ \hline
%	&Questions	&A	&B	&C\\ \hline
%1&\begin{tabular}{p{3.65cm}}
%Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur $x =-1$ ?\\
%\end{tabular} &
%$-3x^2$&$6(x + 1)$&$5x^2+ 1$\\ \hline
%2&\begin{tabular}{p{3.65cm}}Le développement de \mbox{$(x + 3)(2x + 4) -2(5x + 6)$} est :\\
%\end{tabular}&
%$2x^2$	&$2x^2 + 20x + 24$	& $2x^2+ 24$\\ \hline
%3&
%\begin{tabular}{p{3.65cm}}La factorisation de \mbox{$9x^2-16$} est:\\
%\end{tabular}&$(3x - 4)^2$&$(3x + 4)(3x - 4)$&$(3x + 4)^2$
%	\\ \hline
%4&\begin{tabular}{p{3.65cm}}Les solutions de l'équation $(x - 5)(3x + 4) = 0$ sont:\\
%\end{tabular}&
%$\dfrac{4}{3}$ et 5&$- \dfrac{4}{3}$ et 5&$\dfrac{4}{3}$ et $-5$ \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $5\times (- 1)^2   + 1 = 5 + 1 = 6$. Réponse C.
\item $(x + 3)(2x + 4) -2(5x + 6) = 2x^2  + 4x + 6x + 12 - 10x - 12 = 2x^2$. Réponse A.
\item $9x^2-16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x + 4)(3x - 4)$. Réponse B.
\item On a $x - 5 = 0$ ou $3x + 4 = 0$, soit 
$x = 5$ ou $x = - \dfrac{4}{3}$. Réponse B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5~cm ; BC = 10~cm et AC = 12,5~cm.
On trace un segment [AC] de longueur 12,5~cm et les cercles centrés en A et C de rayons respectifs 7,5 et 10~cm qui se coupent en B.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(13.5,8)
%\psgrid
\psarc(0.5,0.5){7.5}{40}{60}
\psarc(13,0.5){10}{135}{150}
\psarc(13,0.5){4}{135}{150}
\pspolygon(0.5,0.5)(13,0.5)(5,6.5)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[u](5,6.5){B} \uput[dr](13,0.5){C}
\psdots(7.5,0.5)(9.8,2.9)\uput[d](7.5,0.5){F}\uput[ur](9.8,2.9){G} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item  %Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
$\text{AC}^2 = 12,5^2 = 156,25$ et $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 7,5^2 + 10^2 = 56,25 + 100 = 156,25$.

Donc $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2$, ce qui montre d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle en B.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5~cm.
Voir la figure.
		\item %Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4~cm.
Voir la figure.
	\end{enumerate}
\item  %Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{CF}}{\text{CA}} = \dfrac{5}{12,5} = 0,4$. De même $\dfrac{\text{CG}}{\text{CB}} = \dfrac{4}{10} = 0,4$.

Donc $\dfrac{\text{CF}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{CG}}{\text{CB}}$ ce qui montre d'après la réciproque de la propriété de Thalès que les droites (FG) et (AB) sont parallèles.
\item  %Montrer que la longueur FG est égale à 3~cm.
On sait que l'on a également : $\dfrac{\text{FG}}{\text{AB}}  = 0,4$, soit $\dfrac{\text{FG}}{7,5}  = 0,4$ d'où FG $ = 3$~cm.
\item  %Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
On a vu que :
-- (AB) et (BC) sont perpendiculaires ;

-- (AB) et (FG) sont parallèles.

or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, donc (FG) est perpendiculaire à (BC).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

%En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci -dessous.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,6)
%\pscurve[linewidth=1.25pt](-1.95,0.9)(-2.,0.8)(-1.5,0.3)(-1,0.12)(0,0)(1,0.12)(1.5,0.3)(2.,0.8)(1.95,0.9)
%\psline(-2,0.85)(-0.8,3.8)(-0.8,5.7)
%\psline(2,0.85)(0.8,3.8)(0.8,5.7)
%\psellipse[linestyle=dashed](0,0.8)(2,0.8)
%\psline[linestyle=dashed](-0.8,3.8)(0,5.7)(0.8,3.8)
%\psellipse(0,5.7)(0.8,0.3)
%\psellipse[linestyle=dashed](0,3.78)(0.8,0.3)
%\pscurve[linewidth=1.pt](-0.8,3.8)(-0.7,3.66)(-0.6,3.58)(-0.4,3.53)(0,3.5)(0.4,3.53)(0.6,3.58)(0.7,3.66)(0.8,3.8)
%\uput[l](-2,3.8){Niveau maximum de l'eau}
%\psline[linestyle=dashed](0,5.7)(0,0.8)(2,0.8)
%\psline[linestyle=dashed](-0.8,3.8)(0.8,3.8)
%\psline(0,3.95)(0.15,3.95)(0.15,3.8)
%\psline(0,0.95)(0.15,0.95)(0.15,0.8)
%\uput[ul](0,5.6){S} \uput[ul](0.05,3.8){O$'$} \uput[ur](0.8,3.8){B$'$}
%\uput[l](0,0.8){O} \uput[r](2,0.8){B}
%\psline{->}(-2,3.8)(-1,3.8)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%
%Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche.
%
%On note :
%
%\quad  C$_{1}$ le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB.
%
%\quad  C$_{2}$ le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O$'$ et de rayon O$'$B$'$.
%
%On donne : SO = 12~cm et OB = 4~cm
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Le volume $V$ d'un cône de révolution de rayon $R$ et de hauteur $h$ est donné par la formule :

%\[V = \dfrac{1}{3}\times \pi \times R^2 \times h\]

%Calculer la valeur exacte du volume du cône C$_{1}$.
$V_{\text{C}_1} = \dfrac{1}{3}\times \pi \times 4^2 \times 12 = 64\pi$~cm$^3$.
\item  %Le cône C$_{2}$ est une réduction du cône C$_{1}$. On donne SO$'$ = 3~cm.
	\begin{enumerate}
		\item  %Quel est le coefficient de cette réduction ?
Le coefficient de cette réduction est égal à $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
		\item  %Prouver que la valeur exacte du volume du cône C$_{2}$ est égale à $\pi$~cm$^3$.
Chaque dimension étant divisée par 4, le volume du cône C$_2$ est égal à celui de C$_1$ divisé par $4^3 = 64$, donc $V_{\text{C}_2} = \dfrac{64\pi}{64} = \pi$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %En déduire que la valeur exacte du volume d'eau contenue dans le récipient, en cm$^3$, est $63\pi$.
Le volume d'eau contenue dans le récipient est égal à $V_{\text{C}_1} - V_{\text{C}_2} = 64\pi - \pi = 63\pi$.
		\item  %Donner la valeur approchée de ce volume d'eau arrondie au cm$^3$ près.
		On a  $63\pi \approx 197,92$ soit environ 198~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item %Ce volume d'eau est-il supérieur à 0,2~litres ? Expliquer pourquoi.
198~cm$^3 < 200$~cm$3 = 0,200$~dm$^3$ ou 0,2~litre.

Le volume d'eau est inférieur à 0,2~litre.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\medskip

%\begin{center}
%\textbf{Les trois parties sont indépendantes}
%\end{center}

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Offre A : 1,20~\euro{} par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
%\item Offre B : 0,50~\euro{} par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35~\euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.
Pour 30 morceaux on paiera :

-- avec l'offre A $30 \times 1,20 = 36$~\euro.

-- avec l'offre B : $30 \times 0,50 + 35 = 15 + 35 = 50$~\euro.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer, en fonction du nombre $x$ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A.
Offre A : $1,2x$.
		\item  %Exprimer, en fonction du nombre $x$ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B.
Offre B : $35 + 0,5x$.
	\end{enumerate}
\item  %Soit $f$ et $g$ les deux fonctions définies par : 

%\[f : \quad x \longmapsto 1,2x\quad  \text{et} \quad  g : \quad  x \longmapsto 0,5x+35.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %L'affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi.
		
%\og $f$ et $g$ sont toutes les deux des fonctions linéaires \fg.
$f$ est une application linéaire mais $g$ est une fonction affine.
		\item  ~%Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$. On prendra 1 cm pour 10~morceaux en abscisse et 1~cm pour 10~\euro{} en ordonnée.
\begin{center}
\psset{xunit=0.095cm,yunit=0.095cm}
\begin{pspicture}(-10,-10)(100,100)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(100,100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(100,100)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{83.4}{1.2 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{100}{0.5 x mul 35 add}
\psset{arrowsize=3pt 3}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](50,0)(50,60)(0,60)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](60,0)(60,65)(0,65)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,80)(90,80)(90,0)
\end{pspicture}		
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item  %Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.
On voit graphiquement que le coût sera la même pour 50 morceaux téléchargés (60~\euro).
\item  %Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.
Pour $x = 60$, la première droite rencontrée est celle de l'offre B : on paiera 65~\euro{} au lieu de $60 \times 1,20 = 72$~\euro.
\item  %Si on dépense 80~\euro, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?
On voit que 80~\euro{} on pourra télécharger 90 morceaux. (au lieu de 66 avec l'offre A)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%On admet qu'un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet)

\begin{enumerate}
\item  %Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d'une capacité de stockage de 256 Mo ?
On a $\dfrac{256}{3} \approx 85$ ; donc à peu près 85 morceaux.
%La vitesse de téléchargement d'un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s. (méga-octet par seconde)
\item  %Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes ?
2~min soit 120~s, donc le débit en 2~min est de $120 \times 10 = \np{1200}$~Mo.

Comme $\np{1200} = 3 \times 400$, on peut donc télécharger 400 morceaux en 2 minutes.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

%Les créateurs du site réalisent une enquête de satisfaction auprès des internautes clients.
%
%Ils leur demandent d'attribuer une note sur 20 au site.
%
%Le tableau suivant donne les notes de 50 internautes.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Note	&6	&8	&10	&12	&14	&15	&17\\ \hline
%Effectif&1	&5	&7	&8	&12	&9	&8\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la note moyenne obtenue par le site. Arrondir le résultat à l'unité.
La note moyenne est $\dfrac{1 \times 6 + 5 \times 8 + \cdots + 8 \times 17}{1 + 5 + \cdots + 8} = \dfrac{651}{50} = 13,02$. Donc environ 13/20.
\item  %L'enquête est jugée satisfaisante si 55\:\% des internautes ont donné une note supérieure ou égale à 14. Est-ce le cas ? Expliquer pourquoi.
Il y a eu $12 + 9 + 8 = 29$ personnes sur 50 qui ont donné une note supérieure à 13, soit $\dfrac{29}{50} = \dfrac{58}{100} = 58\,\%$.
 
L'enquête est donc jugée satisfaisante.
\end{enumerate}

\end{document}
