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% -------- PARAMÈTRES --------
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        postaction={decorate},
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            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
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        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
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            (0,-0.10)
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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Pondichéry, avril 2015}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

%Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
%
%Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste.
%
%Sur votre copie, indiquer le numéro de la question et recopier l'affirmation juste.
%
%On ne demande pas de justifier.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering  \arraybackslash}X|}}\hline
%	&Questions 			&A			& B			& C\\ \hline
%1	& La forme développée de $(x - 1)^2$ est :&$(x - 1)(x + 1)$&  $x^2 - 2x + 1$& $x^2 + 2x + 1$.\\ \hline
%2	& Une solution de l'équation : $2x^2 + 3x - 2 = 0$ est&0&2&$- 2$\\ \hline
%3	& On considère la fonction $f : x \longmapsto  3x+2$.  Un antécédent de $- 7$ par la fonction $f$ est :&$- 19$& $- 3$& $- 7$\\ \hline
%4	& Lorsqu'on regarde un angle de 18\,\degres{} à la loupe de grossissement 2, on voit 
%un angle de :&9\degres& 36\degres& 18\degres\\ \hline
%5	& On considère la fonction $g :  x \longmapsto x^2 + 7$.
%Quelle est la formule à entrer dans la cellule B2 pour calculer $g(- 2)$ ?
%%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
%	&A		&B \\ \hline
%1	&$x$	&$g(x)$\\ \hline
%2	&$- 2$	&\\ \hline
%3	&		&\\ \hline
%\end{tabular} &= A2 $\hat{}$ 2 + 7& $= - 2^2 + 7$& = A$2*2$ + 7\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item $(x - 1)^2 = x^2 + 1 - 2x$. Réponse B
\item $2\times (- 2)^2 + 3 \times (- 2) - 2 = 2 \times 4  - 6 - 2 = 8 - 8 = 0$. Réponse C
\item Il faut résoudre l'équation $3x + 2 = - 7$ soit $3x = - 9$ et enfin $x = - 3$. Réponse B.
\item L'angle de 18\,\degres{} reste un angle de 18\,\degres{}. Réponse C
\item Réponse A.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2\hfill 4 points}}

\medskip

%Un chocolatier vient de fabriquer \np{2622}~oeufs de Pâques et \np{2530}~poissons en chocolat.
%
%Il souhaite vendre des assortiments d'oeufs et de poissons de façon que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] tous les paquets aient la même composition ;
%\item[$\bullet~~$] après mise en paquet, il reste ni oeufs, ni poissons.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier.
On a $\dfrac{\np{2622}}{19} = 138$, mais $\dfrac{\np{2530}}{19} \approx  133,2$.

Ce qui veut dire que l'on ne pas répartir les \np{2530} poissons dans 19 paquets (il en reste 3)
\item %Quel est le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ?
Le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser est un diviseur commun à \np{2622} et à \np{2530}. Puisque c'est le plus grand c'est donc leur PGCD que l'on calcule grâce à l'algorithme d'Euclide :

$\np{2622}  \np{2530} \times 1 + 92$ ;

$\np{2530} =  92 \times 27  + 46$ ;

$92 = 46 \times 2 + 0$.

Le PGCD est le dernier reste non nul, donc 46.

Effectivement : $\dfrac{\np{2622}}{46} = 57$ et   $\dfrac{\np{2530}}{46} = 55$

Dans chacun des 46 paquets il y aura 57 œufs et 55 poissons.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3\hfill 6 points}}

\medskip

%Peio, un jeune Basque décide de vendre des glaces du 1\up{er} juin au 31 août inclus à
%Hendaye.
%
%Pour vendre ses glaces, Peio hésite entre deux emplacements :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item une paillotte sur la plage
%\item une boutique au centre-ville.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%En utilisant les informations ci-dessous, aidez Peio à choisir l'emplacement le
%plus rentable.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X c|}\hline
%\textbf{Information 1} : les loyers des deux emplacements proposés :&\\
%$\bullet~~$la paillotte sur la plage : \np{2500}~\euro{} par mois.&\\
%$\bullet~~$la boutique au centre-ville : $60$~\euro{} par jour.&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Information 2} : la météo à Hendaye\\
%Du 1\up{er} juin au 31 août inclus :\\
%$\bullet~~$Le soleil brille 75\,\% du temps\\
%$\bullet~~$Le reste du temps, le temps est nuageux ou pluvieux.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\textbf{Information 3} : prévisions des ventes par jour selon la météo :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
%\multicolumn{1}{c|}{~}&Soleil & Nuageux - pluvieux\\ \hline
%La paillotte& 500~\euro& 50~\euro\\ \hline
%La boutique& 350~\euro& 300~\euro\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On rappelle que le mois de juin comporte 30 jours et les mois de juillet et août
%comportent 31 jours.
%
%\medskip
%
%\textbf{Toute piste de recherche même non aboutie, sera prise en compte dans
%l'évaluation.}
$\bullet~~$\textbf{Sur la plage} :

Peio paiera 3 mois à \np{2500} soit $3 \times \np{2500} = \np{7500}$~\euro{} de location de paillote.

Il encaissera les trois quarts du temps soit $0,75 \times 92$~jours 500~\euro{} par jour et 

le reste du temps soit $0,25 \times 92$~jours 50~\euro{} par jour.

Ses recettes pour tout l'été s'élèveront donc à :

\begin{center}$0,75 \times 92 \times 500 + 0,25 \times 92 \times 50 = \np{34500} + \np{1150} = \np{35650}$~\euro.\end{center}

Il gagnera donc sur la plage :

\[\np{35650} - \np{7500} = \np{28150}~\text{\euro}.\]

$\bullet~~$\textbf{En ville}

Peio paiera 92 jours  à 60 soit $92 \times 60   = \np{5520}$~\euro{} de location.

Il encaissera les trois quarts du temps soit $0,75 \times 92$~jours 350~\euro{} par jour et 

le reste du temps soit $92 \times 0,25$~jours 300~\euro{} par jour.

Ses recettes pour tout l'été s'élèveront donc à :

\[0,75 \times 92 \times 350 + 0,25 \times 92 \times 300 = \np{24150} + \np{6900} = \np{31050}~\text{\euro}.\]

Il gagnera donc en ville :

\[ \np{31050} - \np{5520} = \np{25530}~\text{\euro}.\]

$\bullet~~$\textbf{Conclusion} : Peio gagnera gagnera plus sur la plage.
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4\hfill 6 points}}

\medskip

%\parbox{0.65\linewidth}{La dernière bouteille de parfum de chez Chenal a la forme
%d'une pyramide SABC à base triangulaire de hauteur [AS] telle que :
%
%$\bullet~~$ABC est un triangle rectangle et isocèle en A ;
%
%$\bullet~~$AB = 7,5~cm et AS = 15~cm.
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer le volume de la pyramide SABC. (On arrondira au cm$^3$ près.)
%\item Pour fabriquer son bouchon SS$'$MN, les concepteurs ont
%coupé cette pyramide par un plan P parallèle à sa base et passant par le point S$'$ tel que SS$'$ = 6~cm.
%	\begin{enumerate}
%		\item Quelle est la nature de la section plane S$'$MN obtenue ?
%		\item Calculer la longueur S$'$N.
%	\end{enumerate}
%\item Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en cm$^3$.
%\end{enumerate}} \hfill
%\parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(5.5,12)
%%\psgrid
%\pspolygon(0.4,1.4)(0.4,10.9)(3.2,0.5)%ASB
%\psline(0.4,10.9)(5.2,1.4)(3.2,0.5)%SCB
%\psline[linestyle=dashed](0.4,1.4)(5.2,1.4)%AC
%\psline(0.4,7.1)(1.5,6.7)(2.3,7.1)%S'MN
%\psline[linestyle=dashed](0.4,7.1)(2.3,7.1)%S'N
%\psframe(0.4,1.4)(0.9,1.9)
%\psline(0.9,1.4)(1.4,1.2)(1,1.2)
%\uput[u](0.4,10.9){S}\uput[l](0.4,7.1){S$'$}
%\uput[dr](1.5,6.7){M}\uput[r](2.3,7.1){N}
%\uput[l](0.4,1.4){A}\uput[d](3.2,0.5){B}\uput[r](5.2,1.4){C}
%\rput(2.6,1.4){$\circ$}\rput(2,0.9){$\circ$}
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item La base est un triangle rectangle isocèle de côtés mesurant 7,5~cm. L'aire de cette base est donc égale à $\dfrac{7,5 \times 7,5}{2}$.

La hauteur de la pyramide est égale à 15~cm, donc le volume de la pyramide est égal à :

$V_{\text{SABC}} = \dfrac{1}{3} \dfrac{7,5 \times 7,5}{2}\times 15 = 5\times  \dfrac{7,5 \times 7,5}{2} = 140,625$~cm$^3$ soit environ 141~cm$^3$ au cm$^3$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le plan de coupe étant parallèle à la base de la pyramide la section S$'$MN est une réduction de la base qui est un triangle rectangle isocèle ; S$'$MN est donc lui aussi un triangle rectangle isocèle.
		\item La pyramide SS$'$MN est une réduction de la pyramide SABC et le rapport de réduction est le rapport des hauteurs soit $\dfrac{\text{SS}'}{\text{SA}} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$.
		
On a donc S$'\text{N} = \dfrac{2}{5} \times \text{AC} = \dfrac{2}{5} \times 7,5 = 3$~cm.
	\end{enumerate}
\item Le volume de la petite pyramide SS$'$MN peut s'obtenir de deux façons :
\begin{itemize}
\item Avec les dimensions :

$V_{\text{SS}'\text{MN}} = \dfrac{1}{3} \dfrac{3 \times 3}{2}\times 6 = 9$~cm$^3$.
\item Soit en utilisant le rapport de réduction. Si la grande pyramide a un volume de 140,625, la petite a un volume de :

$140,625 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = 140,625 \times \dfrac{8}{125} = 9$~cm$^3$.
\end{itemize}

Dans tous les cas il reste un volume pour le parfum de :

\[140,625 - 9 = 131,625~\text{cm}^3.\]
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5\hfill 4 points}}

\medskip

%Un jeu télévisé propose à des candidats deux épreuves :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]Pour la première épreuve, le candidat est face à 5 portes : une seule
%porte donne accès à la salle du trésor alors que les 4 autres s'ouvrent
%sur la salle de consolation.
%\item[$\bullet~~$]Pour la deuxième épreuve, le candidat se retrouve dans une salle face
%à 8 enveloppes.
%
%\textbf{Dans la salle du trésor }: 1 enveloppe contient \np{1000}~\euro, 5 enveloppes
%contiennent 200~\euro. Les autres contiennent 100~\euro.
%
%\textbf{Dans la salle de consolation} : 5 enveloppes contiennent 100~\euro{} et les
%autres sont vides.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Il doit choisir une seule enveloppe et découvre alors le montant qu'il a gagné.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que le candidat accède à la salle du trésor ?
Il y a une porte sur cinq qui donne accès à la salle du trésor ; la probabilité  d'y accéder est donc égale à $\dfrac{1}{5} = 0,2$.
\item %Un candidat se retrouve dans la salle du trésor.
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter par un schéma la situation.
Soit $M$ l'évènement \og le candidat choisit une enveloppe contenant mille euros \fg ; on a $p(M) = \dfrac{1}{8} = 0,125$ ;

Soit $D$ l'évènement \og le candidat choisit une enveloppe contenant deux cents euros \fg ; on a $p(D) = \dfrac{5}{8} = 0,625$ ;

Soit $C$ l'évènement \og le candidat choisit une enveloppe contenant cent euros \fg ; on a $p(C) = \dfrac{2}{8} = 0,250$.

Ce que l'on peut schématiser par :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
{\TR{$M$}\taput{0,125}
\TR{$D$}\taput{0,625}
\TR{$C$}\tbput{0,250}
}
\end{center}
		\item %Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins 200~\euro{} ?
		La probabilité de gagner au moins 200~\euro{} est la probabilité contraire de gagner 100~\euro{} soit :

$1 - 0,250 = 0,75$ ou encore 3 chances sur 4.
	\end{enumerate}
\item %Un autre candidat se retrouve dans la salle de consolation.

%Quelle est la probabilité qu'il ne gagne rien ?
Dans la salle de consolation 3 enveloppes sur 8 ne contiennent rien ; la probabilité de ne rien gagner est donc égale à $\dfrac{3}{8} = 0,375$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6\hfill 7 points}}

\medskip

%[AB] est un segment de milieu O tel que AB = 12~cm.
%
%Le point C appartient au cercle de centre O passant par A. De plus AC = 6~cm
%
%L'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure 30\,\degres.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire la figure en vraie grandeur.
On construit :

\begin{itemize}
\item le segment [AB] tel que AB = 12~cm ;
\item sa médiatrice pour trouver son milieu O ;
\item le demi-cercle de centre O et de rayon 6~cm ;
\item le cercle de centre A et de rayon 6 coupe ce demi-cercle en C ;
\item on trace [AC] et [CB].
\end{itemize}

\item %Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
	\begin{enumerate}
		\item %Le triangle ABC est rectangle.
Le triangle ABC est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l'un de ses côtés [AB] ; il est donc rectangle en C.
		\item Le segment [BC] mesure 10~cm.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

$\text{AC}^2 + \text{CB}^2 = \text{AB}^2$ ou $\text{CB}^2 = \text{AB}^2 - \text{AC}^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \ne 100$ carré de 10. Donc [CB] ne mesure pas 10~cm.
		\item %L'angle $\widehat{\text{AOC}}$ mesure 60\,\degres.
$\widehat{\text{AOC}}$ est l'angle au centre qui intercepte l'arc $\widearc{\text{AC}}$ ; sa mesure est égale au double de celle dessangle inscrit qui intercepte le même arc soit $\widehat{\text{ABC}}$, donc l''angle $\widehat{\text{AOC}}$ mesure 60\,\degres.
		\item %L'aire du triangle ABC est $18\sqrt{3}$~cm$^2$.
On a vu que $\text{CB}^2 = 108 = 9 \times 12 = 9 \times 4 \times 3 = 36 \times 3$, donc 

$\text{CB} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

L'aire du triangle ABC est donc égale à :

$\dfrac{\text{AC} \times \text{CB}}{2} = \dfrac{6 \times 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$~cm$^2$.
		\item %L'angle $\widehat{\text{BOC}}$ mesure 31\,\degres.
		Dans BOC, on a OB = OC : le triangle est donc isocèle et on a donc 
		
		$\widehat{\text{OBC}} = \widehat{\text{OCB}} = 30$. On en déduit que $\widehat{\text{BOC}} = 180 - 30 - 30 = 120$~\,\degres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7\hfill 4 points}}

\medskip

%Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d'un triangle
%équilatéral de côté 6~cm. La somme des périmètres des trois petits triangles est égale
%au périmètre de l'hexagone gris restant. Quelle est la mesure du côté des petits
%triangles ?
%
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.6)
\pspolygon(0,0)(5,0)(2.5,4.33)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0)(3.7,0)(4.35,1.126)(3.15,3.204)(1.85,3.204)(0.65,1.126)
\rput{60}(0.3,0.8){$c$}\rput{60}(2.05,4.05){$c$}\rput{60}(1.3,2.6){$6 - 2c$}
\end{pspicture}
\end{center}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Toute trace de recherche, même non aboutie, figurera sur la copie et sera prise
%en compte dans la notation.}
Soit $c$ la mesure d'un côté de l'un des petites triangles équilatéraux.

Dans l'hexagone gris il y a trois côtés de longueur $c$ et trois côtés de longueur $6 - 2c$.

On a donc :

$3 \times 3c = 3c + 3(6 - 2c)$ soit 

$9c = 3c + 18 - 6c$ soit

$12c = 18$ soit en simplifiant par 6 :

$2c = 3$ et enfin 

$c = \frac{3}{2} = 1,5$~cm.

\end{document}
