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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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% -------- PARAMÈTRES --------
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\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
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    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
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    \end{scope}
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    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

% -- Commandes personnalisées APMEP --
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Pondichéry, mai 2008}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées une seule est exacte.
%
%Indiquer sur la copie le numéro de la ligne et recopier la réponse exacte. 
% 
%Aucune justification n'est demandée.
%  
%\medskip
% 
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{1.1}&$ 28 \times  10^{-3}$ est égal à& 	0,280&	0,028&\np{28000}\\ \hline
%\textbf{1.2}&$\sqrt{50}$ est égal à :&	$25\sqrt{2}$&$2\sqrt{5}$&$5\sqrt{2}$\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.3}&$\left( \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$ est	égal à :&	2&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{5}{16}$\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.4}&$\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + 1$ est égal à :	&$\dfrac{5}{6}$&$- \dfrac{7}{6}$&$0$\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.5}&L'équation $\dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5}$ a pour solution&3&	$\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{12}{5}$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $ 28 \times  10^{-3} = 0,028$.
\item $\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
\item $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{16} - \dfrac{4}{16} =  \dfrac{5}{16}$.
\item $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + 1 =  \dfrac{4}{6} -  \dfrac{5}{6} +  \dfrac{6}{6} = \dfrac{5}{6}$.
\item $\dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5}$ entraîne $5x = 2\times 6$ ou $x = \dfrac{12}{5} = 2,4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $A = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Développer et réduire $A$.
$A = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2 +2$. 
		\item %Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, $(x - 1),~ x$ et $(x+ 1)$ dont la somme des carrés est  \np{1325}.
On a vu dans la question précédente que la somme des carrés est égale à $3x^2 + 2$.

Il faut donc résoudre l'équation $3x^2 + 2 = \np{1325}$ ou $3x^2 = \np{1323}$ ou $x^2 = 441$.

Le seul nombre positif dont le carré est égal à 441 est 21.

Les trois nombres sont donc : 20,\:21 et 22.
	\end{enumerate} 
\item On pose $B = 9x^2 - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Factoriser B.
$B = 9x^2 - 64 = (3x)^2 - 8^2 = (3x + 8)(3x - 8)$. 
		\item  %Déterminer les deux nombres relatifs dont le carré du triple est égal à 64.
Soit $x$ le(s) nombre(s) cherché(s) ; il faut que $3x^2 = 64$ ou encore 

$3x^2 - 64 = 0$, c'est-à-dire $B(x) = 0$ ou encore $(3x + 8)(3x - 8) = 0$ ; d'où 

$3x + 8 = 0$ ou $3x - 8 = 0$, soit finalement $x = - \dfrac{8}{3}$ ou $x = \dfrac{8}{3}$ (ces nombres ne sont pas entiers)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre le système suivant :

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\left\{\begin{array}{l c r}
x + y&=&45\\
3x + 5y&=&163\\
\end{array}\right.$ ou $\left\{\begin{array}{l c r}
3x + 3y&=&135\\
3x + 5y&=&163\\
\end{array}\right.$ d'où par différence 

$2y = 163 - 135 = 28$ , donc $y = 14$ et par complément à 45 dans la première équation : $x = 45 - 14 = 31$.

Le couple solution est $(31~;~14)$.
\item %Une entreprise artisanale fabrique deux types d'objets en bois, notés A et B.

%Un objet de type A nécessite 3 kg de bois et un objet de type B nécessite 5 kg de bois.
%
%Pendant une journée, l'entreprise a utilisé 163 kg de bois pour fabriquer 43~objets.
%
%Déterminer le nombre d'objets réalisés pour chaque type.
Si $x$ est le nombre d'objets A et $y$ celui d'objets du type B, on a :

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\left\{\begin{array}{l c r}
x + y&=&45\\
3x + 5y&=&163\\
\end{array}\right.$ soit le système précédent. Il y a donc 31 objets du type A et 14 du type B.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\emph{L'exercice $2$ a été supprimé en conformité avec le nouveau programme.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

%\medskip
%
%\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. II n'est pas demandé de la reproduire.}
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(12,5)
%\psline(0,2.5)(12,2.5)
%\pscircle(9,2.5){2.25}
%\psline(1.5,2.5)(3,0)(9.82,4.58)(11.25,2.5)
%\uput[u](1.5,2.5){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[ul](6.8,2.5){O} 
%\uput[u](9.82,4.58){R} \uput[ur](11.25,2.5){S}
%\uput[u](4,2.5){10}  \uput[ul](5.1,1.4){8} \uput[ul](8.3,3.6){5,6}
%\uput[d](9,2.5){7}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\mathcal{C}$ est un cercle de diamètre [OS] tel que OS = 7~cm.\\
%R est un point du cercle tel que OR = 5,6~cm.\\
%A est le point de la demi-droite [SO) tel que OA = 10~cm.\\
%B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB =  8~cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{OS}}{\text{OA}} = \dfrac{7}{10} = 0,7$ et $\dfrac{\text{OR}}{\text{OB}} = \dfrac{5,6}{8} = 0,7$.

L'égalité $\dfrac{\text{OS}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{OR}}{\text{OB}}$ montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (RS) et (AB) sont parallèles.
\item  %Déterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangle AOB.
Le triangle ORS inscrit dans un cercle dont l'un de ses côtés est un diamètre est rectangle en R.
\item  %En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, arrondie au degré.
Dans le triangle ORS rectangle en R, on a $\cos \widehat{\text{ROS}} = \dfrac{\text{OR}}{\text{OS}} = \dfrac{5,6}{7} = 0,8$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{ROS}} \approx 36,87$\degres.

Or $\widehat{\text{ROS}} = \widehat{\text{AOB}}$, car ils sont opposés par le sommet. Donc $\widehat{\text{AOB}} \approx 37$\degres (au degré près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

%Noémie confectionne des cadres et des dessous-de-plat en mosaïque, 
%qu'elle commercialise vers l'Espagne.
%
%À partir de son stock, elle répartit 376 cadres et 470 dessous-de-plat dans des colis identiques.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le nombre maximal de colis réalisables.
Le nombre de cadres et de dessous de tables doivent être des diviseurs de 376 et 470. Le nombre maximal correspond au diviseur commun le plus grand, soit le PGCD à 376 et 470.

Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide :

$470 = 376 \times 1 + 94$ ;

$376 = 94 \times 4 + 0$.

Le PGCD est donc 94.
\item  %Calculer le nombre de cadres et le nombre de dessous de plats contenus dans un colis.
Comme $470 = 5 \times 94$ et $376 = 4 \times 94$, chacun des 94 colis contient 5 cadres et 4 dessous de plat.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip 

%Pour acheminer ses colis vers ses clients espagnols, Noémie doit choisir entre deux trains au départ de Paris et à destination de l'Espagne.
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Le train 1, train de marchandises, roule à la vitesse constante de 110 km/h et quitte Paris à minuit (0 h 00).
%\item[$\bullet~$] Le train 2, convoi rapide de marchandises, roule à la vitesse constante de 165 km/h et quitte Paris à 4 h 00.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier les trois nombres inscrits en italique dans le tableau suivant.
$\bullet~~$Le train 1 parcourt 110 km en 1 h donc 550~km en 5~h.

$\bullet~~$Le train 2 part à 4~h.

$\bullet~~$Le train 2 parcourt $165$~km en 1~h.
 
		\item %Recopier et compléter ce même tableau.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Heure&0~h 00&1~h 00& 4~h 00& 5~h 00&\footnotesize 10~h 00&\footnotesize  15~h 00\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue par le train 1 (en km)&0&110&440&\emph{550}&\np{1100}&\np{1650}\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue par le train 2 (en km)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\emph{0}	&\emph{165}&\np{990}&\np{1815}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}
\item  ~%On se place dans un repère orthogonal tel que :

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] en abscisse, 1~cm représente 1~heure ;
%\item[$\bullet~$] en ordonnée, 1~cm représente 55~kilomètres.
%\end{itemize}
%
%Tracer :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] le segment de la droite $(d_{1})$ représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 1 de 0 h 00 à 15~h 00.
%\item[$\bullet~$] le segment de la droite $(d_{2})$ représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 2 de 4 h 00 à 15~h 00.
%\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.006cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(15,1900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(15,1900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100](0,0)(15,1900)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{110 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{4}{15}{165 x mul 660 sub}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](12,1320)(12,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](12,1320)(0,1320)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1100)(10,1100)(10,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1766)(14.7,1766)(14.7,0)
\uput[u](14.2,0){heure}\uput[r](0,1850){distance de Paris}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Par lecture graphique, répondre à la question suivante en faisant apparaître les tracés nécessaires :	 à quelle heure le train 2 rattrapera-t-il le train 1 ? à quelle distance de Paris ?
On projette le point commun aux deux représentations : on lit comme abscisse : 12~(h) et comme ordonnée à peu près \np{1320}~km de Paris.
\item	%Noémie souhaite que les colis arrivent le plus tôt possible à leurs destinataires.
	\begin{enumerate}
		\item  %Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Barcelone située à \np{1100}~km de Paris ?
On trace l'horizontale contenant le point (0~;~\np{1100}) ; la première droite rencontrée correspond au temps le plus petit ; il faut choisir le train 1, avec lequel les colis arriveront à 10~h.		
		\item %Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Séville, située à \np{1766}~km de Paris ?
		
%Pour \textbf{a.} et \textbf{b.}, expliquer brièvement la démarche utilisée.
Même chose avec l'horizontale contenant le point (0~;~\np{1766}) ; la première droite rencontrée correspond au temps le plus petit ; il faut choisir le train 2, avec lequel les colis arriveront à peu près à 14,7~h soit à 14~h 42~min environ.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
