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% -- Commandes personnalisées APMEP --
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Brevet des collèges — Portugal, juin 2010}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 


\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Activit�s num�riques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $ 5  -  7 = - 2$ et $(-2)^2 =  4$.
\item $-2+5=3$ et $3^2=9$ donc le r�sultat est 9 avec le programme A.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Si on appelle $x$	le nombre de d�part, on doit avoir $(x+5)^2 = 0$ soit $x=-5$
	
		\item De m�me, on doit avoir $(x-7)^2 = 9$ donc $x-7=3$ ou $x-7 = -3$ soit $x=10$ ou $x=4$.
%Quels nombres faut-il choisir pour que le r�sultat du programme B soit $9$ ?
		
	\end{enumerate} 
\item $(x+5)^2 = (x-7)^2 \Longleftrightarrow (x+5)^2 - (x-7)^2 = 0 \Longleftrightarrow \left( (x+5) - (x-7) \right) \left( (x+5) + (x-7) \right) = 0 \Longleftrightarrow \left( x+5 - x+7 \right) \left( x+5 + x-7 \right) = 0 \Longleftrightarrow 12  \left( 2x-2 \right) = 0 \Longleftrightarrow x=1$.
On doit choisir le nombre 1 pour obtenir le m�me r�sultat avec les deux programmes.

%Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le m�me r�sultat avec les deux programmes ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

%Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la m\^eme probabilit� d'�tre tir�e. On tire une boule au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$
%Calculer la probabilit� pour que cette boule soit rouge. 
\item $\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$
%Calculer la prohabilit� pour que cette boule soit noire ou jaune. 
\item $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} =1$.
%Calculer la somme des deux probabilit�s trouv\'ees aux deux questions pr�c�dentes.
Le r�sultat �tait pr�visible car il s'agissait de deux �v�nements contraires.
%Le r�sultat �tait-il pr�visible ? Pourquoi ? 
\item Soit $b$ le nombre de boules bleues.\\

$\dfrac{\text{nombre de boules bleues}}{\text{nombre total de boules}} = \dfrac{1}{5}$ donc $\dfrac{b}{b+20} = \dfrac{1}{5}$.

En faisant l'�galit� des produits en croix, on obtient :\\
$5 b = b+20 \Longleftrightarrow 4b = 20 \Longleftrightarrow b = 5$.\\
(On aurait aussi pu remarquer facilement  que si $b=5$, alors $\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} $)
%On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10~boules rouges, 6~boules noires, 4~boules jaunes et les boules bleues. 

%On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilit� de tirer une boule bleue est �gale � $\dfrac{1}{5}$, calculer le nombre de boules bleues.  
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\textbf{1.}  La valeur de $a$ est : $-2$\\
\textbf{2.} L'image de $0$ par $f$ est : 3\\
\textbf{4.} L'ant�c�dent de $4$ par la fonction $f$ est :$- \dfrac{1}{2}$ \\
\textbf{5.} La droite qui repr�sente la fonction $f$ coupe l'axe des ordonn�es en E(0~;~3)

\vspace*{2cm}

\textbf{\textsc{Activit�s g\'eom�triques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Figure 1 &Figure 2 &Figure 3 &Figure 4\\ \hline 
\begin{tabular}{l}Le triangle ABC est \\
rectangle en A ?\\\end{tabular} &  Oui& Non& Non&  Oui\\ \hline
\begin{tabular}{l}
Num�ro(s) de la ou \\
des propri�t�s permet-\\
tant de le prouver\\\end{tabular}
 &5 &7 et 4&3&1\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 2}

%\medskip

%\emph{Rappel : volume d'une pyramide =} $\dfrac{(aire~ de~ la~ base) \times  hauteur}{3}$

\medskip


 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\text{AI}\times \text{AK}}{2} = \dfrac{6\times 6}{2} = 18~\text{cm}^2$.
%Calculer l'aire du triangle AIK. 
\item $\dfrac{(\text{aire~ de~ AIK}) \times \text{AJ}}{3}=\dfrac{18 \times 6}{3}=\dfrac{18\times2}{1} = 36~\text{cm}^3$
%Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI. 
\item Volume du cube : $12^3 = 1~728~\text{cm}^3$\\
$\dfrac{36}{1728} = \dfrac{1}{48}$. Le volume de la pymmide AIKJ repr�sente $\dfrac{1}{48}$ du volume du cube.
% �crire le r�sultat sous forme d'une fraction de num�rateur $1$. 
\item \ \\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-8)(10.38,8.76)
\pspolygon(0.42,0)(0.42,0.42)(0,0.42)(0,0)
\psline(0,6)(0,-6)
\psline(6,0)(-6,0)
\psline(0,6)(-6,0)
\psline(-6,0)(0,-6)
\psline(0,6)(6,0)
\psline(0,6)(6,0)
\psline(6,0)(8.2,8.2)
\psline(8.2,8.2)(0,6)
\psline(2.4,3.34)(2.74,3.58)
\psline(3.82,7.22)(4.26,6.94)
\psline(6.9,4.26)(7.34,4.02)
\psline(-3.52,2.72)(-3.18,2.52)
\psline(-3.08,-3.2)(-2.88,-2.7)
\psline(-0.18,3.02)(0.16,3.12)
\psline(-0.18,3.28)(0.16,3.4)
\psline(2.24,0.14)(2.4,-0.22)
\psline(2.52,0.16)(2.64,-0.2)
\psline(-2.78,0.22)(-2.6,-0.2)
\psline(-2.48,0.22)(-2.36,-0.18)
\psline(-0.22,-2.66)(0.2,-2.86)
\psline(-0.22,-2.94)(0.2,-3.1)
\rput[bl](0.32,-0.52){$A$}
\rput[bl](6.26,0.04){$J$}
\rput[bl](-0.44,6.34){$K$}
\rput[bl](-6.36,0.1){$I$}
\rput[bl](0.46,-6.18){$J'$}
\rput[bl](8.28,8.32){$I'$}
\end{pspicture*}

%Tracer le patron de la pyramide AIKJ. 
\end{enumerate}

%\vspace*{3cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Probl\`eme}\hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \ %Tracer la figure en vraie grandeur. 

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.7)(16.68,6.56)
\pspolygon(13.42,0)(13.42,0.42)(13,0.42)(13,0)
\pscustom{\parametricplot{1.0471975511965974}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+10|0.6*sin(t)+0}\lineto(10,0)\closepath}
\psplot{-1.1}{16.68}{(-86.6--8.66*x)/5}
\pscircle(10,0){6}
\psline(0,0)(13,5.2)
\psline(13,-0.7)(13,6.56)
\psline(0,0)(10,0)
\psplot{-1.1}{16.68}{(-0-0*x)/13}
\psline(6.5,-0.7)(6.5,6.56)
\rput[bl](-0.24,0.3){$C$}
\rput[bl](10.16,-0.32){$B$}
\rput[bl](9.04,0.8){$120\textrm{\ensuremath{^\circ}}$}
\rput[bl](-2.76,14.76){$A_1$}
\rput[bl](13.34,5.24){$A$}
\rput[bl](12.56,-0.38){$H$}
\rput[bl](6.08,-0.42){$M$}
\rput[bl](6.04,2.82){$N$}
\end{pspicture*}

\item
	\begin{enumerate}
		\item $180 -120 = 60$. L'angle $\widehat{\text{ABH}}$ mesure 60 degr�s.
%Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$. En d�duire que BH = 3. 
		\item Le triangle ABH est rectangle en H, on peut donc appliquer la trigonom�trie :\\
$\sin \widehat{\text{ABH}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}$ d'o� $\sin 60^{\circ} = \dfrac{\text{AH}}{6}$. Or $\sin 60^{\circ} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc :\\
$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\text{AH}}{6} \Longleftrightarrow \sqrt{3} = \dfrac{\text{AH}}{3} \Longleftrightarrow \text{AH} = 3 \sqrt{3}.$

En appliquant le th�or�me de Pythagore dans le triangle ABH, rectangle en H, on trouve :\\
$\text{AB}^2 = \text{AH}^2 + \text{BH}^2$ soit $6^2 = (3 \sqrt{3})^2 + \text{BH}^2$.\\
Donc $\text{BH}^2 = 6^2 - (3 \sqrt{3})^2 = 36 - 9 \times 3  = 36 - 27 = 9$.  Donc $\text{BH}=3~\text{cm}$.\\
$\text{CH} = \text{BH} + \text{BC} = 3 + 10 = 13~\text{cm}$.
L'aire du triangle ACH rectangle en H est donc :\\
$\dfrac{\text{CH}\times \text{AH}}{2} = \dfrac{13 \times 3 \sqrt{3}}{2} = \dfrac{39\sqrt{3}}{2}~\text{cm}^2$.

		%Prouver que AH $= 3\sqrt{3}$, puis calculer l'aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte). 
		\item  En appliquant le th�or�me de Pythagore dans le triangle ACH, rectangle en H, on trouve :\\
$\text{AC}^2 = \text{AH}^2 + \text{CH}^2 = (3\sqrt{3})^2 + 13^2 = 9\times 3 + 169 = 196$ donc $\text{AC} = \sqrt{196} = 14~\text{cm}$.
	%Prouver que AC = 14.
	\end{enumerate} 
\item %M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5.
%La parall�le � (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N. 
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure. 
		\item On reconna�t une configuration de Thal�s dans les triangles CNM et CAH. Comme (NM)  // (AH) , on peut appliquer le th�or�me de Thal�s.\\
$\dfrac{\text{NM}}{\text{AH}} = \dfrac{\text{CM}}{\text{CH}}$ soit $\dfrac{\text{NM}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{6,5}{13}$ donc $\text{NM} = 3\sqrt{3} \times \dfrac{6,5}{13} = \dfrac{3\sqrt{3}\times 6,5}{13}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 13}{26} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
		%Prouver que NM $= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 
 
		\item Premi�re m�thode, gr�ce � la formule de l'aire du trap�ze :\\
$\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})\times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{(\text{AH}+\text{NM}) \times \text{MH}}{2}$.\\
$\text{AH} = 3\sqrt{3}$ ; $\text{NM} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ; $\text{MH}=\text{CH} - \text{CM} = 13 - 6,5 = 6,5$.\\
L'aire du trap�ze AHMN est donc :\\ $\dfrac{\left(3\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\times 6,5}{2} = \dfrac{\left(\dfrac{6\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)\times 13}{4}= \dfrac{\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\times 13}{4} = \dfrac{117\sqrt{3}}{8} \approx 25~\text{cm}^2$.\\
Deuxi�me m�thode : pour calculer l'aire du trap�ze AHMN, on soustrait � l'aire du triangle rectangle CAH (calcul�e dans la question 2b), celle du triangle rectangle CMN.\\
L'aire du trap�ze AHMN est donc :\\
$\dfrac{39\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\text{CM} \times \text{NM}}{2} = \dfrac{39\sqrt{3}}{2} - \dfrac{6,5 \times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{39\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\dfrac{21,5\sqrt{3}}{2}}{2}  = \dfrac{39\sqrt{3}}{2} -\dfrac{19,5\sqrt{3}}{4}  =$\\

$ \dfrac{39\sqrt{3}}{2} -\dfrac{39\sqrt{3}}{8}  = \dfrac{156\sqrt{3}}{8} -\dfrac{39\sqrt{3}}{8}  = \dfrac{117\sqrt{3}}{8}\approx 25~\text{cm}^2$.\\


		%\emph{Pour cette question, toute trace de recherche, m�me incompl�te, sera prise en compte dans l'\'evaluation.}
		
%\medskip
 
%D�terminer l'aire du trap�ze AHMN. Donner une valeur approch�e � l'unit� pr�s de cette aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 



\end{document}
