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\definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}
\newcommand{\euro}{\texteuro}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet -- voie professionnelle\\Martinique, 3 juillet 2024}
\newcommand{\soustitre}{Diplôme national du brevet -- Corrigé}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/coll/fiches/corr_dnb_pro_martinique_juil_2024.pdf}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\begin{center}
{\Large\bfseries Corrigé -- Brevet -- Martinique voie professionnelle -- 3 juillet 2024}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{\Large\bfseries CORRIGÉ}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 1: QCM \hfill 15 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~
\vspace{-10pt}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
 Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité.

Indiquer la valeur manquante.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Quantité 	&14&\\ \hline
Coût (\euro)&98 &182\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
$\square~$\np{1274}&$\textcolor{blue}{\boxtimes}~26$&$\square~$7,46 &$\square~$70
\end{tabularx}

\item L'écriture en notation scientifique de 520 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
$\square~5,20 \times 10^{-2}$& $\square~5,20\times 10$& $\square~5,20 \times 10^3$&$\textcolor{blue}{\boxtimes}~5,20 \times 10^2$
\end{tabularx}

\item Le patron permettant de construire un pavé droit est :

\medskip

\begin{tikzpicture}[x=0.65cm,y=0.65cm]
% \carr = square 1.3x1.3, \rect = rectangle 1.7x1.3
% Net 1:
\draw (0,1.3) rectangle (1.3,2.6);       % carr
\draw (1.3,1.3) rectangle (3.0,2.6);     % rect
\draw (3.0,1.3) rectangle (4.3,2.6);     % carr
\draw (4.3,1.3) rectangle (5.6,2.6);     % carr
\draw (1.3,2.6) rectangle (3.0,3.9);     % rect
\draw (1.3,0) rectangle (3.0,1.3);       % rect
% Net 2:
\draw (6,0) rectangle (7.7,1.3);         % rect
\draw (6,1.3) rectangle (7.7,2.6);       % rect
\draw (6,2.6) rectangle (7.7,3.9);       % rect
\draw (6,3.9) rectangle (7.7,5.2);       % rect
\draw (7.7,1.3) rectangle (9.0,2.6);     % carr
\draw (9.0,1.3) rectangle (10.3,2.6);    % carr
% Net 3 (in blue = correct answer):
\draw[blue] (11,1.3) rectangle (12.3,2.6);     % carr
\draw[blue] (14,1.3) rectangle (15.3,2.6);     % carr
\draw[blue] (12.3,0) rectangle (14.0,1.3);     % rect
\draw[blue] (12.3,1.3) rectangle (14.0,2.6);   % rect
\draw[blue] (12.3,2.6) rectangle (14.0,3.9);   % rect
\draw[blue] (12.3,3.9) rectangle (14.0,5.2);   % rect
\draw[blue] (15.3,3.9) rectangle (16.6,5.2);   % carr
\draw[blue] (16.6,3.9) rectangle (17.9,5.2);   % carr
% Net 4:
\draw (18.1,0) rectangle (19.8,1.3);     % rect
\draw (18.1,1.3) rectangle (19.8,2.6);   % rect
\draw (18.1,2.6) rectangle (19.8,3.9);   % rect
\draw (18.1,3.9) rectangle (19.8,5.2);   % rect
% Checkboxes
\node at (2.2,-0.5) {$\square$};
\node at (7,-0.5) {$\square$};
\node at (13.2,-0.5) {$\textcolor{blue}{\boxtimes}$};
\node at (18,-0.5) {$\square$};
\end{tikzpicture}

\item L'expression développée de $A =2(7x + 3)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
$\textcolor{blue}{\boxtimes}~A = 14x + 6$& $\square~A = 14x + 3$& $\square~A = 7x + 6$&$\square~A = 7x + 5$
\end{tabularx}
\item  La valeur du côté du cube B est trois fois plus grande que la valeur du côté du cube A.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
% Cube A (small)
\draw (1.6,0.6)--(2.4,0.5)--(2.4,1.2)--(1.6,1.3)--cycle;
\draw (2.4,0.5)--(2.9,0.7)--(2.9,1.4)--(2.4,1.2);
\draw (2.9,1.4)--(2.1,1.5)--(1.6,1.3);
\draw[dashed] (1.6,0.6)--(2.1,0.8)--(2.9,0.7);
\draw[dashed] (2.1,0.8)--(2.1,1.5);
\draw[<->] (1.5,0.6)--(1.5,1.3) node[midway,left,font=\footnotesize] {1~cm};
\node[below] at (2.1,0) {A};
% Cube B (large, 3x)
\draw (3.2,0.6)--(5.6,0.3)--(5.6,2.6)--(3.2,2.9)--cycle;
\draw (5.6,0.3)--(7.1,0.9)--(7.1,3.2)--(5.6,2.6);
\draw (7.1,3.2)--(4.7,3.5)--(3.2,2.9);
\draw[dashed] (3.2,0.6)--(4.7,1.2)--(7.1,0.9);
\draw[dashed] (4.7,1.2)--(4.7,3.5);
\node[below] at (5,0) {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le volume du cube B est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
$\square~9~\text{cm}^3$& $\square~3~\text{cm}^3$& $\textcolor{blue}{\boxtimes}~27~\text{cm}^3$&$\square~36~\text{cm}^3$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2  \hfill 20 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
Le schéma ci-contre n'est pas à l'échelle.

Les points A, E et D sont alignés ainsi que les points A, B et C.

On donne :
\begin{center}
AC = 20~cm\qquad EB = 8,7~cm\qquad BC = 4cm\end{center}

Les droites (EB) et (DC) sont parallèles.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.44\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
% Triangle AEB
\draw (0.3,1.2) -- (4.4,1.2) -- (4.4,3.8) -- cycle;
\draw (4.2,1.2) rectangle (4.4,1.4); % right angle at B
% Triangle ACD
\draw (0.3,1.2) -- (5.794,1.2) -- (5.794,4.684) -- cycle;
\draw (5.594,1.2) rectangle (5.794,1.4); % right angle at C
% Dimensions
\draw[<->] (4.5,1.2) -- (4.5,3.8) node[midway,right,font=\small] {8,7~cm};
\draw[<->] (0.3,0.6) -- (5.794,0.6) node[midway,below,font=\small] {20~cm};
\draw[<->] (4.4,1.1) -- (5.794,1.1) node[midway,below,font=\small] {4~cm};
% Labels
\node[below left,font=\small] at (0.3,1.2) {A};
\node[below left,font=\small] at (4.4,1.2) {B};
\node[above left,font=\small] at (4.4,3.8) {E};
\node[below right,font=\small] at (5.794,1.2) {C};
\node[above,font=\small] at (5.494,4.684) {D};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item A, B et C sont alignés dans cet ordre donc AB + BC = AC.\\
Or BC = 4 et AC = 20, donc AB = 16.

\item Le triangle ABE est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:

$\text{AE}^2 = \text{AB}^2 + \text{BE}^2 = 16^2+ 8{,}7^2 = 256 + 75{,}69 = 331{,}69$

$\text{AE}=\sqrt{331{,}69}$ donc AE vaut environ $18{,}2$ cm.

\item L'égalité $\dfrac{\text{EB}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$  permet de calculer la longueur DC~; elle provient du théorème de Thalès.

\item $\dfrac{\text{EB}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$
équivaut à
$\dfrac{8{,}7}{\text{DC}} = \dfrac{16}{20}$
équivaut à
$\dfrac{8{,}7\times 20}{16}=\text{DC}$

Donc $\text{DC}\approx 10{,}88$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3  \hfill 20 points}

\medskip

Élise s'entraine pour passer les qualifications et représenter la France en athlétisme pour une épreuve internationale de 100 m.

Le tableau ci-dessous regroupe la série de ses temps (en secondes) lors des onze dernières compétitions.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
10,58 &10,59 &11,01 &11,03 &11,05 &11,08  &11,10  &11,11  &11,13  &11,18  &11,20 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le temps minimum  mis par Élise pour parcourir le 100~m a été de $10{,}58$~s,  et son temps maximum est de $11{,}20$~s.

\item L'étendue de cette série est, en seconde, de $11{,}20-10{,}58=0{,}62$.

\item Les résultats sont considérés comme réguliers si l'étendue est inférieure à $0{,}7$~s.

$0{,}62<0{,}7$ donc  les résultats d'Élise sont réguliers.

\item Les 11 résultats d'Élise sont rangés en ordre croissant dans le tableau.

Donc la médiane de cette série est le 6\textsuperscript{e} résultat soit $11{,}08$~s.

\item $\begin{aligned}[t]
m & =\dfrac{10{,}58 +10{,}59 +11{,}01 + 11{,}03 +11{,}05 +11{,}08 + 11{,}10  +11{,}11  +11{,}13  +11{,}18  +11{,}20}{11}\\
& = \dfrac{121{,}06}{11}\approx 11{,}005
\end{aligned}$ \\
donc la moyenne de cette série, arrondie au centième de seconde, est égale à $11{,}01$ s.
\item Pour être sélectionnée en équipe de France, les critères suivants doivent être vérifiés:
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item 50\,\% des temps au 100 m sont inférieurs à $11{,}09$~secondes;
\item la moyenne des temps au 100 m doit être inférieure à $11{,}05$~secondes.
\end{itemize}

On regarde si les critères sont vérifiés.
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Sur 11 résultats, il y en a 6 qui sont inférieurs à $11{,}09$~secondes, ce qui fait plus de $50\,\%$.
\item La moyenne des temps est de $11{,}01$ secondes~; elle est donc inférieure à $11{,}05$~secondes.
\end{itemize}

Les deux critères sont vérifiés donc Élise pourra être sélectionnée en équipe de France.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4  \hfill 30 points}

\medskip

Afin de se déplacer aux qualifications, le club d'athlétisme étudie les tarifs de location d'un minibus.

On souhaite déterminer le tarif le plus intéressant selon le nombre de kilomètres parcourus.

\begin{itemize}
\item \textbf{Tarif A :} 3,50~\euro{} par kilomètre
\item \textbf{Tarif B :} 2,50~\euro{} par kilomètre auxquels on ajoute un coût fixe de 200~\euro.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Le montant de la location avec le tarif A pour un trajet de 80 km est, en euros, de:
$3{,}50\times 80=280$.

\item On donne trois expressions de fonctions :
\[f(x) = 2,50 x \quad ; \quad g(x) = 3,50 x \quad;\quad h(x) = 3,50 x + 200\]

L'expression de la fonction modélisant le calcul du montant du tarif A est:
$g(x)=3{,}50 x$.

\item On place le point N de coordonnées (160~;~560) sur le graphique (voir page suivante).

\item On trace la droite passant par les points M et N.

On admet que la droite (MN) représente la fonction de la question 2, c'est-à-dire la fonction $g$ définie par $g(x)=3{,}50x$.

Cette fonction est de la forme $x\longmapsto ax$, donc c'est une fonction linéaire.
\end{enumerate}

La droite déjà représentée sur le graphique permet de déterminer les montants du tarif B.

\begin{enumerate}[resume]
\item D'après le graphique, le nombre de kilomètres pour lequel les deux tarifs sont égaux est 200.

On voit aussi qu'avant 200~km, c'est le tarif A le plus intéressant.

On retrouve 200 en résolvant l'équation: $3{,}50x=2{,}50 x + 200$.
\end{enumerate}

Les qualifications se déroulent à une distance de 75~km du club.

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre de kilomètres effectués pour aller et revenir des qualifications est 150.

\item D'après le graphique et les questions précédentes, le tarif le plus intéressant est le A.

Par le calcul:
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item \textbf{Tarif A} - Pour 150~km, on paie, en euros, $3{,}50\times 150 = 525$.
\item \textbf{Tarif B} - Pour 150~km, on paie, en euros, $2{,}50\times 150 +200 = 575$.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.05cm,y=0.02cm,>=stealth]
% Grid
\foreach \x in {0,20,...,240} \draw[gray!30,thin] (\x,0)--(\x,800);
\foreach \y in {0,50,...,800} \draw[gray!30,thin] (0,\y)--(240,\y);
% Axes
\draw[->] (0,0)--(245,0) node[above,font=\footnotesize] {(km)};
\draw[->] (0,0)--(0,820) node[right,font=\footnotesize] {tarif en \texteuro};
% Ticks and labels
\foreach \x in {20,40,...,220} \draw (\x,5)--(\x,-5) node[below,font=\tiny] {\x};
\foreach \y in {50,100,...,750} \draw (3,\y)--(-3,\y) node[left,font=\tiny] {\y};
% Line tarif B: f(x) = 2.5x+200 (cyan)
\draw[cyan,thick] (0,200)--(240,{2.5*240+200});
% Tarif A line (blue): y=3.5x
\draw[blue,thick] (0,0)--(228,{3.5*228});
% Points M and N
\filldraw[blue] (40,140) circle (3pt) node[below right,font=\footnotesize] {\textcolor{blue}{M}};
\filldraw[blue] (160,560) circle (3pt) node[right,font=\footnotesize] {\textcolor{blue}{N}};
% Reading lines at x=200 (intersection)
\draw[red,dashed,thick] (200,0)--(200,700);
\filldraw[red] (200,700) circle (3pt);
\node[below,font=\tiny,fill=white] at (200,0) {\textcolor{red}{200}};
% Reading lines at x=150
\draw[dashed,thick] (150,0)--(150,800);
\draw[cyan,dashed,thick] (150,575)--(0,575) node[left,font=\tiny] {\textcolor{cyan}{575}};
\draw[blue,dashed,thick] (150,525)--(0,525) node[left,font=\tiny] {\textcolor{blue}{525}};
\node[below,font=\tiny,fill=white] at (150,0) {\textbf{150}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5  \hfill 15 points}

\medskip

Pour participer aux Qualifications, les clubs doivent payer des frais d'inscription. Pour le club, les frais d'inscription dépendent de la catégorie du sportif et du nombre d'inscrits.

Une réduction de 20\,\% est accordée au club si les frais totaux d'inscription sont supérieurs à 500~\euro.

Le programme suivant permet de calculer les frais d'inscription d'un club en 2023.

\scalebox{1}{
\hspace*{1cm}\parbox{\linewidth}{
\renewcommand*\numblock[1]{Ligne #1~~}
\medskip
\noindent\textit{Bloc 1 :} le bloc conditionnel ci-dessous.
\medskip
\begin{scratch}[num blocks,baseline=10]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{demander \ovalnum{Nombre de juniors à inscrire} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Nombre de juniors} à \ovalmove{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Coût juniors} à Nombre de juniors\ovaloperator{* 10}}
\blockmove{demander \ovalnum{Nombre de séniors à inscrire} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Nombre de séniors} à \ovalmove{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Coût sénior} à Nombre de séniors\ovaloperator{* 17}}
 \setscratch{num blocks=false}
\blockifelse{si \booloperator{\ovalmove{Coût juniors + Coût sénior} < \ovalnum{500}} alors}
	{\blockvariable{mettre \selectmenu{Coût total} à \ovalmove{Coût juniors + Coût sénior}}
	}
	{\blockvariable{mettre \ovalvariable{Réduction} à \ovaloperator{Coût juniors + Coût sénior * 20 / 100}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Coût total} à {\ovaloperator{Coût juniors + Coût séniors - Réduction}}}}
\renewcommand*\numblock[1]{Ligne \the\numexpr#1 -5~~}
%%% Merci à Christian Tellechea auteur de l'extension scratch3
 \setscratch{num blocks}
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le montant total à payer est de} et \ovaloperator{regrouper} Coût total et \euro}}
\end{scratch}
}% fin du parbox
}% fin du scalebox

\bigskip

\begin{enumerate}
\item D'après la ligne 4 du programme le montant des frais d'inscription pour un sportif en catégorie junior en 2023 est de 10~\euro.

\item L'instruction de la ligne 7 calcule le montant total des frais d'inscription des séniors, chaque sénior payant 17~\euro.

Cela fait donc en tout: $\text{Nombre de séniors} \times 17$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Le tableau ci-contre donne les informations pour les inscriptions de l'année 2024.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.67\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize }X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Nombre d'inscrits&Montant de l'inscription en \euro\\ \hline
Catégorie junior		&24&14\\ \hline
Catégorie sénior		&52&25\\ \hline
\end{tabularx}
{\footnotesize Inscription compétitions année 2024}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Les lignes à modifier dans le programme pour calculer les frais d'inscription en 2024 sont:

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item  Ligne 4: mettre 14 à la place de 10.
\item Ligne 7: mettre 25 à la place de 17.
\end{itemize}

Il faudra alors saisir:
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item le nombre 24 en ligne 2 pour \og Nombre de juniors à inscrire \fg;
\item le nombre 52 en ligne 5 pour \og Nombre de séniors à inscrire \fg.
\end{itemize}

\item Le bloc 1 permet de réaliser la réduction dans le cas où le coût total dépasse 500~\euro.

\end{enumerate}

\end{document}
