\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges -- Série professionnelle}
\newcommand{\soustitre}{Métropole -- Guadeloupe -- Guyane, 26 juin 2025}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet -- Série professionnelle\\[4pt]
Métropole -- Guadeloupe -- Guyane, 26 juin 2025}
\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 -- QCM\hfill 20 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), il est à compléter directement sur l'\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie à la fin du sujet}.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 -- Trajets en train \hfill 22 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des tarifs :
	\begin{enumerate}
		\item Elsa paiera pour 3 billets sans carte de réduction : $3 \times 80 = 240$~\euro.
		\item $\bullet~$La remise sur un billet est égale à $80 \times \dfrac{30}{100} = 80 \times 0{,}30 = 24$~\euro.

Il lui reste à payer $80 - 24 = 56$~\euro.

$\bullet~$ Directement : il lui reste à payer $\dfrac{100}{100} - \dfrac{30}{100} = \dfrac{70}{100}$ de 80 soit $80 \times \dfrac{70}{100} = 80 \times 0{,}7 = 56$~\euro.
		\item Avec la carte à 49~\euro{} et 3 voyages coûtant $3 \times 56 = 168$~\euro, Elsa paiera $49 + 168 = 217$~\euro.
	\end{enumerate}
\item Comparaison des tarifs :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.01cm]
  % grille fine
  \foreach \xi in {0,...,12} \draw[gray!30,line width=0.25pt] (\xi,0) -- (\xi,1000);
  \foreach \yi in {0,100,...,1000} \draw[gray!30,line width=0.25pt] (0,\yi) -- (13,\yi);
  % axes
  \draw[->,line width=1.25pt] (0,0) -- (13.3,0);
  \draw[->,line width=1.25pt] (0,0) -- (0,1050);
  % labels x
  \foreach \xi in {0,...,12} \node[below,font=\scriptstyle] at (\xi,0) {\xi};
  % labels y
  \foreach \yi in {100,200,...,1000} \node[left,font=\scriptstyle] at (0,\yi) {\yi};
  % droite f rouge : f(x)=80x
  \draw[red,line width=1.25pt] (0,0) -- (11,880);
  % droite g bleue : g(x)=56x+49
  \draw[blue,line width=1.25pt] (0,49) -- (11,665);
  % droite verticale pointillée à x=8
  \draw[dashed,line width=1.25pt] (8,0) -- (8,800);
  % labels axes
  \node[above,font=\small] at (7,0) {Nombre de billets achetés};
  \node[right,font=\small] at (0,950) {Prix à payer (en \euro)};
  \node[right,font=\small] at (13.3,0) {$x$};
  \node[above,font=\small] at (0,1050) {$y$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $\bullet~$ Sans carte d'abonnement chaque voyage coûte 80~\euro{}, donc $x$ voyages coûtent $80x$~\euro. 0 voyage coûte 0~\euro, donc la représentation de cette fonction (linéaire) est une droite contenant l'origine : c'est la droite rouge.

$\bullet~$Avec la carte d'abonnement coûtant 49~\euro{} chaque voyage revient à 56~\euro{} : elle paiera pour $x$ voyages : $56x + 49$~\euro. La représentation de cette fonction (affine) est donc la droite bleue contenant le point de coordonnées (0~;~49).
		\item On a vu que $g(x) = 56x + 49$.
		\item On a donc $g(8) = 56 \times 8 + 49 = 448 + 49 = 497$.
		\item Le prix à payer pour $8$ billets avec la carte de réduction est donc $497$~\euro.
		\item $\bullet~$ Sans carte $x > 8$, donc $80x > 640$~\euro.

$\bullet~$ Avec la carte : $x > 8$, donc $56x > 56 \times 8$ ou $56x > 448$ et $56x + 49 > 448 + 49$ soit $56x + 49 > 497$.

$\bullet~$Graphiquement on voit que si on trace la droite verticale $x = 8$ cette droite rencontre la droite bleue (représentation de $g$) avant celle de $f$. C'est donc le choix de l'achat de la carte qui sera le plus intéressant.

En fait ceci est vrai à partir de 3 voyages comme on l'a vu dans la question \textbf{1.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 Destinations\hfill 18 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lit que qu'il y a eu 42 sorties \og Ville \fg.
\item Le nombre total de tirages cette semaine est égale à :
\[42 + 55 + 68 + 35 = (42 + 68) + (55 + 35) = 110 + 90 = 200.\]
\item Dans la semaine il y a eu 55 sorties de la montagne sur un total de 200 tirages, soit une fréquence de $\dfrac{55}{200} = \dfrac{27{,}5}{100} = 0{,}275$.
\end{enumerate}

On fait tourner la roue.
\begin{enumerate}[resume]
\item La roue est partagée en 8 secteurs, dont 2 sont marqués Montagne : la probabilité de tirage de ce lieu est donc égale à $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.
\item De la même façon, il y a 2 secteurs marqués Ville sur 8 secteurs : la probabilité de tirer Ville est la même que celle de tirer Montagne : Elsa a tort.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme $48 > 45$ (longueur de la valise), le bâton ne peut être mis à la verticale.

\medskip

\item Le triangle ABC est rectangle en B, d'hypoténuse [AC].
\item Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 45^2 + 32^2 = \np{2025} + \np{1024} = \np{3049}$.

La longueur AC est supérieure à zéro, donc $\text{AC} = \sqrt{\np{3049}} \approx 55{,}2 \approx 55$~cm à l'unité près.
\item Maintenant l'inégalité $48 < 55$ est vraie donc le bâton peut rentrer dans la valise.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5  (algorithme)\hfill 22 points}}

\medskip

Dans un avion, les valises sont placées en cabine ou en soute. Les compagnies aériennes appliquent un surcoût aux valises en cabine qui pèsent plus de 15 kilogrammes.
Le programme scratch ci-dessous permet de calculer la masse en trop et le montant du surcoût en euros demandé aux clients pour conserver leur valise de plus de 15 kilogrammes en cabine.

\medskip

\begin{scratch}[num blocks,scale=0.8]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockvariable{mettre \selectmenu{masse} à \ovalvariable{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{$x$} à \ovaloperator{\ovalvariable{masse} - \ovalnum{15}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} * \ovalnum{12,30}}}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{La masse de votre valise dépasse de} \ovalvariable{x}} pendant \ovalnum{30} secondes}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le montant à payer pour la masse supplémentaire est} \ovalvariable{résultat}} pendant \ovalnum{30} secondes}
\end{scratch}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lit à la ligne 5 que tout kilo au dessus des 15 premiers kilos est facturé 12,30~\euro.
\item La ligne 4 calcule le montant à payer pour les kilos au delà de 15.
\item On a $(17{,}50 - 15) \times 12{,}30 = 2{,}5 \times 12{,}30 = 30{,}75$~\euro.
\end{enumerate}

En soute, un surcoût est appliqué aux valises qui pèsent plus de $23$~kg.

Chaque kilogramme supplémentaire coûte $10{,}70$~\euro.

\begin{enumerate}[resume]
\item Il faut modifier les lignes 3 et 4.
\item

\begin{scratch}[num blocks,scale=0.8,start=3]
\blockvariable{mettre \selectmenu{$x$} à \ovaloperator{\ovalvariable{masse} - \ovalnum{23}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} * \ovalnum{10,70}}}
\end{scratch}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 1 -- Corrigé}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 : QCM}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $25\,\%$ de $340$ s'obtient en effectuant le calcul suivant :

$340 \times \dfrac{25}{100} = \dfrac{340}{4} = 85$.

\item $3^5$ est le produit de 5 facteurs égaux à 3 : $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$.

\item Le tableau suivant correspond à une situation de proportionnalité : \begin{tabular}{c |c}
19&2\\ \hline
$N$&6\\
\end{tabular}

On passe de 2 à 6 en multipliant par 3 : donc $N = 19 \times 3 = 57$.

\item Le volume du cube de côté 3 cm est égal à :

$V = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27~\left(\text{cm}^3\right)$.

\hspace{6cm}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
\draw (0,0.4) rectangle (1.6,2);
\draw (1.6,0.4)--(2.1,0.9)--(2.1,2.5)--(1.6,2);
\draw (2.1,2.5)--(0.5,2.5)--(0,2);
\draw[dashed] (0,0.4)--(0.5,0.9)--(2.1,0.9);
\draw[dashed] (0.5,0.9)--(0.5,2.5);
\node[below,font=\small] at (0.8,0.4) {3 cm};
\end{tikzpicture}

\item La solution de l'équation $25x + 4 = 108 - x$ est :

En ajoutant $x$ à chaque membre on obtient : $26x + 4 = 108$, puis

en ajoutant $-4$ à chaque membre on obtient : $26x = 104$, soit

$x = \dfrac{104}{26} = 4$.

4 est la solution de l'équation.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 2 -- Corrigé}
\end{center}

\textbf{Exercice 2 : question 2. a.}

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.01cm]
  % grille fine
  \foreach \xi in {0,...,13} \draw[gray!30,line width=0.25pt] (\xi,0) -- (\xi,1000);
  \foreach \yi in {0,100,...,1000} \draw[gray!30,line width=0.25pt] (0,\yi) -- (13,\yi);
  % axes
  \draw[->,line width=1.25pt] (0,0) -- (13.5,0);
  \draw[->,line width=1.25pt] (0,0) -- (0,1050);
  % labels x
  \foreach \xi in {0,...,12} \node[below,font=\scriptstyle] at (\xi,0) {\xi};
  % labels y
  \foreach \yi in {100,200,...,1000} \node[left,font=\scriptstyle] at (0,\yi) {\yi};
  % droite f rouge : f(x)=80x
  \draw[red,line width=1.25pt] (0,0) -- (12,960);
  % label f : Fonction f
  \node[red,rotate=38] at (10,833) {Fonction $f$};
  % droite g bleue : g(x)=56x+49
  \draw[blue,line width=1.25pt] (0,49) -- (12,721);
  % label g : Fonction g
  \node[blue,rotate=30] at (10,609) {Fonction $g$};
  % labels axes
  \node[above,font=\small] at (8,0) {Nombre de billets achetés};
  \node[right,font=\small] at (0,950) {Prix à payer (en \euro)};
  \node[right,font=\small] at (13.5,0) {$x$};
  \node[above,font=\small] at (0,1050) {$y$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
