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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet -- voie professionnelle\\Polynésie, 1\textsuperscript{er} juillet 2024}
\newcommand{\soustitre}{Diplôme national du brevet -- Corrigé}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/coll/fiches/corr_dnb_pro_polynesie_juin_2024.pdf}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\begin{center}{\Large\bfseries Brevet -- Polynésie -- Voie professionnelle\\[7pt] 1\textsuperscript{er} juillet 2024}\end{center}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Indication:} Dans tout le sujet, le symbole F représente l'unité franc CFP.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\centering Questions & \multicolumn{3}{ c|}{Réponses proposées}\\
\cline{2-4}
 & Réponse A & Réponse B & Réponse C\\
\hline
\begin{enumerate}
\item Pauro possède 50~F{}. Rai a le double de Pauro. Rai dépense 2 fois 15~F{}.
\end{enumerate}
Combien reste-t-il à Rai?
& $\blue 70 \text{ F}$ & 30 F & 20 F\\
\hline
\begin{enumerate}[start=2]
\item Voici les notes de Haiata:\newline
8 \quad 18 \quad  14 \quad 16 \quad 12 \quad 16
\end{enumerate}
La moyenne des notes de Haita est:
& 84 & $\blue 14$ & 6\\
\hline
\begin{enumerate}[start=3]
\item Dans une urne, il y a 15 boules : 5 boules bleues, 7 boules vertes et 3 boules rouges. Léo tire une boule au hasard.
\end{enumerate}
La probabilité de tirer une boule rouge est:
& $\dfrac{5}{15}$ & $\blue\dfrac{3}{15}$ & $\dfrac{12}{15}$\\
\hline
\begin{enumerate}[start=4]
\item Un pavé droit a une longueur $L$ de 12 m, une largeur $\ell$ de 6 m et une hauteur $h$ de $2,20$ m.

\scalebox{0.8}{%
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.2cm]
\coordinate (A) at (0,0); \coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (B) at (6,0); \coordinate (C) at (8,2);
\coordinate (F) at (6,6); \coordinate (G) at (8,8);
\coordinate (E) at (0,6); \coordinate (H) at (2,8);
\fill[gray!30] (A)--(B)--(C)--(G)--(H)--(E)--cycle;
\draw (G)--(C)--(B)--(A)--(E)--(F)--(G)--(H)--(E); \draw (B)--(F);
\draw[dashed] (A)--(D)--(C); \draw[dashed] (D)--(H);
\draw[<->] (0,-1)--(6,-1) node[midway,below] {$L$};
\draw[<->] (-0.3,0)--(-0.3,6) node[midway,left] {$h$};
\draw[<->] (7,0)--(9,2) node[midway,right,yshift=-4pt] {$\ell$};
\end{tikzpicture}}
\end{enumerate}
Le volume du pavé droit est de:
& $20,2$ m$^3$ & $132$ m$^3$ & $\blue158,4 \text{ m}^3$\\
\hline
\begin{enumerate}[start=5]
\item Soit la fonction $f$ définie par:\newline
$f(x)=-2x+10$
\end{enumerate}
La représentation graphique de $f$ est:\newline
&
\parbox{3cm}{\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.15cm,y=0.15cm,>=stealth]
\clip (-7,-9) rectangle (7,12);
\draw[step=5,gray!40,very thin] (-7,-9) grid (7,12);
\draw[->] (-7.5,0)--(7.5,0); \draw[->] (0,-9.5)--(0,12.5);
\node[below left,font=\tiny] at (0,0) {$0$};
\foreach \x in {-5,5} \draw (\x,0.3)--(\x,-0.3) node[below,font=\tiny] {$\x$};
\foreach \y in {-5,5,10} \draw (0.3,\y)--(-0.3,\y) node[left,font=\tiny] {$\y$};
\draw[blue,domain=-1:7,samples=50] plot (\x,{-2*\x+10});
\end{tikzpicture}}
&
\parbox{3cm}{\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.1cm,y=0.1cm,>=stealth]
\clip (-12,-18) rectangle (12,18);
\draw[step=10,gray!40,very thin] (-12,-18) grid (12,18);
\draw[->] (-12.5,0)--(12.5,0); \draw[->] (0,-18.5)--(0,18.5);
\node[below left,font=\tiny] at (0,0) {$0$};
\foreach \x in {-10,10} \draw (\x,0.5)--(\x,-0.5) node[below,font=\tiny] {$\x$};
\foreach \y in {-10,10} \draw (0.5,\y)--(-0.5,\y) node[left,font=\tiny] {$\y$};
\draw[domain=-1:12,samples=50] plot (\x,{2*\x-10});
\end{tikzpicture}}
&
\parbox{3cm}{\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm,>=stealth]
\clip (-1.5,-1.5) rectangle (3.5,6.5);
\draw[step=1,gray!40,very thin] (-1.5,-1.5) grid (3.5,6.5);
\draw[->] (-1.5,0)--(3.75,0); \draw[->] (0,-1.5)--(0,6.75);
\node[below left,font=\tiny] at (0,0) {$0$};
\foreach \x in {1,2,3} \draw (\x,0.1)--(\x,-0.1) node[below,font=\tiny] {$\x$};
\foreach \y in {1,2,3,4,5} \draw (0.1,\y)--(-0.1,\y) node[left,font=\tiny] {$\y$};
\draw[domain=-0.25:3.25,samples=50] plot (\x,{-2*\x+5});
\end{tikzpicture}}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Explications}

\begin{enumerate}
\item Rai a le double de Pauro qui a 50~F donc Pauro a 100~F. Il dépense deux fois 15~F soit 30~F. Il lui reste donc 70~F.
\item $\dfrac{8+18+14+16+12+16}{6}= \dfrac{84}{6}=14$
\item Dans l'urne, il y a 15 boules dont 3 rouges donc la probabilité de tirer au hasard une boule rouge est $\dfrac{3}{15}$.
\item Le volume du pavé droit est, en m$^3$, égal à $L\times \ell \times h = 12 \times 6 \times 2,20 = 158,4$.
\item $f(0)=10$ donc la représentation graphique de $f$ passe par le point de coordonnées $(0\,,\,10)$. Réponse A.
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{\large Exercice 2 \hfill 26 points}

\medskip

Comme chaque dimanche, Maui se rend au marché de Papeete pour faire quelques achats.

\begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l}
Il achète& une pièce de « Pua'a roti » à \np{1760} F le morceau,\\
& deux paquets de « Firi-firi » à 500 F le paquet,\\
& deux poissons perroquet à \np{1200} F l'unité,\\
& un paquet de « Taro » à 800 F le Paquet,\\
& un tas de « Fe'i » à 400 F le tas,\\
& une bouteille de « Miti haari » à 500 F la bouteille.
\end{tabular}

La facture incomplète des achats de Maui au marché de Papeete est réalisée sur un tableur.

\begin{enumerate}
\item  On complète la facture.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{| >{\cellcolor{lightgray}} c | *4{c|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} & A & B & C & D\\
\hline
1 & \textbf{Aliment} & \textbf{Quantité} & \textbf{Prix unitaire en F} & \textbf{Prix en F}\\
\hline
2 & Pièce de Pua'a roti & 1 & $\blue \np{1760}$ & $\blue \np{1760}$ \\
\hline
3 & Paquet de Fri fri & $\blue 2$ & 500 & $\blue \np{1000}$ \\
\hline
4 & Poisson perroquet &  $\blue 2$ & \np{1200} & $\blue \np{2400}$ \\
\hline
5 & Paquet de Taro &  $\blue 1$ & \np{800} & $\blue \np{800}$ \\
\hline
6 & Tas de Fe'i & 1 & $\blue \np{400}$ & $\blue \np{400}$ \\
\hline
7 & Bouteille de \og Miti haari \fg{} & 1 & $\blue \np{500}$ & $\blue \np{500}$  \\
\hline
8 & \multicolumn{2}{c|}{~~} &  \textbf{PRIX TOTAL en F} & $\blue \np{6860}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La formule à insérer dans la cellule D3, parmi celles proposées ci-dessous, est celle du milieu.

\begin{center}
{\ttfamily\Large
\begin{tabular}{| p{3cm} | c | p{3cm} | c | p{3cm} |}
\cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-5}
= 1 * 500 & & \textcolor{blue}{= B3 * C3} & & = B3 + C3\\
\cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-5}
\end{tabular} }
\end{center}
\end{enumerate}

On admet que le montant total de la facture s'élève à \np{6860} F{}.\\
Une remise de 15\,\% est accordée à Maui.

\begin{enumerate}[resume]
\item $\np{6860}\times \dfrac{15}{100}= \np{1029}$

La remise est de \np[F]{1029}.

\item $\np{6860} - \np{1029} = \np{5831}$

Le prix payé par Maui est de \np[F]{5831}.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

Sur un arbre, la plateforme de départ d'une tyrolienne (point K) est située à 8 m de hauteur. La plateforme d'arrivée de la tyrolienne (point L) est située à un niveau plus bas, accrochée à un second arbre.
Les deux arbres supportant les plateformes sont perpendiculaires au sol et situés à
40~m l'un de l'autre.
Une tyrolienne va de la plateforme K et à la plateforme L sur une distance totale de
$40,3$~m.

\begin{enumerate}
\item On complète le schéma  avec les données ci-dessus.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.6cm]
\fill[gray!20] (-1,0) rectangle (0,8);
\fill[gray!20] (13,0) rectangle (14,8);
\draw[very thick] (-3,0)--(15,0);
\draw[thick] (0,7)--(13,5);
\node[above] at (6.5,6) {$\textcolor{blue}{40{,}3}$ m};
\draw[<->] (0,1)--(13,1) node[midway,above] {40 m};
\node[below] at (6.5,0) {SOL};
\draw[dashed] (0,5)--(14,5);
\node[below] at (13,0) {S};
\node[above right] at (0,7) {K};
\node[below right] at (0,5) {O};
\node[above left] at (13,5) {L};
\node[right] at (1,7.5) {Départ};
\node[left] at (13,4) {Arrivée};
\draw (0,0) rectangle (0.3,0.4);
\draw (12.7,0) rectangle (13,0.4);
\draw (0,5) rectangle (0.3,5.4);
\draw[<->] (-1.5,0)--(-1.5,7) node[midway,left] {$\textcolor{blue}{8}$ m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Le triangle KOL est rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:

$\text{KO}^2 + \text{OL}^2 = \text{KL}^2$ donc $\text{KO}^2 = \text{KL}^2 - \text{OL}^2$.

$\text{KL}=40,3$ et $\text{OL}=40$ donc $\text{KO}^2 = 40,3^2-40^2=24,09$

Donc $\text{KO}=\sqrt{24,09} \approx 4,9$

La hauteur KO du triangle KOL mesure environ $4,9$~m.

\item $8-4,9=3,1$ donc la plateforme d'arrivée se trouve à $3,1$~m de hauteur.
\end{enumerate}

Pour des raisons de sécurité, la pente d'une tyrolienne ne doit pas dépasser 8\,\%. Le calcul de cette pente pour la tyrolienne représentée sur le schéma ci-dessus se fait à l'aide de la formule: $\dfrac{\text{KO}}{\text{OL}}\times 100$, avec $\text{KO}=4,9$ m et $\text{OL}=40$ m.

\begin{enumerate}[resume]
\item La pente de la tyrolienne vaut, en pourcentage:
$\dfrac{\text{KO}}{\text{OL}}\times 100 = \dfrac{4,9}{40}\times 100 = 12,25$.

\item $12,2>8$ donc les normes de sécurité ne sont pas respectées pour l'utilisation de la tyrolienne.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 16 points}

\medskip

Maeva, étudiante de 20 ans, réside à Papeete.\\
Elle souhaite faire un aller-retour dans la journée à Moorea en empruntant un catamaran assurant la liaison entre les deux îles. Sur l'île, elle circulera avec son vélo.

Voici un extrait de la brochure des tarifs du catamaran :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l| r | r|}
\hline
Billet & Aller simple & Aller-retour \\
\hline
\multicolumn{3}{| l |}{\cellcolor{lightgray!30} Personne}\\
\hline
Adulte & \np{1160}~F~~ & \np{2250}~F~~\\
\hline
Enfant (2 à 12 ans) / Étudiant (-- 26 ans)  & \np{605}~F~~ & \np{1180}~F~~\\
\hline
Senior (plus de 60 ans)  & \np{950}~F~~ & \np{1870}~F~~\\
\hline
\multicolumn{3}{| l |}{\cellcolor{lightgray!30} 2 Roues}\\
\hline
Moto & \np{1000}~F~~ & \np{1980}~F~~\\
\hline
Vélo & \np{250}~F~~ & \np{480}~F~~\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le coût de l'aller-retour pour Maeva est de \np[F]{1180}; le coût de l'aller-retour pour son vélo est de \np[F]{480}.

$\np[]{1180} + \np[]{480} = \np[]{1660}$

Donc  le coût du voyage aller-retour pour Maeva et son vélo est de \np[F]{1660}.

\end{enumerate}

Finalement, pour moins de fatigue, Maeva décide de louer un vélo électrique sur place à Moorea. La location du vélo électrique seul sur place coûte \np{4500}~F par jour.

\begin{enumerate}[resume]
\item $\np{1180} + \np{4500} = \np{5680}$ donc
 le billet aller-retour pour Moorea et la location du vélo électrique pour la journée coûteront \np[F]{5680} à Maeva.
\end{enumerate}

Maeva trouve alors une publicité pour des vélos électriques. Voici le détail des tarifs:

\begin{center}
\fbox{\parbox{0.85\linewidth}{
Le tarif du package pour une personne inclut le trajet aller-retour maritime Papeete/Moorea et la location du vélo électrique.\\

\textbf{Tarif du package 1 journée, 8 heures:}\\

Adulte: \np{5500}~F \qquad Enfant de 12/16 ans: \np{5200}~F\\

\textbf{Tarif du package 1/2 journée, 3 heures:}\\

Adulte: \np{4800}~F \qquad Enfant de 12/16 ans: \np{4500}~F
}}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le coût pour Maeva si elle choisit un package 1 journée est de \np[F]{5500}.

\item $\np{5500} < \np{5680}$ donc la solution la moins chère pour Maeva est de prendre un package 1 journée.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 18 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
Un circuit autour de l'île de Moorea pour admirer les fonds marins est proposé à bord
d'un catamaran à coque vitrée.\\
\\
Le circuit du bateau est dessiné en pointillés ci-contre:\\
\\
\\
\\
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\scalebox{0.7}{%
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
\draw[step=1cm,gray!30,thin] (-1,-1) grid (10,9);
\coordinate (A) at (4,8); \coordinate (B) at (4,2);
\coordinate (C) at (0,2); \coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (8,0); \coordinate (F) at (8,8);
\coordinate (G) at (6,8); \coordinate (H) at (8,6);
\draw[dashed,line width=1.5pt] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(A);
\draw[thick] (G)--(F)--(H);
\filldraw (A) circle (2pt) node[above left] {A};
\filldraw (B) circle (2pt) node[below right] {B};
\filldraw (G) circle (3pt);
\filldraw (F) circle (3pt);
\filldraw (H) circle (3pt);
\draw[->,ultra thick] (5,9.25)--(7,9.25) node[above,midway,font=\small] {Sens du circuit};
\node[right] at (8,7) {\textbf{20 pas}};
\node[below] at (7,8) {\textbf{20 pas}};
\node[above right] at (6,8) {départ};
\end{tikzpicture}}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item 2 carreaux représentent 20 pas, donc les 6 carreaux entre A et B représentent 60 pas.

\item On complète (lignes 5, 10 et 11) le programme Scratch   permettant au bateau d'effectuer un tour de circuit en partant du point \og départ \fg{}.

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{80} pas}
\blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{\red\bf 80} pas}
\blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{tourner de \turnleft{} de \ovalnum{\red\bf 90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{\red\bf 60} pas}
\blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\end{scratch}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{document}
