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\newcommand{\euro}{\texteuro}
\providecommand{\degres}{\textdegree}
\providecommand{\up}[1]{\textsuperscript{#1}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet -- voie professionnelle\\Polynésie, 26 juin 2025}
\newcommand{\soustitre}{Diplôme national du brevet -- Corrigé}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr/coll/fiches/corr_dnb_pro_polynesie_juin_2025.pdf}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
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\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\begin{center}
{\Large\bfseries Corrigé -- Brevet -- Polynésie -- Voie professionnelle\\[7pt]
26 juin 2025}
\end{center}

\begin{center}
\colorbox{gray!15}{\parbox{0.85\textwidth}{\centering\Large\bfseries CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Indication:} Dans tout le sujet, le symbole F représente l'unité franc CFP.

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\smallskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

\begin{enumerate}
\item On a $f(1) = 5 \times 1 + 3 = 5 + 3 = 8$ : réponse B.

$V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64~\left(\text{cm}^3\right)$ : réponse C.

\item $\dfrac 75 + \dfrac 25 = \dfrac{7 + 2}{5} = \dfrac 95 = \dfrac{18}{10} = 1{,}8$ : réponse B.
\item $8x - 5= 19$ peut s'écrire en ajoutant 5 aux deux membres :

$8x = 24$, soit $8 \times x = 8 \times 3$ et en simplifiant par le même facteur 8 : $x = 3$ : réponse C.
\item La moyenne des notes est :

\[\dfrac{12 + 9 + 14 + 15 + 19 + 15}{6} = \dfrac{84}{6} = \dfrac{6 \times 14}{6 \times 1} = 14.\]

Réponse B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2\hfill 20 points}

\smallskip

Pour récolter de l'argent, une association veut acheter à un commerçant des gâteaux et les revendre par la suite pour faire des bénéfices.

Pour cela, le commerçant lui propose la facture suivante dans laquelle certaines données manquent:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A				&B						&C			&D\\ \hline
1	&Gâteau			&Prix à l'unité (en F)	&Quantité	&Montant total (en F)\\ \hline
2	&Au beurre		&						&35			&\\ \hline
3	&À la banane	&900 					&22			&\np{19800}\\ \hline
4	&À la vanille	& \np{1100}				&15			&\np{16500}\\ \hline
5	&Au chocolat	&\np{1200}				& 28		&\\ \hline
6	&				&						&			&\\ \hline
7	&				&Montant total HT (hors taxe)		&\np{104900}&\\ \hline
8	&				&Montant de la TVA (5\,\%)&			&\\ \hline
9	&				&Montant total TTC		&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item 22 gâteaux à la banane coûtent : $22 \times 900 = \np{19800}$~(F).
\item $\fbox{=B5*C5}$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les gâteaux au chocolat coûtent $28 \times \np{1200} = \np{33600}$~(F).

Si un gâteau au beurre coûte $b$~(F), alors 35 coûtent : $35b$.

On a donc un montant total à payer de :

$35b + \np{19800} + \np{16500} + \np{33600} = \np{104900}$, soit encore :

$35b + \np{69900} = \np{104900}$, soit en ajoutant à chaque membre $-\np{69900}$ :

$35b = \np{104900} - \np{69900} = \np{35000}$.
On obtient facilement $b = \np{1000}$.
		\item Calcul de la TVA : $\np{104900} \times \dfrac{5}{100} = \np{104900} \times 0{,}05 = \np{5245}$~(F).

Le montant total TTC est donc égal à : $\np{104900} + \np{5245} = \np{110145}$~(F).
	\end{enumerate}
\item On calcule la somme des nombres de la colonne « Quantité », soit :

\[35 + 22 + 15 + 28 = (35 + 15) + (22 + 28) = 50 + 50 = 100~(\text{gâteaux}).\]
\end{enumerate}

Pour la revente des gâteaux, l'association fixe le prix à \np{1400} F l'unité quel que soit le
gâteau.

\begin{enumerate}[resume]
\item Si les 100 gâteaux sont vendus \np{1400}~(F) chacun, l'association récupérera :

\[100 \times \np{1400} = \np{140000}~(\text{F}).\]
\item Le bénéfice est donc la différence entre la somme récupérée ci-dessus soit \np{140000} et le montant payé \np{110145} :

Bénéfice : $\np{140000} - \np{110145} = \np{29855}$~(F).
\item Comme $\np{29855} < \np{30000}$, l'objectif n'est pas atteint.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3\hfill 16 points}

\smallskip

Heimana a conçu un programme constitué d'un script principal et d'un bloc motif présenté ci-dessous.

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{6cm}|}
\hline
\textbf{Bloc Motif}&\textbf{Script principal}\\[2pt]
\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{0}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{120} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{-90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockmoreblocks{Motif}
\end{scratch}

\vspace{2cm}
Petits rappels

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}\end{scratch} s'orienter vers la droite

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{0}}\end{scratch} s'orienter vers le haut

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{-90}}\end{scratch} s'orienter vers la gauche

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{-180}}\end{scratch} s'orienter vers le bas\\
\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Voir la figure tracée sur le quadrillage en ANNEXE 1.
\item La figure 2 ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
    \foreach \n in {0,2,4} {
        \draw (\n,0) -- (\n,1) -- (\n+1,1) -- (\n+1,0) -- (\n+2,0);
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Voir le programme complété en ANNEXE 1.
\item On dessine 3 fois un motif de $4 \times 4 = 16$~(cm) soit une longueur $3 \times 16 = 48$~(cm).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 4\hfill 33 points}

\smallskip

Les parents de Teiki lui ont légué un terrain divisé en deux parcelles dont on peut assimiler la forme à la figure ci-dessous:

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
DC = 10 m

AC = 25 m

DE = 22 m

(AB) // (DE)

La figure n'est pas à l'échelle
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,>=stealth]
    \draw (1.6,0.4) -- (8.4,0.4) -- (1.6,5) -- cycle;
    \draw (1.6,3) -- (4.6,3);
    \draw (1.6,0.4) rectangle (1.85,0.65);
    \draw (1.6,3) rectangle (1.85,3.25);
    \draw[<->,line width=0.8pt] (1.4,3) -- (1.4,5);
    \node[rotate=90,font=\small] at (1.2,4) {10 m};
    \draw[<->,line width=0.8pt] (1.6,2.8) -- (4.6,2.8);
    \node[below,font=\small] at (3.1,2.8) {22 m};
    \draw[<->,line width=0.8pt] (0.6,0.4) -- (0.6,5);
    \node[rotate=90,font=\small] at (0.4,2.7) {25 m};
    \node[above right] at (4.6,3) {E};
    \node[below left] at (1.6,0.4) {A};
    \node[below right] at (8.4,0.4) {B};
    \node[above] at (1.6,5) {C};
    \node[below left] at (1.6,3) {D};
    \node[right,font=\small] at (2,3.7) {Parcelle 1};
    \node[right,font=\small] at (2,1.1) {Parcelle 2};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'aire de la parcelle 1 correspond à l'aire du triangle CDE.
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle CDE est rectangle en D ; en prenant [DE] comme base et [DC] comme hauteur, son aire est égale à :

$\dfrac{\text{DE} \times \text{DC}}{2} = \dfrac{22 \times 10}{2} = \dfrac{220}{2} = 110~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item Comme $110 > 90$, Teiki a la place pour planter ses arbres.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les droites (DE) et (AB) sont parallèles, C, D, A sont alignés dans cet ordre et C, E et B le sont aussi dans cet ordre : on peut donc utiliser le théorème de Thalès ; en particulier :

$\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}$, soit $\dfrac{10}{25} = \dfrac{22}{\text{AB}}$ d'où on déduit $10\,\text{AB} = 25 \times 22$, puis AB $= \dfrac{25 \times 22}{10} = 55$~(m).
		\item En prenant comme base [AB] de longueur 55~(m) et la hauteur [AC] de longueur 25~(m), l'aire du triangle ABC est égale à $\dfrac{55 \times 25}{2} = 687{,}5~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item L'aire de la parcelle 2 est égale à la différence entre l'aire du triangle ABC et celle du triangle CDE, soit

$687{,}5 - 110 = 577{,}5~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item Comme $577{,}5 > 550$, Teiki pourra construire sa maison sur la parcelle 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

BC$^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2 = 55^2 + 25^2 = \np{3025} + 625 = \np{3650}$.

Comme BC $> 0$, on a donc BC $= \sqrt{\np{3650}} \approx 60{,}4$, soit 60~(m) à l'unité près.

\item Le périmètre du terrain ABC est égal à AB $+ \text{BC} + \text{CA}$ soit environ $55 + 60 + 25 = 140$~(m) à l'unité près.
\end{enumerate}
\medskip

Le graphique en ANNEXE 2 représente le prix en F pour chacun des deux types de clôture en fonction de la longueur en m.

\begin{enumerate}[resume]
\item Pour le type A le prix est proportionnel à la longueur : la fonction est donc linéaire et sa représentation est une droite qui contient l'origine.

L'autre est donc celle qui correspond à la clôture du type B.

\item Le forfait à la livraison est à payer même pour $0$~(m) de clôture : on lit pour $x = 0$,

$y = 20$~(milliers de F), soit \np{20000}~(F).
\item On trace la droite verticale passant par le point de coordonnées $(140~;~0)$ ; celle-ci coupe en premier la droite (bleue) correspondant au type B en un point dont l'ordonnée est égale à environ 290~milliers de F, soit \np{290000}~F.

C'est cette clôture du type B qui coûtera le moins cher.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 5\hfill 11 points}

\smallskip

Un sondage a été fait sur le port de l'uniforme dans un collège.

Sur 800 élèves, 540 élèves sont d'accord pour le port de l'uniforme, 180 élèves ne sont pas d'accord et le reste des élèves n'a donné aucune réponse.

On interroge un élève du collège au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur 800 élèves 540 sont d'accord pour le port de l'uniforme, la probabilité est donc égale à $\dfrac{540}{800} = \dfrac{54}{80} = \dfrac{27}{40} = 0{,}675$ (ou 67,5\,\%).
\item Ont répondu par oui ou non $540 + 180 = 720$ élèves sur 800.

La probabilité que l'élève donne un avis positif ou négatif sur le port de l'uniforme est donc égale à $\dfrac{720}{800} = \dfrac{72}{80} = \dfrac{8 \times 9}{8 \times 10} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$.

\item La probabilité que l'élève ne donne pas d'avis sur le port de l'uniforme est égale à $1 - 0{,}9 = 0{,}1$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 1 -- À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 2\quad Question 3.1}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A				&B						&C			&D\\ \hline
1	&Gâteau			&Prix à l'unité (en F)	&Quantité	&Montant total (en F)\\ \hline
2	&Au beurre		&{\color{red}\np{1000}}	&35			&{\color{red}\np{35000}}\\ \hline
3	&À la banane	&900 					&22			&\np{19800}\\ \hline
4	&À la vanille	& \np{1100}				&15			&\np{16500}\\ \hline
5	&Au chocolat	&\np{1200}				& 28		&{\color{red}\np{33600}}\\ \hline
6	&				&						&			&\\ \hline
7	&				&\multicolumn{2}{|c|}{Montant total HT (hors taxe)}&\np{104900}\\ \hline
8	&				&\multicolumn{2}{|c|}{Montant de la TVA (5\,\%)}&{\color{red}\np{5245}}\\ \hline
9	&				&\multicolumn{2}{|c|}{Montant total TTC}&{\color{red}\np{110145}}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{6cm}|}
\hline
\textbf{Question 1 : figure 1}&\textbf{Question 2 : programme}\\[2pt]
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm]
    \draw[step=1,gray!40,line width=0.4pt] (0,0) grid (10,15);
    \fill (2,2) circle (3pt);
    \draw (1.8,1.7) -- (2.2,2.3);
    \draw (1.8,2.3) -- (2.2,1.7);
    \node[below,font=\scriptsize] at (2,2) {Départ};
    \draw[<->,line width=1.5pt] (8,1) -- (9,1);
    \node[below,font=\scriptsize] at (8.5,1) {10 pas};
    % Figure 1 corrigée
    \draw[line width=1.5pt] (2,2)--(2,14)--(4,14)--(4,10)--(7,10)--(7,8)--(4,8)--(4,6)--(7,6)--(7,4)--(4,4)--(4,2);
\end{tikzpicture}&
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{0}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
}
\end{scratch}\\
\hline
\end{tabular}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 2 -- À rendre avec la copie}

\smallskip
\textbf{Exercice 4 : questions 3, 4 et 5}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{tikzpicture}[x=0.125cm, y=0.035cm]
    % Grille fine
    \foreach \x in {0,5,...,150} {
        \draw[gray!30,line width=0.2pt] (\x,0) -- (\x,340);
    }
    \foreach \y in {0,20,...,340} {
        \draw[gray!30,line width=0.2pt] (0,\y) -- (150,\y);
    }
    % Axes
    \draw[->,line width=1.25pt] (0,0) -- (152,0);
    \draw[->,line width=1.25pt] (0,0) -- (0,345);
    % Ticks x
    \foreach \x in {5,10,...,150} {
        \draw[line width=0.8pt] (\x,0) -- (\x,-3);
        \node[below,font=\scriptsize] at (\x,-3) {\x};
    }
    % Ticks y
    \foreach \y in {20,40,...,340} {
        \draw[line width=0.8pt] (0,\y) -- (-3,\y);
        \node[left,font=\scriptsize] at (-3,\y) {\y};
    }
    % Labels axes
    \node[right] at (0,335) {Prix en milliers de F $y$};
    \node[above] at (140,0) {Longueur en m $x$};
    % Droites
    \draw[red,line width=1.25pt] (0,0) -- (145,{145*2.207});
    \draw[blue,line width=1.25pt] (0,20) -- (145,{145*1.931+20});
    % Labels ANNEXE
    \node[rotate=90,font=\bfseries] at (-22,170) {ANNEXE 2 -- À rendre avec la copie};
    \node[rotate=90,font=\bfseries] at (-12,100) {Exercice 4 : questions 3, 4 et 5};
    % Lecture graphique corrigé
    \draw[blue,dashed,line width=1.75pt] (140,0) -- (140,290) -- (0,290);
    \node[left,blue] at (0,290) {$\approx 290$};
    % Labels droites
    \node[red,rotate=33] at (110,252) {Type A};
    \node[blue,rotate=31] at (110,222) {Type B};
\end{tikzpicture}
\end{landscape}
\end{document}
