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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\providecommand{\degres}{\textdegree}

% -------- PARAMÈTRES --------
\newcommand{\titre}{Brevet des collèges}
\newcommand{\soustitre}{Amérique du Nord, 31 mai 2023}
\newcommand{\monurl}{https://site2wouf.fr}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{84pt}
\setlength{\headsep}{10pt}
\renewcommand{\headrule}{{\color{gray!25}\hrule width\headwidth height\headrulewidth}}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
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\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.18\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.7cm]{\monurl}
\end{minipage}%
}\\[4mm]%
}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
{\Large\bfseries Diplôme national du brevet\\[4pt]
Amérique du Nord, 31 mai 2023}

\vspace{0.4cm}
\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\medskip

\textbf{{\large Exercice 1} \hfill 20 points}

\medskip

Les cinq situations suivantes sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Situation 1}

\medskip

Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre $780$.

Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\textbf{Situation 2}

\medskip

On rappelle qu'un jeu de 32 cartes est composé de quatre familles (trèfle, carreau, cœur, pique).
Chaque famille est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as.
L'expérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes.

\medskip

\textbf{a.~} Quelle est la probabilité d'obtenir le 8 de pique ?

Aucune justification n'est attendue.

\textbf{b.~} Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur ?

Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\textbf{Situation 3}

\medskip

Développer et réduire l'expression $A = (2x + 5)(3x - 4)$.

\medskip

\textbf{Situation 4}

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.47\linewidth}
\textbf{a.~} Quel est le volume, en cm$^3$, de ce prisme droit ?

\textbf{b.~} Convertir ce résultat en litre.

Rappel : 1 L = 1 dm$^3$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.50\linewidth}
\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,>=stealth,line cap=round,line join=round]
    % face avant (triangle)
    \draw (0.7,0.7) -- (5.7,0.7) -- (0.7,2.9) -- cycle;
    % arêtes visibles
    \draw (5.7,0.7) -- (7.9,2.8);
    \draw (7.9,2.8) -- (2.9,5);
    \draw (2.9,5) -- (0.7,2.9);
    % arêtes cachées
    \draw[dashed] (0.7,0.7) -- (2.9,2.8);
    \draw[dashed] (2.9,2.8) -- (2.9,5);
    \draw[dashed] (2.9,2.8) -- (7.9,2.8);
    % angles droits
    \draw (2.9,2.8) rectangle (3.1,3);
    \draw (0.7,0.7) rectangle (0.9,0.9);
    % cotes
    \draw[<->,line width=0.6pt] (0.7,0.5) -- (5.7,0.5);
    \node[below,font=\small] at (3.1,0.5) {80 cm};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (0.5,0.7) -- (0.5,2.9);
    \node[rotate=90,font=\small] at (0.3,1.8) {60 cm};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (5.9,0.7) -- (8.1,2.8);
    \node[rotate=46,font=\small] at (7,1.5) {120 cm};
    \draw[<->,line width=0.6pt] (7.9,3) -- (2.9,5.2);
    \node[rotate=-25,font=\small] at (5.4,4.4) {100 cm};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Situation 5}

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.47\linewidth}
Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.

Le coefficient de cet agrandissement est 3.

L'aire du polygone 1 est égale à 11~cm$^2$.

Quelle est l'aire du polygone 2 ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.50\linewidth}
\begin{tabular}{|m{3.4cm} m{3.4cm}|}\hline
\multicolumn{2}{|m{6.8cm}|}{Représentation de la situation qui n'est pas à l'échelle :}\\
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
\draw (0.4,0) -- (1.1,0.2) -- (0.9,0.7) -- (0.4,0.9) -- (0,0.4) -- cycle;
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[x=3cm,y=3cm,line cap=round]
\draw (0.4,0) -- (1.1,0.2) -- (0.9,0.7) -- (0.4,0.9) -- (0,0.4) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\\
Polygone 1 & Polygone 2\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 2} \hfill 22 points}

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.47\linewidth}
On considère la figure ci-contre. On donne les mesures suivantes :
\begin{itemize}[label={$\bullet$~~}]
\item AN = 13 cm
\item LN = 5 cm
\item AL = 12 cm
\item ON = 3 cm
\item O appartient au segment [LN]
\item H appartient au segment [NA]
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.50\linewidth}
\begin{center}
{\small Cette figure n'est pas à l'échelle.}

\vspace{4pt}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round,line join=round]
    % triangle LNA
    \draw (1.9,0.4) -- (6,0.4) -- (1.9,7.6) -- cycle;
    % segment OH
    \draw (3.4,0.4) -- (3.4,5);
    % angle droit en O
    \draw (3.4,0.4) rectangle (3.6,0.6);
    % étiquettes
    \node[below left]  at (1.9,0.4) {L};
    \node[below right] at (6,0.4)   {N};
    \node[left]        at (1.9,7.6) {A};
    \node[below]       at (3.4,0.4) {O};
    \node[above right] at (3.4,5)   {H};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle LNA est rectangle en L.
\item Montrer que la longueur OH est égale à $7{,}2$~cm.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{LNA}}$. Donner une valeur approchée à l'unité près.
\item Pourquoi les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?
\item
    \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'aire du quadrilatère LOHA ?
        \item Quelle proportion de l'aire du triangle LNA représente l'aire du quadrilatère LOHA ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{{\large Exercice 3} \hfill 20 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A : évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le diagramme ci-dessous représente le nombre de visiteurs par an de 2010 à 2021 sur ce site.

\begin{center}
% y en unités de 10000 visiteurs, y=0.18cm → max 40 unités = 7.2cm
\begin{tikzpicture}[x=0.95cm,y=0.18cm,line cap=round]
    % barres (hauteurs divisées par 10000)
    \foreach \xa/\xb/\h in {
        0.7/1.3/30, 1.7/2.3/31, 2.7/3.3/32, 3.7/4.3/32,
        4.7/5.3/30, 5.7/6.3/32, 6.7/7.3/33, 7.7/8.3/35,
        8.7/9.3/36, 9.7/10.3/40, 10.7/11.3/18.72, 11.7/12.3/21.9} {
        \fill[purple!80!black] (\xa,0) rectangle (\xb,\h);
    }
    % lignes horizontales et étiquettes y (en ×10000)
    \foreach \y/\lab in {0/{0}, 5/{50\,000}, 10/{100\,000}, 15/{150\,000},
        20/{200\,000}, 25/{250\,000}, 30/{300\,000}, 35/{350\,000},
        40/{400\,000}} {
        \draw[line width=0.6pt] (0,\y) -- (12.5,\y);
        \node[left,font=\footnotesize] at (-0.05,\y) {\lab};
    }
    % étiquettes années
    \foreach [count=\n from 1] \yr in {2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021} {
        \node[below,font=\small] at (\n,0) {\yr};
    }
    % étiquettes des axes
    \node[below,font=\small] at (6.25,-5.5) {Année};
    \node[rotate=90,font=\small] at (-1.5,20) {Nombre de visiteurs};
    % titre
    \node[above,font=\small] at (6.25,42) {Nombre de visiteurs sur le site touristique par année};
\end{tikzpicture}
\end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Quel a été le nombre de visiteurs en 2010 ? Aucune justification n'est attendue.
        \item En quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé ? Aucune justification n'est attendue.
    \end{enumerate}

\item Le tableau ci-dessous indique le nombre de visiteurs sur le site touristique de cette ville en
2020 et en 2021 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année               & 2020            & 2021\\ \hline
Nombre de visiteurs & \np{187216}     & \np{219042}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le maire de cette ville avait pour objectif que le nombre de visiteurs progresse d'au moins
15\,\% entre 2020 et 2021.

L'objectif a-t-il été atteint ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude des prix des hôtels de cette ville}

\medskip

Sur une période donnée, on relève les prix facturés pour une nuit par les hôtels de cette ville.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Prix facturés pour une nuit (en euro) & 60 & 80 & 85 & 90 & 110 & 120 & 350 & 500\\ \hline
Effectif & \np{1200} & \np{1350} & \np{1000} & \np{1100} & \np{1200} & \np{1300} & 900 & 300\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer l'étendue des prix facturés.
\item Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit ? Arrondir à l'euro près.
\item L'association des hôteliers de cette ville cherche à attirer des touristes et annonce :
\og Dans les hôtels de notre ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de
$100$~\euro\fg. Est-ce vrai ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 4} \hfill 20 points}

\medskip

À l'aide d'un logiciel de programmation, on veut réaliser le motif \og Fleur\fg{} suivant.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
\textbf{Motif \og Fleur\fg}\\
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
\foreach \n in {0,72,...,288} {
  \begin{scope}[rotate=\n]
    \draw (0,0) -- (0.9,0) -- (1.1,0.4) -- (0.2,0.4) -- cycle;
  \end{scope}
}
\node[font=\small] at (-1,-1.35) {Un pétale};
\draw[->,line width=1.25pt] (-1,-1.1) -- (-0.4,-0.5);
\end{tikzpicture}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
        \item Le parallélogramme KLMN ci-dessous représente un des pétales du motif \og Fleur\fg.

Construire ce parallélogramme sur la copie en prenant $1$~cm pour 5 pas.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,line cap=round]
    \draw (0.2,0.4) -- (7.2,0.4) -- (9.2,3.8641) -- (2.2,3.8641) -- cycle;
    \node[below left,font=\small]  at (0.2,0.4)     {K};
    \node[below right,font=\small] at (7.2,0.4)     {L};
    \node[above right,font=\small] at (9.2,3.8641)  {M};
    \node[above left,font=\small]  at (2.2,3.8641)  {N};
    \node[below,font=\small]       at (3.7,0.4)     {35 pas};
    \node[right,font=\small]       at (8.2,2.1321)  {20 pas};
    \node[above left,font=\small]  at (7,0.6)       {$120\degres$};
    \node[below left,font=\small]  at (9,3.6641)    {$60\degres$};
    % arc à L
    \draw (7.2,0.4) ++(60:0.5) arc[start angle=60,end angle=180,radius=0.5];
    % arc à M
    \draw (9.2,3.8641) ++(180:0.4) arc[start angle=180,end angle=240,radius=0.4];
\end{tikzpicture}
\end{center}

        \item On définit le bloc \og Pétale\fg{} ci-dessous afin de dessiner ce parallélogramme.

On commence la construction du parallélogramme au point K en s'orientant vers la droite.

Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 4, 5, 6, et 7 du bloc \og Pétale\fg{} ?

\emph{Aucune justification n'est attendue, écrire sur la copie le numéro de la ligne du bloc
\og Pétale\fg{} et la valeur correspondante.}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Bloc \og Pétale\fg}\\
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Pétale}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{~} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{~} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{~} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{~} degrés}
}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
    \end{enumerate}

\item Le bloc ci-dessous permet de construire un motif \og Fleur\fg{} en partant de son centre.

\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Bloc \og Fleur\fg}\\
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Fleur}}
\blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{~} fois}
{\blockmoreblocks{Pétale}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{72} degrés}
}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\begin{tabular}{|c|}\hline
\textbf{Motif \og Fleur\fg}\\
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,line cap=round]
\foreach \n in {0,72,...,288} {
  \begin{scope}[rotate=\n]
    \draw (0,0) -- (0.9,0) -- (1.1,0.4) -- (0.2,0.4) -- cycle;
  \end{scope}
}
\end{tikzpicture}\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \item Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 du bloc \og Fleur\fg{} ci-dessus ?
        Aucune justification n'est attendue.
        \item Expliquer le choix de la valeur \og 72\fg{} dans la ligne 4.
        \item On modifie le bloc \og Fleur\fg{} pour construire le motif suivant :

\begin{center}
% 12 pétales tournant par 30°, unité 0.2cm
\begin{tikzpicture}[x=0.2cm,y=0.2cm,line cap=round]
\foreach \n in {0,30,...,330} {
  \begin{scope}[rotate=\n]
    \draw (0,0) -- (7,0) -- (9,3.4641) -- (2,3.4641) -- cycle;
  \end{scope}
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Quelles sont alors les modifications à apporter aux lignes 2 et 4 du bloc \og Fleur\fg{} ?
Aucune justification n'est attendue.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Exercice 5} \hfill 18 points}

\medskip

Un hippodrome est un lieu où se déroule des courses de chevaux.

On s'intéresse à la piste d'un hippodrome.

Cette piste est composée de :
\begin{itemize}[label={$\bullet$~~}]
\item deux lignes droites modélisées par des segments de $850$~mètres ;
\item deux virages modélisés par deux demi-cercles de rayon $40$~mètres.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=stealth,line cap=round]
    % lignes droites
    \draw (1.4,0.8) -- (11.4,0.8);
    \draw (1.4,3.5) -- (11.4,3.5);
    % demi-cercles
    \draw (1.4,3.5) arc[start angle=90,end angle=270,radius=1.35];
    \draw (11.4,0.8) arc[start angle=-90,end angle=90,radius=1.35];
    % tirets
    \draw[dashed] (1.4,0.8) -- (1.4,3.5);
    \draw[dashed] (11.4,0.8) -- (11.4,2.15);
    % flèche rayon
    \draw[<->] (11.4,2.15) -- (11.4,3.5);
    \node[left,font=\small] at (11.4,2.825) {rayon : 40 m};
    % flèche longueur
    \draw[<->] (1.4,0.5) -- (11.4,0.5);
    \node[below,font=\small] at (6.4,0.5) {Segment de longueur : 850 m};
    % titre
    \node[above,font=\small] at (5.8,4.5) {Schéma de la piste de cet hippodrome};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur d'un tour de piste est d'environ \np{1951}~m.
\item Un cheval parcourt un tour de piste en 2~min~9~s.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la vitesse moyenne de ce cheval sur un tour de piste en mètre par seconde
        (m/s). Donner une valeur approchée à l'unité près.
        \item Convertir cette vitesse en kilomètre par heure (km/h).
    \end{enumerate}
\item On admet que la surface de la piste a une aire d'environ \np{73027}~m$^2$.

On souhaite semer du gazon sur la totalité de la surface de la piste.

On doit choisir des sacs de gazon à semer parmi les trois marques ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
 & Surface couverte par sac & Prix d'un sac\\ \hline
Marque A & 500~m$^2$ & 141,95~\euro\\ \hline
Marque B & 400~m$^2$ & 87,90~\euro\\ \hline
Marque C & 300~m$^2$ & 66,50~\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle marque doit-on choisir pour que cela coûte le moins cher possible ?
\end{enumerate}

\end{document}
